精品解析：浙江省宁波市荣安实验中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

宁波荣安实验中学2024学年第一学期10月月考 高二 数学 试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A B. C. D. 3. 已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 4. 两平行直线，的距离等于（ ） A. B. C. D. 5. 若与是两条不同直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是 C. 若直线方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 7. 已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 8. 在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆心为，半径，写出圆的标准方程______． 13. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________. 14. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为，，. （1）试判断形状； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 16. 如图，在棱长是2正方体中，为的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 17. 如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. （1）用，，分别表示向量与； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 18. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. （1）证明：无论取何值，总有； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波荣安实验中学2024学年第一学期10月月考 高二 数学 试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方程直接求出斜率即可. 【详解】直线的斜率为. 故选：A. 2. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的共线，垂直的充要条件以及空间向量坐标的减法，模长定义即得. 【详解】因， 对于A选项，由可得：，易知的值不存在； 对于B选项，由可知不成立； 对于C选项，； 对于D选项， 故选：D. 3. 已知平面外的直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，进而得到与的位置关系. 【详解】因为，所以，所以或， 由于，所以. 故选：B. 4. 两平行直线，的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助两平行线距离公式即可得. 【详解】即为， 则. 故选：B. 5. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行解出的值即可. 【详解】由题意，若，所以，解得或， 经检验，或时，， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C． 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若方程表示一个圆，则实数的取值范围是 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 已知为空间任意一点，，，，四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间点关于平面的对称点的特点判断A；利用二次方程表示圆的条件判断B；由线面角的定义判断C；由共面向量定理判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A错误； 对于B，方程表示圆，则，即，B错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C正确； 对于D，由及四点共面，而四点中任意三点不共线， 则，解得，D错误. 故选：C 7. 已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ） A. 12 B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值. 【详解】因为，，所以， 又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为， 所以圆上点到直线的最大距离为， 所以的面积的最大值为， 故选：D. 8. 在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出点的轨迹方程为，设，整理可得，从而将所求转化为点到点和点的距离之和的一半，再结合图象进行求解即可. 【详解】设， 由， 得，化简整理得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， 设，则， 故， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：设，得出，将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（    ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系及三角函数的性质即可判断A选项，利用两直线的垂直及充要条件的定义即可判断B选项，利用空间向量的基本定理可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的倾斜角为，则，因为，所以，所以，故A正确； 对于B选项，因为直线与直线互相垂直，所以，即，解得或，所以“”是“或”的充分不必要条件，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，故B错误； 对于C选项，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，不妨设这两个非零向量不共线，设这两个非零向量为，由空间向量的基本定理可知，在空间中必存在非零向量，使得为空间的一个基底，假设不成立，故这两个非零向量共线，故C正确; 对于D选项，因为向量，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用向量垂直的坐标运算判断A，利用异面直线的向量夹角公式计算判断B，连接，结合锥体体积公式，利用等体积法判断C，利用向量的坐标运算表示线面角的正弦值，然后利用二次函数及正弦函数的单调性即可判断D. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，，，，； 对于A，假设存在点，使得， 则，又， 所以，解得，即点与重合时，，A正确； 对于B，假设存在点，使得异面直线与所成的角为， 因为，， 所以，方程无解；所以不存在点，B错误； 对于C，连接，设， 因为， 所以当，即点与点重合时，取得最大值； 又点到平面的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面的法向量，则， 令，则， 因为，设直线与平面所成的角为，， 所以， 当点自向处运动时，的值由到变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆心为，半径，写出圆的标准方程______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求解即可. 【详解】已知圆心为，半径， 则圆的标准方程为：. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中，已知三点，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出，进而得出，再利用点到直线的距离的向量法即可求出结果. 【详解】因为，所以， 所以，得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为：. 14. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标为，，. （1）试判断的形状； （2）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）为直角三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，得到，故得到垂直关系，得到三角形形状； （2）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，得到答案. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，， ，， 又，， 为直角三角形. 【小问2详解】 因为， 所以边上高线所在直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 16. 如图，在棱长是2的正方体中，为的中点. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出向量，然后由异面直线所成角的向量公式即可求解； （2）求得平面一个法向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 因为正方体棱长为2，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则有， ， 因为， 所以， 因为异面直线与所成角是锐角，所以异面直线与所成角的余弦值是. 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的一个平面的法向量为， 则，令，解得， 所以平面的一个平面的法向量为，又， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成的角为， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 17. 如图，棱长为1的正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，. （1）用，，分别表示向量与； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案. （2）设异面直线与所成角为，将用基底，，表示，代入公式计算得出答案. 【小问1详解】 在正四面体中，，分别为棱，的中点， 则， ； 【小问2详解】 由（1）知，，. 又，设异面直线与所成角为， 则 . 18. 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）最小值为， 【解析】 【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证； （2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程； （3）根据对称可得点关于直线对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标. 【小问1详解】 由题意可得圆的方程为：， 化简可得， 与坐标轴的交点分别为：，， 为定值. 【小问2详解】 如图所示， ， 原点在线段的垂直平分线上， 设线段的中点为，则，，三点共线， 又的斜率， ， 解得， 又，所以， 可得圆心， 圆的方程为：； 【小问3详解】 如图所示， 由（2）可知：圆心，半径，， 设点关于直线的对称点为， 则中点为， 且，解得，即， 则， 又点到圆上点的最短距离为， 则的最小值为， 此时直线的方程为：， 点为直线与直线的交点， 则，解得， 即点. 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在直线上，且. （1）证明：无论取何值，总有； （2）当取何值时，直线与平面所成角最大?并求该角取最大值时的正切值； （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）； （3）存在；点的位置在 【解析】 【分析】（1）以，，别为轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即； （2）设出平面的一个法向量，表达出，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的值，进而求出此时的正切值； （3）假设存在，利用平面与平面所成的二面角的余弦值为，则平面与平面法向量的夹角的余弦值为，代入向量夹角公式，可以构造一个关于的方程，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，即， ， ∵，∴， 所以无论取何值，. 【小问2详解】 ∵是平面ABC的一个法向量. ∴ ∴当时，取得最大值，此时，，. 【小问3详解】 假设存在，则，因为， 设是平面的一个法向量. 则，解得，令，得，， ∴， ∴， 化简得，解得， ∴存在点使得平面与平面所成的二面角正弦值为，此时点的位置在. 【点睛】方法点睛：在求二面角时可用分别求出两个面的法向量，在代入二面角的余弦公式求出余弦值，进而求出角度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $