精品解析：山东省青岛第三十九中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

高二月考试题数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数为 A. B. C. D. 3. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件与事件是对立事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件包含于事件 6. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 7. 已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 9 8. 已知⊙M：，直线：，为上动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率的取值范围为 D. 斜率的取值范围为 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 不经过第三象限，则 11. 若圆上恰有四个点到直线距离等于1，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆过点，，且圆心在直线上，则圆标准方程为_______. 13. 甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中恰有一人答对的概率为_________. 14. 已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 为圆：上任意一点，点. （1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率； （2）求的最大值和最小值. 16. 如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 （1）试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站概率： （2）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 17. 2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩平均数； （3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 18. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 19. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. （1）直接写出的反射光线所在直线的方程； （2）求圆的方程； （3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二月考试题数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，得出，结合倾斜角的定义，即可求解. 【详解】由直线，可得直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，可得， 因为，所以. 故选：A. 2. 样本的平均数为，样本的平均数为，那么样本的平均数为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，所以所求平均数为 考点：样本平均数 3. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助列举法，找出所有情况及符合要求的情况后计算即可得. 【详解】将两个红球编号为1，2，两个黄球编号为3，4， 一次性随机摸取两个球的情况有，，，，，，共6种， 其中两球不同色的情况有，，，，共4种， 故两球不同色的概率为. 故选：D. 4. 若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部，则实数m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将P点代入圆可得m的不等式，结合圆的一般方程构成圆的条件，可得m的取值范围. 【详解】解：若点P（1，-1）在圆C：x2+y2-x+y+m=0的外部， 有，且由x2+y2-x+y+m=0构成圆的条件可知：， 可得：且，即：， 故选C. 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系及圆的一般方程，相对简单. 5. 将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，表示事件“没有出现1点”，表示事件“出现一次1点”，表示事件“两次抛出的点数之和是8”，表示事件“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是（ ） A. 事件与事件是对立事件 B. 事件与事件是相互独立事件 C. 事件与事件是互斥事件 D. 事件包含于事件 【答案】D 【解析】 【分析】对于A,C,D选项直接列举出事件，根据对立事件，互斥事件，事件包含的概念可以判断真假；对于B选项，用相互独立事件的概率定义公式验证即可判断. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷2次，总共有36种． 表示事件“没有出现1点”，包含,共25种. 表示事件“出现一次1点”，包含共10种，则A错误． 表示事件“两次抛出的点数之和是8”，包含，共5种, 表示事件“两次掷出的点数相等”，包含，共6种．事件与事件不互斥．故C错误． 由上面分析知道包含,5种情况.且，，，由于，则事件与事件不是相互独立事件.故B错误． 显然事件包含于事件，故D正确． 综上所得，正确的只有D． 故选：D. 6. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案. 【详解】因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则， 故选：B 7. 已知圆在点处的切线上一点在第一象限内，则的最小值为（ ） A B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的切线方程及基本不等即可求解． 【详解】易知圆在点处的切线的方程为， 所以，，， 所以， 当且仅当，时，等号成立． 所以的最小值为. 故选：C. 8. 已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围为 B. 直线的倾斜角的取值范围为 C. 斜率的取值范围为 D. 斜率的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】通过数形结合，找到直线斜率的取值范围，再得到倾斜角的取值范围即可. 【详解】由题意可以作图如下： ，， ∴由图可知斜率， 设直线倾斜角为且 ∴ 故选：BC 10. 已知直线：，：，则（ ） A. 恒过点 B. 若，则 C. 若，则 D. 不经过第三象限，则 【答案】AD 【解析】 【分析】应用求定点方法判断A选项,根据两直线平行求参判断B选项, 根据两直线垂直求参判断C选项,把直线不过第三象限转化为截距关系判断D选项. 【详解】因为：,所以, 可得，, 恒过点，A选项正确; 因为,所以，则或，故B选项错误; 因为，所以则故C选项错误; 因为不经过第三象限， 则直线与坐标轴不垂直时，在轴截距大于等于0, 在轴截距大于等于0, ：，令,则 令，则, 当,：符合题意， 当,：符合题意， 所以不经过第三象限，则，故D选项正确. 故选：AD. 11. 若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则m的值可能是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可知：圆心到直线的距离等于，结合点到直线的距离公式运算求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若圆上恰有四个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离等于，则， 解得， 显然. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆过点，，且圆心在直线上，则圆的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】求出线段的中垂线方程，与直线的方程联立求出圆心坐标及半径即可得解. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，则圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 13. 甲、乙两人抢答竞赛题，甲答对的概率为，乙答对的概率为，则两人中恰有一人答对的概率为_________. 【答案】##0.35 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】甲答对的概率为，乙答对的概率为， 所以两人中恰有一人答对概率为. 故答案为： 14. 已知圆，直线，直线被圆所截的最短弦长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过的定点，并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质及弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 直线，由，解得， 则直线过定点，显然点在圆内，当时，直线被圆所截弦长最短， 而，所以最短弦长为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知 为圆：上任意一点，点. （1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率； （2）求的最大值和最小值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）将点带入圆的方程求出的值，进而结合两点间的距离公式以及根据两点求斜率的公式即可得出结果； （2）根据圆外一点与圆上点的距离的最大值为圆外点与圆心的距离加半径，最小值为圆外点与圆心的距离减半径，从而计算即可求出结果. 【小问1详解】 因为点在圆上，所以， 即，解得a＝4，所以P（4，5） 所以，PQ的斜率. 【小问2详解】 圆的圆心，半径， 则. 所以， . 16. 如图，地到火车站共有两条路径和，现随机抽取100位从地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间（分钟） [10,20] (20,30] (3040] (40,50] (50,60] 选择的人数 6 12 18 12 12 选择的人数 0 4 16 16 4 （1）试用频率估计概率，估计40分钟内不能赶到火车站的概率： （2）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试用频率估计概率通过计算说明，他们应如何选择各自的路径. 【答案】（1）； （2）甲应选择路径，乙应选择路径. 【解析】 【分析】（1）根据频数计算频率即可； （2）分别计算两个时间段的概率，比较概率的大小可得结论. 【小问1详解】 调查的100人，其中40分钟内不能赶到火车站有：（人）， 因此40分钟内不能赶到火车站的频率为， 用频率估计概率，所以40分钟内不能赶到火车站的概率为. 【小问2详解】 设分别表示甲选择和时，在40分钟内赶到火车站； 分别表示乙选择和时，在50分钟内赶到火车站， 依题意，，， 由，得甲应选择路径； ，， 由，得乙应选择路径， 所以甲应选择路径，乙应选择路径. 17. 2023年秋末冬初，呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒，人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩低于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数； （3）首轮竞赛成绩位列前的学生入围第二轮的复赛，请根据图中信息，估计入围复赛的成绩（记为）. 【答案】（1）人 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可； （2）利用平均数公式求解即可； （3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为，则，求出的值即可. 【小问1详解】 成绩在的人数为（人）， 成绩在的人数为（人）， 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人， 成绩低于50分的人数为（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人； 【小问2详解】 由，得， 则平均数， 故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为分； 【小问3详解】 根据频率分布直方图可知： 的频率为，的频率为， 所以入围复赛的成绩一定在， 可知入围复赛的成绩的临界值为， 则，解得， 故估计入围复赛的成绩为分. 18. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【小问1详解】 对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论何值，直线与直线总相交. 【小问2详解】 由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. 【小问3详解】 设，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 19. 我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.而英国化学家、物理学家享利·卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人.已知圆的半径为3，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切. （1）直接写出的反射光线所在直线的方程； （2）求圆的方程； （3）点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用对称性质求出反射光线所在直线的方程. （2）设出圆心坐标，利用切线性质，结合点到直线距离公式求出圆心坐标即得. （3）由（2）求出点坐标，设出点坐标，利用直角三角形边角关系、切线长定理及三角形面积公式求出点坐标，再借助光的反射性质求出直线的方程. 【小问1详解】 设的反射光线所在直线上任意点为，则该点关于轴对称点在直线上， 所以的反射光线所在直线的方程为. 【小问2详解】 设点，而圆与直线相切，且圆半径为3， 则，即， 整理得或，又点在第一象限，即，因此，点， 所以圆的方程为. 【小问3详解】 由（2）知，点到轴距离为3，即轴与圆相切于点， 由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧， 设，则，连接，， ，， 又， 整理得，解得，即点， 直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为， 直线的方程为，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $