精品解析：山东省青岛第十七中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

青岛十七中2023级高二2024—2025学年度第一学期 学科能力素养测试 数学试题 命题人：程子辰 审核人：王克辉、张甜甜 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 2. 已知，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 4 3. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在中，已知是边上一点，若，则（ ） A. 2 B. １ C. -2 D. －1 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 8. 以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（     ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C. 若，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若A，B是互斥事件，则 B. 若，则 C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若，则A，B是相互独立事件 12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 为线段上的一个动点，则的最大值为3 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为______________________. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________. 15. 如图，在长方体中，，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为______． 16. 已知，若点在线段上，则的最小值为______． 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 18. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 （1）在树状图中填写样本点，并写出样本空间； （2）求李明第二次答题通过面试的概率； （3）求李明最终通过面试的概率． 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青岛十七中2023级高二2024—2025学年度第一学期 学科能力素养测试 数学试题 命题人：程子辰 审核人：王克辉、张甜甜 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A. 单位向量都相等 B. 若，则的长度相等而方向相同或相反 C. 若向量，满足，则 D. 相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2. 已知，且，则的值为（　　） A. 5 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，代入坐标计算可得答案． 【详解】由题意可得，则，解之可得. 故选：D． 3. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的概念，空间的一组基底，必须是不共面的三个向量求解判断各个选项. 【详解】对于A，设，即，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于B，设，无解， 所以不共面，能构成空间的一组基底，故B正确； 对于C，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：B. 4. 如图，在四面体中，，，，点M、 N分别在线段、上，且，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量基本定理结合线段比例关系分解向量即可. 【详解】由题意 . 故选：A. 5. 若数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，标准差是，则下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由数据、、…、的平均数是4，方差是4，数据、、…、的平均数是，方差，代入计算可得平均数，方差的值，开方求出标准差，可得答案. 【详解】因为数据、、…、的平均数是4，方差是4， 即，， 数据、、…、的平均数 ， 数据、、…、的方差 ， 所以标准差是. 故选：D. 6. 在中，已知是边上一点，若，则（ ） A. 2 B. １ C. -2 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】由可得为线段的三等分点中靠近的点，由向量的加(减)法及数乘运算可得，即可求得. 【详解】解：如图所示： 因为， 所以为线段的三等分点中靠近的点， 所以=, 所以， 所以. 故选：C. 7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 8. 以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的定义得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点D到平面ABC的距离为h，运用等体积法可求得答案. 【详解】由已知得， 所以是和折成的二面角的平面角，所以， 又，所以， ，所以， 因为，其中， 所以点在平面内，则的最小值为点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为，，平面， 所以平面，所以是点到平面的距离， 所以， 又中，，所以， 而为三角形内角，所以， 则， 所以，解得， 所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：空间向量中的线段长度的最值问题，可根据向量代数式的几何意义转化为点面距的问题来处理. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（     ） A. 若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C. 若，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率关系，点斜式及斜截式判断各项正误即可. 【详解】A：倾斜角为锐角，斜率为正；倾斜角为钝角时，斜率为负，错； B：直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，错； C：由题设，知两点横坐标相同，直线方程为，直线的倾斜角为，对； D：过，两点的斜率为：，对. 故选：CD. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量的运算公式逐项判断即可. 【详解】对于A，，故，故A错误； 对于B，， ，故B正确； 对于C，，故，故C错误； 对于D，，故，故D正确. 故选：BD 11. 设A，B易两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 若A，B是互斥事件，则 B. 若，则 C. 若A，B是相互独立事件，则 D. 若，则A，B是相互独立事件 【答案】CD 【解析】 【分析】A由互斥事件概念可知；B由事件的包含关系得；C由概率性质与概率乘法公式可得；D由概率加法公式与相互独立事件的定义可得. 【详解】A项，若是互斥事件，不可能同时发生， ，故A错误； B项，若，则，则，故B错误； C项，若相互独立，则， 所以，故C正确； D项，由，且事件互斥，则, 若， 则， 又，，故相互独立，故D正确. 故选：CD. 12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ） A. B. 异面直线与所成角正弦值为 C. 点到直线的距离是 D. 为线段上的一个动点，则的最大值为3 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据坐标运算可判断A；利用向量夹角公式和同角三角函数的基本关系求解，可判断B；根据点到直线的向量公式可判断C；利用坐标表示出，即可判断D； 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 故，， 对于A，所以，A错误； 对于B，记异面直线与所成角为，则， 所以，故B正确. 对于C，记同向的单位向量为， 则点P到直线的距离，故C错误； 对于D，设点，使，， 则，故， 则， 因，则时，即点与点重合时，取得最大值3，故D项正确； 故选：BD. 【点睛】方法点睛：解决此类问题的主要方法有： （1）定义法：运用空间向量的加减数乘和数量积的定义进行计算分析； （2）基底表示法：将相关向量用空间的一组基底表示再进行相关计算； （3）建系法：通过建立空间直角坐标系，引入相关点的坐标，利用点线距离公式、空间向量的夹角公式等公式计算即得. 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分． 13. 已知 ，则 与 夹角的余弦值为______________________. 【答案】## 【解析】 【分析】由空间向量的数量积公式求解即可． 【详解】， . 故答案为： 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由几何图形结合向量加减运算求出，接着由已知条件结合向量的运算律计算求出即可求解. 【详解】连接， 则由题得， 所以 ， 故. 故答案为：. 15. 如图，在长方体中，，以D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，若为线段的中点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出点的坐标，应用向量法求点到平面距离即可. 【详解】如图可得, 设平面法向量为, 所以, 令,所以, 所以, 所以到平面的距离为. 故答案为：. 16. 已知，若点在线段上，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】表示线段上点和点连线的斜率，进而由数形结合即可求解. 【详解】表示线段上点和点连线的斜率， 如图: 由图形可知，当点与重合时的斜率最小， 又，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由中位线易证明四边形是平行四边形，进而得到，进而得到平面； （2）由题易知，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值； 【小问1详解】 如图所示，连接． 因为，分别是棱，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 则． 因为平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面， 平面, 所以， 又因为， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得，， ，． 设平面的法向量为， 则 令，得． 因为，，平面， 所以平面 平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 故， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 18. 某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是0.6．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么 （1）在树状图中填写样本点，并写出样本空间； （2）求李明第二次答题通过面试的概率； （3）求李明最终通过面试的概率． 【答案】（1）树状图见解析，样本空间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出树状图，并写出样本空间即可； （2）由第二次通过面试，即第一次没有通过，第二次通过，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； （3）先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，可得树状图及样本点，如图所示， 其样本空间为. 【小问2详解】 解：由题意知，， 所以第二次答题通过面试的概率. 【小问3详解】 解：由题意，李明未通过的概率为， 所以李明通过面试的概率为. 19. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $