精品解析：广东省广州市黄埔区玉岩中学2024～2025学年高一上学期阶段性教学质量检测9月数学试题

2024-2025学年第一学期阶段性教学质量检测（9月） 高一数学 时量：120分钟，总分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知M，N均为R的子集，且，则为（ ） A. M B. N C. D. R 5. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错的得0分． 9. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 10. 设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是16 B. 的最小值为128 C. 的最小值为18 D. 的最小值为26 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 13. 设集合，，全集，且，则实数m取值范围为________； 14. 已知a，b为正实数，则的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，， （1）若，求，； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 16. 已知集合 （1）若，求实数取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 17. 已知，求证： （1）； （2）． 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）求值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 19. （1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段性教学质量检测（9月） 高一数学 时量：120分钟，总分：150分 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出集合的元素，再根据集合交运算即可求解. 【详解】即， 解得， 由题意得， 则. 故选：. 3. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得结论. 【详解】因为，所以且， 所以. 故选：C. 4. 已知M，N均为R的子集，且，则为（ ） A. M B. N C. D. R 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出韦恩图，结合韦恩图分析求解. 【详解】因为M，N均为R的子集，且，作出韦恩图， 由韦恩图可知：. 故选：A. 5. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质求解即得. 【详解】对于A，，A不； 对于B，当时，由，得，B不； 对于C，，可能有，如，C不是； 对于D，由，得，则；若，则，D是. 故选：D 6. 某班有21名学生参加数学竞赛，17名学生参加物理竞赛，10名学生参加化学竞赛，他们之中既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有12人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的有6人，既参加物理竞赛又参加化学竞赛的有5人，三科都参加的有2人．现在参加竞赛的学生都要到外地学习参观，则需要预订多少张火车票（ ） A. 29 B. 27 C. 26 D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，根据Venn图求出参加数理化的人数，即可求出需要预订多少张火车票. 【详解】该班学生参加竞赛情况如图所示，集合A，B，C，D，E，F，G中的任意两个集合无公共元素， 其中G表示三科都参加的学生集合，G中的学生数为2． 因为既参加数学竞赛又参加物理竞赛有12人，所以D中的学生数为， 同理，得E中的学生数为，F中的学生数为． 又因为参加数学、物理、化学竞赛的人数分别为21，17，10， 所以A中的学生数为， B中的学生数为， C中的学生数为， 故置预订火车票的张数为． 故选：B. 7. 已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 8. 设，若恒成立，则k的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分，有选错的得0分． 9. 命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】依题意可得使得，求出，即可求出的取值范围，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】因为命题“”是真命题， 所以使得，又，，所以， 因为真包含于，真包含于， 所以的一个充分不必要条件是或. 故选：CD 10. 设是有理数集，集合，在下列集合中，与相同的集合有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用集合相等的含义求解即可. 【详解】对于A，由，得，一一对应， 则； 对于B，由，得，一一对应，则； 对于C，由，得，一一对应，则； 对于D，，但方程无解，则与不相同 故选：ABC. 11. 已知，且，则（ ） A. 的最小值是16 B. 的最小值为128 C. 的最小值为18 D. 的最小值为26 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：利用基本不等式求解即可.选项B：利用基本不等式求解即可.选项C：结合选项A求解即可.选项D：利用消元法结合对勾函数求解即可. 【详解】因为，且，所以，解得， 当且仅当时等号成立，故A正确； 因为，由A选项分析可知， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 由选项A知，则又因为，当且仅当时等号成立， 则则选项C错误. 因为，且，所以， 所以 ，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的列举法、元素与集合的关系、集合中元素的特性、集合间的关系分析运算即可得解. 【详解】解：由题意，∵集合中有元素， ∴， 又∵， ∴，则， ∴， ∴，解得：或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，，， 满足， ∴，则. 故答案为：. 13. 设集合，，全集，且，则实数m的取值范围为________； 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意得，再根据求解即可得答案. 详解】由已知得：，则， 因为，且， 如图： 则，即，则实数m的取值范围为. 故答案为： 14. 已知a，b为正实数，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先将两个分母看做两个整体，然后化简利用基本不等式求解即可. 【详解】令 得 所以 当且仅当时，即时，等号成立， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，， （1）若，求，； （2）若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，再利用集合的运算即可求出结果； （2）由（1）知或，根据条件，借助数轴，即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以或， 所以，． 【小问2详解】 由（1）知或，又中只有一个整数， 由图知，，且， 解得，所以实数的取值范围是． 16. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围. （2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）考虑的情况，然后求解出的范围，最后根据对应范围在实数集下的补集求解出结果； （2）根据条件先分析出，然后考虑的情况，由此求解出符合条件的的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 若，满足，则，解得； 若，因为，所以，所以， 所以时，的取值范围是， 所以时，的取值范围是. 【小问2详解】 因为“，使得”是真命题，所以， 当时， 若，成立，此时，解得； 若，则有或，解得， 所以时，的取值范围是或， 所以命题为真命题时的取值范围是. 17. 已知，求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再由基本不等式证明即可； （2）利用代入得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 ， ， 当且仅当，即时等号成立． 【小问2详解】 ， ， 当且仅当时，即时等号成立． 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）求值； （2）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？ （注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】（1） （2） （3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 【解析】 【分析】（1）依题意当时，代入计算可得； （2）依题意求出当年生产吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润； （3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得. 【小问1详解】 由题意可知，当时，，所以，解得； 【小问2详解】 由于，故， 由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：， 当销售吨时，年销售收入为：， 由题意，， 即. 【小问3详解】 由（2）知：， 即 ， 当且仅当，又，即时，等号成立. 此时，. 该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元. 19. （1）已知求函数最小值，并求出最小值时的值； （2）问题：正数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】（1）当函数最小值为（2），当且仅当且，同号时等号成立.（3）当时，取得最小值 【解析】 【分析】根据乘1法，构造法，基本不等式和 的转换思想解决即可. 【详解】解： 当且仅当时取“=” 所以当函数最小值为 （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足； （3）令，，构造求出，， 因为，所以， 所以M= 取等号时，解的，，即 所以时，取得最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $