专题04 因式分解的化简技巧及求值（六大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（沪教版2024）

专题04 因式分解的化简技巧及求值 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知因式分解的结果求参数 2 类型二、综合利用提公因式法和公式法因式分解 3 类型三、十字相乘法因式分解 4 类型四、分组分解法因式分解 5 类型五、因式分解的应用 7 类型六、新定义问题 9 压轴能力测评 10 1.因式分解： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 注意： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 2.公因式： 像多项式，它的各项都有一个公共的因式，我们把这个公共因式，叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； 3.提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式． 注意：提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的． 4.公式法： 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：平方差公式:；完全平方公式:， 5.十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 类型一、已知因式分解的结果求参数 【例1】若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【例2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【变式1-1】已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【变式1-2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【变式1-3】已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 类型二、综合利用提公因式法和公式法因式分解 【例3】已知有理数，，满足，则的值为 ． 【例4】在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【变式2-1】阅读理解：下面是小明同学分解因式的方法，首先他将该多项式分为两组得到．然后对各组进行因式分解，得到，结果发现有公因式，提出后得到． (1)小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式进行因式分解，则她最后提出的公因式是______． (2)请同学们也尝试用小明的方法对多项式进行因式分解． (3)请同学们将多项式进行因式分解，你一定能成功！ 【变式2-2】有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式 解：原式 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)已知，，求的值． 【变式2-3】已知，且，求证：． 类型三、十字相乘法因式分解 【例5】若多项式在整数范围内可分解因式，则的值是 ． 【例6】请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【变式3-1】已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【变式3-2】已知，则的值为 ． 【变式3-3】小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为_______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点． 类型四、分组分解法因式分解 【例7】已知均为正整数，且满足下列说法： ①； ②是完全平方数； ③对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数；其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【例8】在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【变式4-1】阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【变式4-2】在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-3】数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）． 材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解， 即，这种分解因式的方式叫做分组分解法． 卡片： (1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________． (2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解． (3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由． 类型五、因式分解的应用 【例9】已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 【例10】阅读材料：若，求的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知的三边长都是正整数且，a，c满足，求的周长． 【变式5-1】已知实数满足，则 ． 【变式5-2】已知多项式（其中，是常数）既是多项式的因式，也是多项式的因式，则当时，的值为 ． 【变式5-3】小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 类型六、新定义问题 【例11】一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双对称数”．将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双对称数”，并规定，则 ；若已知数m为“双对称数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为 ． 【例12】对于一个四位正整数m，如果千位和个位的数字均为 6，且至多一个数位上的数字为0，则称这个四位正整数为“六六大顺数”；若将这个“六六大顺数”的百位与十位交换位置后得到新的正整数记为，并记．例如： (1)最大的“六六大顺数”是 ；最小的“六六大顺数”是 ； (2)设m为任意一个“六六大顺数”，求证：能被9整除； (3)若n为“六六大顺数”，记n的百位数字与十位数字分别为x，y，且满足，求n． 【变式6-1】一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则 ；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 ． 【变式6-2】一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ． 【变式6-3】若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”， 为的“进步起点”．例如，，则是“进步数”， 为的“进步起点”． (1)是“进步数”，它的“进步起点”为，则 ；是的“进步起点”，则 ． (2)把“进步数”与“进步数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“进步数”的“进步起点”为，“进步数”的“进步起点”为，当时，求的值． (3)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 1．已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 2．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 3．如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”．那么2100是否是“十全九美数”？ （填“是”或“否）”；若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，则满足条件的最小自然数M为 ． 4．如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则 ． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是 ． 5．配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式___________； ②若可配方成（m、n为常数），则___________； 探究问题：（2）①已知，则___________； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值___________ 拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求的最值，并求出此时x的值． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 7．仔细阅读下面例题，解答问题． 【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为， 则，即． ，解得， 另一个因式为，的值为． 【问题】仿照以上方法解答下面问题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． (2)已知关于的多项式有一个因式是，求的值． 8．代数式 ，若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值． 9．（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 10．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_________．（填“是”或“否”）如果否，请直接写出最后的结果________________． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． (4)请你模仿以上方法解关的方程． 11．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 因式分解的化简技巧及求值 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知因式分解的结果求参数 2 类型二、综合利用提公因式法和公式法因式分解 5 类型三、十字相乘法因式分解 8 类型四、分组分解法因式分解 10 类型五、因式分解的应用 16 类型六、新定义问题 19 压轴能力测评 25 1.因式分解： 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 注意： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 2.公因式： 像多项式，它的各项都有一个公共的因式，我们把这个公共因式，叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； 3.提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式． 注意：提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的． 4.公式法： 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：平方差公式:；完全平方公式:， 5.十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 类型一、已知因式分解的结果求参数 【例1】若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，则m的值为 ． 【答案】或 【详解】解：设， ， ， 解得，或 或． 故答案为：或． 【例2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得，则， ，解得：，， 另一个因式为，的值为． 请仿照上述方法解答下面问题： (1)若，则______，______； (2)已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)， (2)， (3)另一个因式是，的值是2 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，， （2）解：设另一个因式为：， 则， ，解得：，， 另一个因式是， 故答案为：，， （3）解：设另一个因式是，则 则，解得：或， 是正整数， ，另一个因式是；（不符合题意舍去）， 另一个因式是，a的值是2． 【变式1-1】已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】 【详解】解：， 且 ， 设 ， 整理得：， 由对应项系数得： ， 解得 ，， ， 的值为 【变式1-2】仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)40 (2)另一个因式为，k的值为20 【详解】（1）解：设另一个因式为， 由题意得：， 即， 则有， 解得， ∴另一个因式为：，的值为40． （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，k的值为． 【变式1-3】已知是二元二次式的一个因式，求a，b的值． 【答案】，． 【详解】解：为的一个因式， 可设另一个因式为 ∴ ， ， ∴，． 类型二、综合利用提公因式法和公式法因式分解 【例3】已知有理数，，满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： 即 ， ∴， 是有理数， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 【例4】在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如“”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【详解】解：， 当，时，，，， ∴密码为， 故答案为：． 【变式2-1】阅读理解：下面是小明同学分解因式的方法，首先他将该多项式分为两组得到．然后对各组进行因式分解，得到，结果发现有公因式，提出后得到． (1)小颖同学学得小明同学方法后，她也尝试对多项式进行因式分解，则她最后提出的公因式是______． (2)请同学们也尝试用小明的方法对多项式进行因式分解． (3)请同学们将多项式进行因式分解，你一定能成功！ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； ； ； 故答案为：． （2）解：； ； ； （3）解： ． 【变式2-2】有一种因式分解的方法叫分组分解法．具体做法如下：把分解因式 解：原式 请阅读理解上面解法后，解决下列问题： (1)分解因式： ①； ②； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)9 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解： ， ，， ， 的值为9． 【变式2-3】已知，且，求证：． 【答案】见解析 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，不等式组的解集，熟练掌握因式分解，灵活运用不等式的性质是解题的关键． 类型三、十字相乘法因式分解 【例5】若多项式在整数范围内可分解因式，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴m的值可能为：， 故m的值可能为：． 故答案为：． 【例6】请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． (1)请用一个式子表示你观察到的规律：____________． (2)请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）解： 答案为：． （2）解：① ； ② ． 【变式3-1】已知在整数范围内可以分解因式，则整数a的值有 个 【答案】8 【详解】解：当时，， 当时，， 同理可求：，，， 综上所述：的取值是、、或，共8个． 故答案为：8． 【变式3-2】已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为： 【变式3-3】小聪学习多项式时研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为_______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点． 【答案】(1)和 (2) 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴多项式的零点为和， 故答案为：和； （2）解：∵多项式有一个零点为2， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴多项式B的另一个零点为． 类型四、分组分解法因式分解 【例7】已知均为正整数，且满足下列说法： ①； ②是完全平方数； ③对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数；其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵均为正整数， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵，均为正整数， ∴是完全平方数； 故②正确； 由①得，对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数； 故③正确； 故选：C 【例8】在“探究性学习“小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） ． 乙： （分成两组） （直接运用公式） ． 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，理由见解析 【详解】（1）解 ； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴原式； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【变式4-1】阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【详解】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 【变式4-2】在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：① ； 故符合题意； ②， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； 故符合题意； ③， ， ， ，，， ，，， ， ∴以a，b，c作为三边不能构成三角形， 故不符合题意； 故选：C． 【变式4-3】数学课上，白老师提供了一段材料让同学们自学，然后利用卡片带领同学们进行因式分解游戏（两张卡片之间的式子用“＋”连接）． 材料：将因式分解，可将四个单项式分为两组，再因式分解， 即，这种分解因式的方式叫做分组分解法． 卡片： (1)若白老师出示卡片①②，则分解因式的结果为________． (2)若白老师出示卡片③⑤，请利用材料中的方法因式分解． (3)若白老师出示卡片④⑤，且卡片上的式子的和为，请判断以，，为边的的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是等边三角形，理由见解析 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）由题意得： （3）为等边三角形， 理由：由题意可得： ， ， ， ，， ， 为等边三角形． 类型五、因式分解的应用 【例9】已知三角形的三边a，b，c都是整数，且满足，则此三角形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角形的三边a，b，c都是整数， ∴， 解得，， ∴此三角形是边长为1的三角形， ∴此三角形的面积为：． 故答案为：． 【例10】阅读材料：若，求的值． 解：， ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ． (2)已知，求的值． (3)已知的三边长都是正整数且，a，c满足，求的周长． 【答案】(1)3，0 (2)16 (3)13 【详解】（1）解：由，得， ∵≥0，， ∴，， ∴，． 故答案为：3；0． （2）解：由得：， ∴，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴的周长为． 【变式5-1】已知实数满足，则 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴， 解得，， ∴， 故答案为：. 【变式5-2】已知多项式（其中，是常数）既是多项式的因式，也是多项式的因式，则当时，的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵多项式（其中，是常数）既是多项式的因式，也是多项式的因式， ∴也必定是与差的一个因式， ∵， ∴， ∴，， ∴当时，， 故答案为：． 【变式5-3】小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法： (1)观察老师的演算后，你认为 同学的想法是对的； (2)已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解； (3)若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值． 【答案】(1)小磊 (2) (3)， 【详解】（1）解：根据题意可得：， ， ∴该整式一定有一个因式，没有因式是， ∴小磊同学的想法是对的； （2）解：根据题意得： ∴将多项式进行因式分解为： ． （3）解：根据题意得： ∴，， ∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴，． 类型六、新定义问题 【例11】一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双对称数”．将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双对称数”，并规定，则 ；若已知数m为“双对称数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为 ． 【答案】 81 7117 【详解】解：（1）根据定义得：， 故答案为：81； （2）设为，则为， 根据题意： 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，且均不为0， ， 或或， ∴的最小值为：7117， 故答案为：7117． 【例12】对于一个四位正整数m，如果千位和个位的数字均为 6，且至多一个数位上的数字为0，则称这个四位正整数为“六六大顺数”；若将这个“六六大顺数”的百位与十位交换位置后得到新的正整数记为，并记．例如： (1)最大的“六六大顺数”是 ；最小的“六六大顺数”是 ； (2)设m为任意一个“六六大顺数”，求证：能被9整除； (3)若n为“六六大顺数”，记n的百位数字与十位数字分别为x，y，且满足，求n． 【答案】(1)6996，6016 (2)见解析 (3)的值为6426或6246． 【详解】（1）解：已知“六六大顺数”的千位和个位的数字均为6， 当“六六大顺数”最大时为6996， 最多只能有一个数位为0， 最小的“六六大顺数”为6016， 故答案为：6996，6016； （2）证明：记的百位为，十位为，不同时为， ， 当百位与十位交换位置后， ， ， 已知、均为非负整数， 必为整数， ， 能被9整除； （3）解：的百位数字与十位数字分别为， 同 （2）理，可得， ， ， 当时， ， ， 当时，， ， 当时 ， ， 当时，， ， 综上所述：的值为6426或6246． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，根据题目所给的六六大顺数的定义求解，分类讨论，理解题意是解决问题的关键． 【变式6-1】一个各位数字都不为0的四位正整数，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则 ；若已知数为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的的最小值为 ． 【答案】 486 4114 【详解】解：当时，． 设，则， ， ， ． 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，， ， ，即， 当时，有最小值4， 此时的最小值为4114． 故答案为：486，4114． 【变式6-2】一个四位自然数M，如果M满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M为“珊瑚数”．对于一个“珊瑚数”M，同时将M的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N．称N为“明佳数”，规定：．如果M是最大“珊瑚数”，则是 ，对于任意四位自然数（a、b、c、d是整数且，），规定：．已知P、Q是“珊瑚数”，其中P的千位数字为m（m是整数且），十位数字为8；Q的百位数字为5，十位数字为s（s是整数且），且．若能被13整除，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意， ∵M是最大“珊瑚数”， ∴，， ． 故答案为：10． ∵P、是“珊瑚数”，且 P的千位数字为m，十位数字为8， ∴P的百位数字为，个位数字为9， ． ∵Q是“珊瑚数”，且Q的百位数字为5，十位数字为s， ∴ Q的千位数字为4，个位数字为， ． ． ∵能被13整除，且52能被13整除， ∴能被13整除， ∵，， ∴， ∴． ∵m、n都是正整数，且， ∴或． 当时，， 则P的“明佳数”为4895， 则； 当时，， 则P的“明佳数”为5896， 则． ∵， ∴的最小值是． 故答案为：． 【变式6-3】若一个正整数是两个连续正奇数或连续正偶数的乘积，即，其中为正整数，则称为“进步数”， 为的“进步起点”．例如，，则是“进步数”， 为的“进步起点”． (1)是“进步数”，它的“进步起点”为，则 ；是的“进步起点”，则 ． (2)把“进步数”与“进步数”的差记为，其中，，例如，，，则．若“进步数”的“进步起点”为，“进步数”的“进步起点”为，当时，求的值． (3)若（为整数），试探究是否是“进步数”，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不是“进步数”，理由见详解 【详解】（1）解：是“进步数”，它的“进步起点”为， 则， 是的“进步起点”，则， 整理得，即， 解得：（舍去），， 故答案为：；； （2）解：由题意得：， ，， ， ， 即， 、都是正整数， ，都是正整数， ， 或或， 解得：（舍）或或（舍）， 的值为； （3）解：假设是“进步数”， 由题意得， 整理得：， 即， 故， 为正整数， 故与题意矛盾， 不是“进步数”． 1．已知的三边长a，b，c是都不相等的正整数，且满足，则的最大边c的值有（  ） A．4个 B．5个 C．7个 D．9个 【答案】A 【详解】解：， ， ， ，， ，， ，， ， 的最大边的值可能是7、8、9、10．共4个． 故选A． 2．多项式添加一个单项式后能用分组分解法进行因式分解．如果将和分成一组，和此单项式分成一组，那么这个单项式为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴必须与一组， ∴ ， 故答案为： 3．如果一个自然数M能分解成，其中A和B都是两位数，且A与B的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M为“十全九美数”，把M分解成A×B的过程称为“全美分解”．那么2100是否是“十全九美数”？ （填“是”或“否）”；若自然数M是“十全九美数”，“全美分解”为，将A的十位数字与个位数字的差，与B的十位数字与个位数字的和求和记为：将A的十位数字与个位数字的和，与B的十位数字与个位数字的差求差记为．当能被5整除时，则满足条件的最小自然数M为 ． 【答案】 是 1164 【详解】解：∵，且， ∴2100是“十全九美数”； 设A的十位数字为m，个位数字为n，则B的十位数字为，个位数字为， 则，， ∵M是“十全九美数”，， 由题意得， ， 则 (k为整数)， 由题意知，，且都为整数， ，， 当时，， ∴或或， 解得或 (舍去)或； 当时，， ∴，解得 (舍去)， 当时，， ∴，解得， ∴，； 或，； 或，； ∴， 或， 或， 综上，满足“十全九美数”条件的M有：1564或1914或1164． ∴最小的“十全九美数”是1164； 故答案为：是，1164． 【点睛】本题是新定义题，主要考查了列代数式，以及因式分解的应用，一元一次方程的应用，关键是准确理解“十全九美数”含义． 4．如果一个四位数，前两位数字之和为8，后两位数字之和为5，且各位数字均不为0，则称为“同城数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位数．规定．例如：，∵，，∴2614是“同城数”，则．若“同城数”，则 ． 已知是“同城数”（，，，均为正整数），若是整数，则满足条件的所有之和是 ． 【答案】 30 15078 【详解】解：根据题意，； 因为 是“同城数”，所以，， ， 整理化简得，， 所以，是8的倍数； 那么、可能的取值为，；或，；或，； 满足条件的所有的值为：1741、6214、7123，它们的和为：． 故答案为：30；15078． 5．配方法是将一个式子的某一部分通过恒等变形转化为完全平方式的形式．此法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题：（1）①29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式___________； ②若可配方成（m、n为常数），则___________； 探究问题：（2）①已知，则___________； ②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值___________ 拓展结论：（3）已知实数x、y满足，求的最值，并求出此时x的值． 【答案】（1）①，②；（2）①，②13；（3）的最大值，此时x为 【详解】解：（1）①根据题意得：； ②根据题意得：， ，， ∴； （2）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”，理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （3）∵， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为． 6．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 解得：． ∴另一个因式为，的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k 的值． (2)已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为 ，k的值为 ． (3)已知二次三项式有一个因式是，a是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ． 【答案】(1)， (2)， (3)，． 【详解】（1）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ∴， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （2）解：∵二次三项式有一个因式是，设另一个因式是，则 ， 则， 解得：， 则另一个因式是：，； （3）解：二次三项式有一个因式是，a是正整数，设另一个因式是，则 ， 则， 解得，或（舍去，不符合题意）， 另一个因式是， 故另一个因式是，． 7．仔细阅读下面例题，解答问题． 【例题】已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． 解：设另一个因式为， 则，即． ，解得， 另一个因式为，的值为． 【问题】仿照以上方法解答下面问题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，求另一个因式及的值． (2)已知关于的多项式有一个因式是，求的值． 【答案】(1)； (2)12 【详解】（1）解：设另一个因式为， 则，即， ，解得， 另一个因式为，的值为； （2）解：设另一个因式为， 则，即， ，解得， 的值为12． 8．代数式 ，若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值． 【答案】， 【详解】解：， 即：， ， ∵，，， ∴，，， ∴，． 9．（1）若，，是三角形的三边长，且满足关系式，试判断这个三角形的形状． （2）若，，是的三边长，且满足，则是什么形状？ 【答案】（1）三角形是等腰三角形；（2）是等边三角形 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴这个三角形是等腰三角形． （2）∵， ∴． ∴， 即． ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形． 10．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_________． A．提取公因式    B．平方差公式    C．两数和的完全平方公式    D．两数差的完全平方公式 (2)该同学在第四步将用所设中的的代数式代换，这个结果是否分解到最后？_________．（填“是”或“否”）如果否，请直接写出最后的结果________________． (3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． (4)请你模仿以上方法解关的方程． 【答案】(1)C (2)否， (3) (4)， 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； （2）解：否，最终结果为：， 故答案为：否，； （3）解：设， 原式 ； （4）解：设，则原式化为， ， ， 或， 解得：或， 当时，，即， 解得：，， 当时，，此方程无解， 原方程的解为：，． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式分解因式、利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 11．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ，， ， 的值为9． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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