第03讲 立方根（1个知识点+5大题型+15道强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第03讲 立方根（1个知识点+5大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握立方根的概念； 2.学会求一个数的立方根； 1.掌握立方根的概念； 2.掌握立方根的实际应用； 知识点01：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即学即练1】 1．下列命题，其中正确的命题是（　　） A．的平方根是3 B．的立方根是 C．的算术平方根是3 D．立方根等于本身的数只有0，1 【即学即练2】 2．若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 题型01 立方根概念理解 1．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 3．一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 4．实数与互为倒数，则a的值是 ． 5．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 题型02 求一个数的立方根 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．判断下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．4是64的立方根 C．是的立方根 D．的平方根是 3．①16的平方根是 ；②125的立方根是 ； 4．已知，，则 ． 5．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求 的平方根． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 1．若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 2．实数a的立方根与的倒数相等，则a的值为（    ） A．8 B． C． D． 3．若，，则 ． 4．已知a的平方根是，b的立方根是，则的平方根为 ． 5．已知的平方根是，的立方根是1． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 题型04 立方根的实际应用 1．如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为和，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（    ）． A．161 B．186 C．195 D．204 3．若一个正方体的体积为，则这个正方体的表面积为 ． 4．某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 5．如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 题型05 算术平方根和立方根的综合应用 1．已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 2．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（    ） A． B．1 C． D．3 3．已知某个数的平方根为和，且的立方根为，则 . 4．观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① = ，②若 =0.18308，则x= ． 5．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 1．判断下列说法正确的是（    ） A．是的立方根 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．算术平方根等于本身的数是 2．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 3．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 4．按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ）    A． B． C． D． 5．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 6．若，则 ． 7．若，则 ， ． 8．一个正数m的两个平方根分别为和，则这个正数m的立方根是 ． 9．下列关于a，b的结论： ①，；②，b的立方根等于2； ③某正实数b的两个不同平方根分别是和； ④a是的整数部分，b是不超过的最大整数． 其中满足的结论是 （填写序号） 10．如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 11．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 12．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 13．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 14．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ． 15．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 立方根（1个知识点+5大题型+15道强化训练） 课程标准 学习目标 1.掌握立方根的概念； 2.学会求一个数的立方根； 1.掌握立方根的概念； 2.掌握立方根的实际应用； 知识点01：立方根 1. 定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． 2. 正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 3. 求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 总结： 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 【即学即练1】 1．下列命题，其中正确的命题是（　　） A．的平方根是3 B．的立方根是 C．的算术平方根是3 D．立方根等于本身的数只有0，1 【答案】B 【分析】()的平方根为，算术平方根为，的立方根为，据此进行逐一判断即可． 【详解】解：A.的平方根是，原命题是假命题，不符合题意； B.的立方根是，是真命题，符合题意； C.的算术平方根是，原命题是假命题，不符合题意； D.立方根等于本身的数有0，，原命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的求法，掌握求法是解题的关键． 【即学即练2】 2．若，，则x为（    ）． A．214 B． C．2140 D． 【答案】A 【分析】将变形为，结合已知等式即可求解． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题关键是借助已知等式求解． 题型01 立方根概念理解 1．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③1的算术平方根是；④没有立方根；⑤16的平方根是，用式子表示是；⑥．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根逐项分析即可得解． 【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故原说法正确，符合题意； ②无理数是无限不循环小数，故原说法错误，不符合题意； ③1的算术平方根是，故原说法错误，不符合题意； ④的立方根为，故原说法错误，不符合题意； ⑤16的平方根是，用式子表示是，故原说法错误，不符合题意； ⑥，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①，共个， 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴、无理数的定义、算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 2．下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．的立方根是 C．是的立方根 D．的立方根是2 【答案】C 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是正确理解：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x叫做a的立方根．根据立方根的定义及性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、27的立方根是3，此选项错误，不符合题意； B、的立方根是，此选项错误，不符合题意； C、是的立方根，此选项正确，符合题意； D、的立方根是，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根和立方根的定义和性质，任意一个数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．根据平方根和立方根的性质解答即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身，的立方根是它本身， ∴一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是． 故答案为：． 4．实数与互为倒数，则a的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了倒数，立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根是解题关键．先求出的立方根，再求出它的倒数，然后根据立方根的定义，即可求出a的值． 【详解】解：， 的倒数为， 与互为倒数， ， ， 故答案为：． 5．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【答案】(1)59319的立方根为两位数 (2)个位数字为9，见解析 (3)十位上的数字为3，见解析 (4)19，27，48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． （1），，且，得出，即可得出结论； （2）根据1到9的立方个位数字出现的规律，即可得出结论 （3）根据，，且，即可得出结论； （4）先用（1）的方法确定是两位数，再用（2）的方法确定个位数字为9，再用（3）的方法确定6859十位数字为1，则；同理可得：；1． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴59319的立方根为两位数； （2）解：∵，，，，，，，，，根据个位数字出现的规律， 由59319的个位上的数是9，因此的个位数字为9； （3）解：划去59319后面的三位319得到数59， ∵，， ∴， ∴的十位上的数字为3； （4）解：∵，，且， ∴是两位数， ∵6859个位数字为9， ∴个位数字为9， ∵，，且， ∴6859十位数字为1， ∴； 同理可得：；1． 题型02 求一个数的立方根 1．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的性质，解题的关键是掌握立方根的性质．根据，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．判断下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．4是64的立方根 C．是的立方根 D．的平方根是 【答案】A 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可，注意负数没有平方根． 【详解】A、负数没有平方根，故该选项错误； B、4是64的立方根，故该选项正确； C、是的立方根，故该选项正确； D、，16的平方根是，故该选项正确； 故选：A． 3．①16的平方根是 ；②125的立方根是 ； 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，属于基本题型，熟练掌握二者的概念是解题的关键．根据平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解：16的平方根是，的立方根是． 故答案为：，． 4．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，理解立方根的定义是正确解答的前提．根据立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 5．已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求 的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根的运用， （1）根据平方根，立方根的概念可得，由此即可求解； （2）把（1）中求出的的值代入，结合平方根的计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 解得，， ，则， 解得，； （2）解：， ∴， ∴的平方根为． 题型03 已知一个数的立方根，求这个数 1．若一个数的立方根是4，那么这个数的平方根是（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，能够通过立方根求出原数是解题关键． 先通过立方根求出原数为，再求平方根即可． 【详解】解：∵这个数的立方根是 ∴这个数为 ∴的平方根为 故选：D． 2．实数a的立方根与的倒数相等，则a的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根的定义、倒数的定义求解． 【详解】解：，倒数为，故， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根，立方根，倒数，熟练相关定义是解题的关键． 3．若，，则 ． 【答案】3750 【分析】本题考查被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系．根据被开方数和立方根之间的小数点位数的移动关系，进行计算即可． 【详解】解：∵0.1554，15.54， ∴． 故答案为：3750． 4．已知a的平方根是，b的立方根是，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的值，再计算出的值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵a的平方根是，b的立方根是，即， ∴， ∴， ∴1的平方根为， 故答案为：． 5．已知的平方根是，的立方根是1． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根为 【分析】本题考查平方根和立方根的计算，能够熟练掌握计算法则是解题关键． （1）通过“9的平方根是，1的立方根是1”，列出方程解出、的值即可； （2）通过第一问的、的值，先求出代数式的值，再算出平方根即可． 【详解】（1）∵的平方根是，的立方根是1 ∴， ∴，； （2）由（1）可知，， ∴ ∴的平方根为 题型04 立方根的实际应用 1．如图，是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．阴影部分是一个正方形，把正方形放到数轴上，使得A与重合，那么D在数轴上表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体的体积公式可求这个魔方的棱长为4，根据魔方的棱长为4，所以小立方体的棱长为2，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长，根据两点间的距离公式可得D在数轴上表示的数． 【详解】解：∵， ∴这个魔方的棱长为4， ∴小正方体的棱长为2， ∴阴影部分的面积为：， ∴小正方形的边长为：， ∴点D在数轴上表示的数为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是立方根、平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长． 2．如图的零件是由两个正方体焊接而成，已知大正方体和小正方体的体积分别为和，现要给这个零件的表面刷上油漆，那么所刷油漆的面积是（    ）． A．161 B．186 C．195 D．204 【答案】B 【分析】先求出大正方体和小正方体的棱长，再求出零件的表面积即可求解． 【详解】解：∵大正方体的体积为，小正方体的体积为， ∴大正方体的棱长为，小正方体的棱长为， ∴大正方体的每个表面的面积为，小正方体的每个表面的面积为， ∴这个零件的表面积为：． ∴要给这个零件的表面刷上油漆，则所需刷油漆的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查立方根，表面积．理解题意是解题的关键． 3．若一个正方体的体积为，则这个正方体的表面积为 ． 【答案】96 【分析】本题主要考查了正方体，立方根的应用．根据正方体的体积是64，立方根的定义，得到正方体的棱长为4，根据正方体表面积等于它6个面的面积和，得到它的表面积为96． 【详解】解：∵正方体的体积是， ∴正方体的棱长为， ∴它的表面积为． 故答案为：96． 4．某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米． 【答案】 【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可． 【详解】解：正方体贮水池的棱长为： （分米）． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 5．如图，是一块体积为的立方体铁块． (1)求这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成两个小立方体铁块，其中一个的体积为，求另一个小立方体铁块的棱长． 【答案】(1)这个铁块的棱长为 (2)另一个小立方体铁块的棱长为 【分析】本题考查立方根的应用，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）根据正方体的体积公式和立方根的定义进行解答； （2）根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】（1）根据题意，得 铁块的棱长为， 答：这个铁块的棱长为． （2）设另一个小立方体铁块的棱长为， 则． ∵， ∴． 答：另一个小立方体铁块的棱长为． 题型05 算术平方根和立方根的综合应用 1．已知，的平方根是，的立方根是3，求的算术平方根（    ）． A． B．12 C．13 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入求解，再计算出其算术平方根即可得到答案． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 又∵的立方根是3， ∴， ∴把x的值代入解得： ， ∴， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案选：C． 【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运算来寻找答案． 2．如果的算术平方根是2，27的立方根是，则（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】根据算术平方根以及立方根算出、即可得到答案． 【详解】解：的算术平方根是2， ， ， 27的立方根是， ，即， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的定义是解题的关键． 3．已知某个数的平方根为和，且的立方根为，则 . 【答案】 【分析】根据平方根的性质，得出，根据立方根的定义得出，继而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵某个数的平方根为和， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根与立方根综合，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 4．观察：=0.2477， =2.477， =1.8308，=18.308；填空：① = ，②若 =0.18308，则x= ． 【答案】 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位；立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】解：∵=2.477， ∴， ∵=1.8308，=0.18308， ∴ 故答案为：，． 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 5．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长； (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与重合，那么点D在数轴上表示的数为_____． 【答案】(1)这个魔方的棱长为2； (2)阴影部分的面积为，边长为 (3) 【分析】本题考查了实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． （1）设这个魔方的棱长为，根据正方体的体积公式列方程，利用立方根解方程即可； （2）根据魔方的棱长，得到每个小立方体的棱长，进而得到每个小正方形的面积，再由魔方的一面的面积的一半，求出阴影部分的面积，再结合正方形面积公式，即可求出边长； （3）由（2）可知正方形边长为，用点表示的数减去边长求解即可． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为， 则， 解得：， 即这个魔方的棱长为2； （2）解：魔方的棱长为2，则每个小立方体的棱长都为， 每个小正方形的面积都为， 魔方的一面的面积为， 阴影部分的面积， 正方形的面积为， 它的边长为； （3）解：由（2）可知正方形边长为， , 点A与重合， 点D在数轴上表示的数为, 故答案为：． 1．判断下列说法正确的是（    ） A．是的立方根 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．算术平方根等于本身的数是 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根及平方根的定义逐项判断即可求解，掌握立方根、算术平方根及平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：、是的立方根，该选项说法错误，不合题意； 、是的算术平方根，该选项说法正确，符合题意； 、的平方根是，该选项说法错误，不合题意； 、算术平方根等于本身的数是和，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 2．一个正方体，它的体积是棱长为的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是（    ）． A．4 B．8 C．10 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了立方根，正确把握定义是解题关键．直接利用已知得出立方体的体积，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：棱长为的正方体的体积为：， 一个正方体，它的体积是棱长为的正方体的体积的8倍， 这个正方体的体积为：， 这个正方体的棱长为：． 故选：A． 3．2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 4．按图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，无理数，直接利用算术平方根，立方根的定义按照程序图的步骤进行计算即可． 【详解】解：由所示的程序可得：64的算术平方根是8，8是有理数，故8取立方根为2，2的算术平方根为，为无理数，输出即可， 故选：B． 5．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由，，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，，由此能确定的十位上的数是4． （提示：，，，） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（    ） A．19 B．15 C．12 D．14 【答案】D 【分析】本题考查立方根的定义和求解，根据题目的方法步骤进行分析即可． 【详解】解：①由，，能确定是两位数； ②由205379的个位上的数是9，因为，能确定的个位上的数是9； ③如果划去205379后面的三位379得到数205，而，，由此能确定的十位上的数是5． 即， ∴的每位数上的数字之和为， 故选：D． 6．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根和绝对值的非负性可求出的值，再代入计算立方根即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．若，则 ， ． 【答案】 【分析】根据立方根的性质，进行运算，即可求解． 本题考查了立方根的性质，解题的关键是：熟练掌握立方根的性质． 【详解】解：∵， ∴， ， 故答案为：12；． 8．一个正数m的两个平方根分别为和，则这个正数m的立方根是 ． 【答案】4 【分析】这道题主要考查平方根和立方根的计算，解题的关键是知道一个正数的两个平方根之间的关系． 一个正数的两个平方根互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程求出，再求出平方根，然后根据平方根的平方求出，最后求的立方根． 【详解】解：根据题意，得：， ， ， ， ． ， ， 的立方根为4． 故答案为：4． 9．下列关于a，b的结论： ①，；②，b的立方根等于2； ③某正实数b的两个不同平方根分别是和； ④a是的整数部分，b是不超过的最大整数． 其中满足的结论是 （填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解答本题的关键．用作差法可判断①；根据算术平方根和立方根的意义求出a，b的值可判断②；根据平方根的意义可判断③；利用无理数的估算可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴； ②∵，b的立方根等于2， ∴，， ∴， ∴； ③∵某正实数b的两个不同平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④∵， ∴ ∵a是的整数部分， ∴． ∵， ∴， ∵b是不超过的最大整数， ∴， ∴． ∴满足的结论是①③④， 故答案为：①③④ 10．如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，即当时，．由此解决下列问题： （1）若，则 ； （2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，则的立方根为 ． 【答案】 2.65 【分析】本题考查了相反数的定义、立方根、平方根、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意可知与互为相反数，即可得出答案； （2）根据题意得出，解方程即可得出的值，根据平方根是它本身的数为，求出的值，从而得出的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：（1）根据题意可知与互为相反数， 故， 故答案为：2.65； （2）根据题意，得， 解得． 的平方根是它本身， ， 解得． ， 故的立方根为， 故答案为：． 11．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（）移项，利用平方根的定义解答即可求解； （）移项，利用立方根的定义解答即可求解； 本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 12．（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 13．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根． 【答案】9 【分析】根据题意，得到，求得，计算的值，最后计算算术平方根． 本题考查了算术平方根即正的平方根，，则x叫做a的平方根，，则x叫做a的立方根，熟练掌握平方根、算术平方根，立方根的定义是解题的关键． 【详解】因为的平方根是，的立方根是2， 所以， 解得， 所以， 所以． 14．魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议、如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． (1)求组成这个4阶魔方的小正方体的棱长． (2)若图（1）中的四边形是一个正方形，求该正方形的面积及边长． (3)若把图（1）中正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为________，这个数的绝对值是 ． 【答案】(1) (2)边长为，面积为 (3)， 【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴，勾股定理等等： （1）求出一个小正方体的体积，进而求出求棱长即可； （2）利用勾股定理求出边长，再根据正方形面积计算公式求解即可； （3）根据（2）所求结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】（1）解：， ∴组成这个4阶魔方的小正方体的棱长为； （2）解：由勾股定理得， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为； （3）解：∵，点A表示的数为1， ∴点D表示的数为． 这个数的绝对值是． 故答案为：，． 15．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有道智力题：一个数是59319，希望求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请按照下面的问题试一试： (1)由，，你是怎样确定是几位数的？ (2)由59319的个位上的数是9，你是怎样确定的个位上的数是几的？ (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，由此你又是怎样确定的十位上的数是几的？ (4)已知6859，19683，110592都是整数的立方，按照上述方法，请你确定它们的立方根（直接写出结果）． 【答案】(1)59319的立方根为两位数 (2)个位数字为9，见解析 (3)十位上的数字为3，见解析 (4)19，27，48 【分析】本题主要考查了立方根以及数的立方，理解一个数的立方的个位上的数就是这个数的个位上的数的立方的个位上的数是解题的关键． （1），，且，得出，即可得出结论； （2）根据1到9的立方个位数字出现的规律，即可得出结论 （3）根据，，且，即可得出结论； （4）先用（1）的方法确定是两位数，再用（2）的方法确定个位数字为9，再用（3）的方法确定6859十位数字为1，则；同理可得：；1． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴59319的立方根为两位数； （2）解：∵，，，，，，，，，根据个位数字出现的规律， 由59319的个位上的数是9，因此的个位数字为9； （3）解：划去59319后面的三位319得到数59， ∵，， ∴， ∴的十位上的数字为3； （4）解：∵，，且， ∴是两位数， ∵6859个位数字为9， ∴个位数字为9， ∵，，且， ∴6859十位数字为1， ∴； 同理可得：；1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$