精品解析：江西省赣州市瑞金第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

高一上学期第一次月考数学试卷 命题人：梁泽承 做题人：赵杉 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先求出图中阴影部分表示的集合，再利用集合的子集个数公式即可得解. 【详解】由题意得，故图中阴影部分表示的集合为， 所以图中阴影部分表示的集合的子集个数为个. 故选：D. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C. 考点：全称命题与存在性命题. 3. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 4. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解作答. 【详解】解不等式，即，解得，即， 解不等式，得，即，或， 所以. 故选：B 5. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】对A选项，设，则，A错误； 对B选项，若,又,所以,故B正确; 对C选项，，但，C错误; 对D选项，，但，D错误. 故选:B. 6. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【详解】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 7. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果. 【详解】由可得，且 因此， 令，则； 又； 当且仅当时，即时，等号成立； 此时的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解. 8. 已知实数a，b是方程的两个根，且，，则下列选项错误的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为12 【答案】D 【解析】 【分析】利用韦达定理求出的范围，然后可得关系，然后结合基本不等式逐项判断即可． 【详解】对A，因为实数a，b是方程的两个根， 所以，所以或， 由根与系数的关系得，，， 又，，所以，且，综上得． 消去k，得， 由基本不等式得，即， 令，则，解得或（舍去）， 当时，，解得，当且仅当时，ab的最小值为9，故A正确； 对B，因为，当且仅当时取等号，的最小值为18，故B正确； 对C，因为，所以，因为，，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为，故C正确； 对D，因为，所以， ， 当且仅当，即，时等号成立，此时的最小值为13，故D错误． 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断ACD的真假；根据一元二次方程根的分布判断B的真假. 【详解】对A：由可得，所以成立，所以“”是“”的充分条件； 由可得或，所以“”是“”的不必要条件. 综上可得：“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对B：“二次方程有一正根一负根”等价于“”，故B正确； 对C：由“且”可得“”，但“”时，如，，此时“且”不成立，故C错误； 对D：因为：推不出，但，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选：ABD 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. （m为任意实数） D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题. 【详解】因为抛物线开口向下，则， 又因为抛物线的对称轴为直线，则，可得， 且抛物线与y轴的交点在x轴上方，则， 对于选项A：可得，故A正确； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项C：抛物线的对称轴为直线，可知当时，y有最大值， 则（m为任意实数）， 所有（m为任意实数），故C正确； 对于选项D：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 则抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 可知当时，，所以，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数满足，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用待定系数法可得，即可根据不等式的性质求解. 【详解】设， 则解得,所以 因为，所以 ， 可得，即的取值范围为. 故答案为：. 13. 若命题“对任意实数，且，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，可得不等式恒成立时，的取值范围，再取其补集即可. 【详解】若不等式对任意实数，且恒成立，则 ， 当且仅当且，即，时等号成立. 所以，故命题为假命题时，的取值范围为. 故答案为: 【点睛】本题主要考查命题的真假，基本不等式的应用，属于中档题. 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题.共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题，命题. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意可得方程有解，然后分和两种情况讨论即可； （2）先由命题为真，求得，设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B，再由题意可得B是A的真子集，从而可求出的取值范围. 【小问1详解】 当，显然不存在使方程1=0成立； 当时，一元二次方程的判别式， 所以，解得或. 【小问2详解】 若命题为真，则， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 设命题为真时的取值集合为A，命题为真时的取值集合为B， 因为命题为真是命题为真的必要不充分条件，所以B是A的真子集， 所以，故. 16. 设集合，． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答． （1）求，． （2）若______，求的取值范围． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1），或 （2） 选①：当时，，得； 当时，或，得． 故的取值范围为或． 选②：当时，，得； 当时，，得． 故的取值范围为． 【解析】 【分析】(1)先化简集合，再根据补集的定义可求； (2)选①：根据交集的意义可求；选②：根据包含关系的意义可求. 【小问1详解】 由，得，由，得， 则 或 【小问2详解】 略 17. （1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 【答案】（1），； （2）当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解与相应一元二次方程根与系数的关系，结合韦达定理求得后再解相应的不等式即可； （2）比较和，分、、三种情况解不等式即可. 【详解】（1）由的解集为，知的两根为，2， 所以，解得 所求不等式为， 变形为， 即，解得或， 所以不等式的解集为． （2）原不等式为． ①若时，即时，原不等式的解集为； ②若时，即时，原不等式的解集为； ③若时，即时，原不等式的解集为． 综上可得，当时，原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为； 当时，则原不等式的解集为． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由如下： 方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 采用方案二，花费更少，理由略； 【小问2详解】 由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 19. 已知函数，集合. （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设可判断解集中的3个整数为，故可得关于的不等式组，从而可求其范围. （2）根据包含关系可得关于的不等式组即为，从而可求其范围. 【小问1详解】 ， 因为且中有且只有3个整数， 故这3个整数为，故即， 故或. 【小问2详解】 ， 因为，所以， 因为，故任意，总有恒成立， 因为的对称轴为， 故，故， 故即， 故存在，使得成立， 而，故， 而，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上学期第一次月考数学试卷 命题人：梁泽承 做题人：赵杉 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 3. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b是方程的两个根，且，，则下列选项错误的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为18 C. 的最小值为 D. 的最小值为12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C. “且”是“”的充要条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. （m为任意实数） D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数满足，则的取值范围是______. 13. 若命题“对任意实数，且，不等式恒成立”为假命题，则的取值范围为_______. 14. 设，若时，均有成立，则实数的取值集合为__________. 四、解答题：本题共5小题.共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题，命题. （1）若为真命题，求的取值范围； （2）若“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件，求的取值范围. 16. 设集合，． 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答． （1）求，． （2）若______，求的取值范围． 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分． 17. （1）已知一元二次不等式的解集为，求实数、的值及不等式的解集． （2）已知，解不等式：． 18. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 19. 已知函数，集合. （1）若集合中有且仅有3个整数，求实数的取值范围； （2）集合，若存在实数，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $