6.4.3.3 正余弦定理和余弦定理及其应用 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

正弦定理和余弦定理及其应用 ——汪洋中学 陈昌红 一、教学目标 1.掌握正弦定理、余弦定理公式 2.通过对正弦定理、余弦定理的知识点学习和巩固，培养学生数学逻辑思维能力及数学思维 二、基础知识 1、正弦定理公式 2、余弦定理公式 3、三角形面积公式 三、基础自测 1、在中,三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,,则( ) A. B. C. D.. 析：本题告诉了两个角和其中一个角所对的边，用正弦定理比较恰当。 由,则, ,即,解得. 故选:B. 2、在中,已知,则角为(   ) A. B. C. D. 或 分析：本题告诉了几条边的关系，其中还有两边的乘积，结构非常接近余弦定理的样式，所以我们考虑用余弦定理 , ∴, 又∵,∴ 4、 提升教学 例题1：记锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,. （1） 求A （2）若,求的面积. 分析：本题给出了角B的二倍角的正弦与一倍角的余弦之间的关系，我们考虑吧二倍角转化为一倍角，然后再观察正弦值与余弦值之间的关系，通过转化，寻求他们之间的关系，在实际操作过程中，我们要善于抓住关键，然后一边化简，一边寻找突破口。 （1）由,得,即, ,,则, 由正弦定理得,又,所以.（第一问主要是二倍角的运用，再结合正弦定理求出角A的值） （2）由余弦定理,得,而, 得,即,的面积为.（第二问主要结合余弦定理，求出bc的值，再运用我们最新的面积公式求解） 总结：总的来说，两问难度不大，只要熟记正弦定理和余弦定理，面积公式，稍加运用就能解决问题。 例题2：在中，，，，D为边上一点，，，，则的最小值为________. 分析：通过观察，我们发现本题难度较大，综合性强，需要我们借助图形，分析他们之间的关系。在解三角形题中，只要牵涉到边与边的和差关系的，很多时候我们要把它们转化为角的关系，因为三角形的内角和为180°，只要知道一个角，就可以确定其他两个角之间的关系了。 解析：因为D为边上一点，过D作交于E， 则，当B在之间时，无法构成，此时如图所示， 所以B在的延长线上，可得，所以，， 因为，所以，， 而在中，，，可得， ， 在中，由正弦定理得， 即，可得， ，所以， ， ， 当且仅当时取等，此时解得， 所以的最小值为. 5、 五、课后巩固 1、在中,角、、所对边长分别为、、,若,则的最小值为(  ) A. B. C. D. 2、在中，已知则该三角形的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3、设的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知. (1)求B; (2)若的面积为,求的周长. 六、课后小结： 我们要想解决好解三角形问题，必须对正弦定理、余弦定理、三角形面积公式非常熟悉，然后在此基础上灵活运用，多分析，多练习，多总结，多动脑筋思考问题，就一定能够学习好数学知识，数学就一定能够考到高分。 附练习1-3题答案： 1、解析：由余弦定理知，故选C. 2、∵， ∴根据正弦定理得，， ∴， ∴，且， ∴， ∴为钝角，为钝角三角形． 故选：C 3、(1)因为,由正弦定理可得, 且, 即,整理可得, 且,则,可得,即, 且,所以. (2)因为的面积为,则, 又因为,可得, 由正弦定理,可得,,, 其中R为的外接圆半径, 则,即, 可得,则, 由余弦定理可得, 即,解得, 所以的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $$