第09讲 对数与对数函数（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第09讲 对数与对数函数 【人教A版2019】 模块一 对数 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型1 对数运算法则】 【例1.1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【变式1.2】（23-24高二下·湖南娄底·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【题型2 换底公式的应用】 【例2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【例2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 模块二 对数函数 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 2．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 3．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【题型3 对数函数图象的识别及应用】 【例3.1】（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型4 对数函数单调性的应用——比较大小】 【例4.1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（2024·全国·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当或时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·江苏南京·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型5 对数函数单调性的应用——解不等式】 【例5.1】（24-25高三上·北京·开学考试）设是奇函数，则使的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)求关于的不等式的解集. 【变式5.2】（24-25高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数， 且． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 模块三 对数型复合函数 1．对数型复合函数 求解对数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可. 2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型6 对数型复合函数的应用】 【例6.1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【例6.2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 【变式6.1】（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【变式6.2】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【题型7 指数、对数函数综合】 【例7.1】（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【例7.2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 【变式7.1】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数且. (1)当时，求在上的值域； (2)求关于的不等式的解集； (3)若函数为上的增函数，求的取值范围. 【变式7.2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数和， (1)若，求的值； (2)若存在实数，使得成立，试求的最小值； (3)若，对任意的，，都有成立，求的取值范围． 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 5．（2025·江苏南通·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知偶函数满足且在上的解析式为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数， ，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 11．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象恒过某个定点 B．在上单调递减，在上单调递增 C．图象上存在两个不同的点关于轴对称 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）计算 ． 13．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 15．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）对下列式子求值： (1) (2) 16．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ (2)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） (3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 18．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 19．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 对数与对数函数 【人教A版2019】 模块一 对数 1．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有： 运算 数学表达式 自然语言描述 积的对数 正因数积的对数等于同一底数的各因数的 对数的和 商的对数 两个正数的商的对数等于同一底数的被除 数的对数减去除数的对数 幂的对数 正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂 的底数的对数 2．对数的换底公式及其推论 (1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=. (2)换底公式的推论： ①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)； ② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)； ③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R). 3．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【题型1 对数运算法则】 【例1.1】（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知x，y为正实数，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数与对数的运算性质，合理运算、化简即可得到结果. 【解答过程】当时，，，， 故A,B,C都不成立， 因为，故D正确. 故选：D. 【例1.2】（23-24高二下·陕西榆林·期末）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到5，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，得，利用对数运算性质可解. 【解答过程】根据题意，得， 则，即. 故选：A. 【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【解题思路】利用对数的运算性质，结合根式与指数幂的互化即可得解. 【解答过程】（1）. （2）. （3） . （4）. （5） . 【变式1.2】（23-24高二下·湖南娄底·期末）计算下列各式的值： (1)； (2)． 【解题思路】（1）运用指数幂的性质公式化简求解即可； （2）运用对数运算性质公式求解即可. 【解答过程】（1）原式 ； （2）原式 . 【题型2 换底公式的应用】 【例2.1】（24-25高一上·全国·课后作业）计算的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【解题思路】根据换底公式结合对数的定义运算求解. 【解答过程】由题意可得： . 故选：B. 【例2.2】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解. 【解答过程】，，则 ， 即. 故选：A. 【变式2.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用对数换底公式，结合对数性质及运算法则计算即得. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4） . 【变式2.2】（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【解题思路】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【解答过程】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 模块二 对数函数 1．对数函数的定义 (1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+ ). (2)判断一个函数是对数函数的依据： ①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+). 例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数. 2．对数函数的图象与性质 对数函数y= (a>0,且a≠1,x>0)的图象和性质如下表所示： 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 值域 R 过定点 (1,0) 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的 变化范围 当0<x<1时，y>0 当0<x<1时，y<0 当x=1时，y=0 当x=1时，y=0 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 3．对数函数图象的识别及应用 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 【题型3 对数函数图象的识别及应用】 【例3.1】（23-24高二下·陕西宝鸡·期中）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先通过对数运算化简，然后由对数函数的图象变换即可求解. 【解答过程】令，解得， 由题意，，且， 所以的图象由图象向上平移一个单位长度即可. 故选：C. 【例3.2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分、讨论，结合图象可得答案. 【解答过程】当时，是单调递增函数，图象恒过点， 是单调递减函数，图象恒过点； 当时，是单调递减函数，图象恒过点， 是单调递增函数，图象恒过点； 所以满足条件的图象为D. 故选：D. 【变式3.1】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解. 【解答过程】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以； 因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以. 故选：D. 【变式3.2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【解答过程】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D. 【题型4 对数函数单调性的应用——比较大小】 【例4.1】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. 【解答过程】， 其中，，所以， 故，所以. 故选：D. 【例4.2】（2024·全国·模拟预测）已知，则（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数函数单调性得到，再利用换底公式和作差法得到，比较出大小关系. 【解答过程】， 其中，，所以， 故，所以. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当或时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由结合基本不等式和对数运算可知，由题意结合对数的运算性质可判断，即可得出答案. 【解答过程】因为， ， 所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：B. 【变式4.2】（2024·江苏南京·三模）已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意结合对数函数单调性分析判断即可. 【解答过程】因为，可得， 且，则，可得，所以； 又因为，则，所以； 综上所述：. 故选：C. 【题型5 对数函数单调性的应用——解不等式】 【例5.1】（24-25高三上·北京·开学考试）设是奇函数，则使的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据奇函数的定义求出常数，再利用对数函数单调性解不等式. 【解答过程】由函数是奇函数，得该函数定义域内实数，恒有， 即恒成立， 因此，则，解得，， 不等式，即，整理得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A. 【例5.2】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出的定义域，然后分析的单调性，再根据求解出不等式解集. 【解答过程】的定义域为， 因为均在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，所以， 所以不等式解集为， 故选：B. 【变式5.1】（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数. (1)求的定义域； (2)求关于的不等式的解集. 【解题思路】（1）由题意可得不等式求解可得； （2）根据函数的单调性，由不等式可化为，进而可得，求解可得. 【解答过程】（1）由解得， 所以的定义域为. （2）. 不等式可化为. 因为是增函数，所以 解得，故. 故不等式的解集为. 【变式5.2】（24-25高三上·陕西汉中·开学考试）已知函数， 且． (1)求的定义域，并判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据对数函数的真数大于0建立关系式可求解函数的定义域，利用函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）讨论与的大小关系，根据对数函数的单调性建立关系式，解之即可，需注意函数的定义域. 【解答过程】（1）由， 可得，解得：， 所以的定义域为，的定义域关于原点对称， 又， 所以是奇函数， （2），即， 当时，，解得：， 当时，，解得：. 综上，当时，得取值范围为， 当时，得取值范围为. 模块三 对数型复合函数 1．对数型复合函数 求解对数型复合函数时，先分析该复合函数的复合型式，再借助对数函数的图象和性质来研究对数型复合函数的性质，然后结合具体问题，进行求解即可. 2．对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型6 对数型复合函数的应用】 【例6.1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数，且. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若函数的最小值为，求的值. 【解题思路】（1）确定函数的定义域，结合复合函数的单调性的判断，即可求得答案； （2）令，分和两种情况讨论，根据函数单调性结合最值，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为，所以，解得， 即函数的定义域为， ， 因为在上单调递增，在上单调递减， 又，所以在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即得的单调递增区间为； （2）由（1）令，则，， 当时，函数在上单调递增，函数不存在最小值，故舍去； 当时，函数在上单调递减，， 所以，解得，符合题意，故. 【例6.2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数，其中且. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若，判断的单调性； (3)当的定义域为时，的值域为，求的值. 【解题思路】（1）先判断函数奇偶性，接着按奇偶性判定步骤去判断即可证明； （2）由为增函数，在和上都为减函数即可判断； （3）由题意结合（2）得在上为减函数，进而得，从而得，解该方程即可得解. 【解答过程】（1）函数为奇函数，证明如下： 由得或，即的定义域为或关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （2）由和复合而成， 当时，为增函数，在和上都为减函数， 所以由复合函数的单调性知在和上都为减函数. （3）由题意，所以由（2）可知在上为减函数， 因为当时，，故， 即，解得， 因为，所以. 【变式6.1】（23-24高一下·广东江门·期中）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【解题思路】（1）由题意得，从而可求出函数的定义域； （2）利用函数奇偶性的定义分析判断； （3）由，得，然后利用对数函数的单调性求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以函数的定义域为， （2）函数为奇函数，证明如下： 因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称， 因为， 所以为奇函数. （3）由，得， 所以， 因为在定义域内为减函数，所以，解得， 所以不等式的解集为. 【变式6.2】（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，结合的值域为，得到，即可求解； （3）根据题意，求得和，转化为恒成立，令，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.， 【解答过程】（1）解：函数的定义域为， 即在上恒成立，则满足，解得， 所以实数的取值范围是； （2）解：函数的值域为， 则满足，解得或，即实数的取值范围； （3）解：因为且，可得在上单调递增， 所以，， 所以对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，所以， 当，即时，，解得，所以无解； 当，即 时，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 【题型7 指数、对数函数综合】 【例7.1】（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知函数，其中． (1)若，求函数的定义域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）由真数大于0列出不等式即可求解； （2）先根据函数为单调递增函数，将转化为，根据题意可转化为在上最小值大于0，然后结合二次函数的性质即可求得. 【解答过程】（1）当时，， 由得， 故或， 得或， 故函数的定义域为； （2）由得， 得， 即， 设， 因，故， 所以当时，恒成立， 即为在上最小值大于0， 函数的对称轴为， 当即时，函数在上单调递增， 此时，得， 即满足题意； 当，即时，函数在对称轴取得最小值， 此时，得， 即满足题意； 故的取值范围为. 【例7.2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据，得到方程，求出； （2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论； （3）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论. 【解答过程】（1）定义域为R， ， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， ． （2）已知函数，由于函数在上单调递增， 由第（1）问可得，因此 不妨设，，且 则 因为，因此，由因为，，因此， 所以，故，所以函数在单调递增． （3）由题得在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 因为，所以，所以在区间上恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故． ． 对任意的恒成立，且， ． 实数的取值范围是． 【变式7.1】（23-24高二下·辽宁辽阳·期末）已知函数且. (1)当时，求在上的值域； (2)求关于的不等式的解集； (3)若函数为上的增函数，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据增函数加增函数为增函数的结论得到的单调性，从而得到其值域； （2）对分和讨论即可； （3）根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可. 【解答过程】（1）当时，，因为均为增函数， 所以为增函数， 所以， ， 所以当时，在上的值域为. （2）的定义域为. 当时，因为均为增函数， 所以为增函数，因为， 所以不等式的解集为. 当时，因为均为减函数， 所以为减函数， 所以不等式的解集为. （3）依题意可得， 解得，即的取值范围为. 【变式7.2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函数和， (1)若，求的值； (2)若存在实数，使得成立，试求的最小值； (3)若，对任意的，，都有成立，求的取值范围． 【解题思路】（1）利用对数运算性质计算； （2）根据题意，得，利用换元法求最值； （3）设，根据题意，转化为在上恒成立，由函数定义域先得，再由函数单调递增，可得，从而得解. 【解答过程】（1）， ； （2）由得：，即， ， 令，则， ，， 在上单调递增  ． （3）函数在的最小值为0， 设，则由任意，， 都有成立， 可得在上恒成立， 只需在上恒成立即可． 因为，在上恒成立， 所以．因为，所以，，所以， 由可得， ．因为单调递增， 所以，即在上恒成立． 在上恒成立． 因为，在上恒成立，在上恒成立， 所以，在上恒成立． 因为在上为减函数，所以在处取得最大值1，所以，． 综上所述，． 一、单选题 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【解题思路】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【解答过程】由，得， 故， 故选：D. 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．4 【解题思路】由已知可得，利用，结合基本不等式可求最小值. 【解答过程】因为，所以，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用复合函数的单调性及对数函数的定义域计算即可. 【解答过程】在区间上单调递增， 则在区间上单调递减且恒为正， 所以且，所以. 故选：C. 4．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（    ）（参考数据：） A．72 B．73 C．74 D．75 【解题思路】由题意先得，接着由和得，再结合对数运算性质解不等式即可得解. 【解答过程】由题，，所以， 又由题当时，，即， 所以，令即即， 解得，故， 所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为73. 故选：B. 5．（2025·江苏南通·一模）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用中间值法，再结合指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【解答过程】由，，，知，， 又，所以，故， 又，故，所以， 因此可得. 故选：C. 6．（24-25高三上·甘肃酒泉·阶段练习）已知偶函数满足且在上的解析式为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】利用函数的周期性结合偶函数求出，得解. 【解答过程】由，可得的周期是4，且为偶函数， ， ， . 故选：D. 7．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性、单调性、对数运算等知识列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】依题意，是偶函数，且在区间单调递减， 由得， 所以，所以或， 所以或， 所以的取值范围是. 故选：D. 8．（2024·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数， ，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算出，结合，的单调性得到，并求出在区间上的值域为，由题意得到在上的值域包含在上的值域，从而得到不等式，求出 【解答过程】在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即在区间上的值域为. ， 令，得，解得或， 画出，的图象如图所示， 若，，使得成立， 则需要在上的值域包含在上的值域， 则，解得，即的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知，，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对数运算法则和基本不等式可知A正确；根据，将BC中的不等式转化为关于的函数的形式，结合对勾函数单调性和基本不等式可确定BC正误；根据对数运算性质可知D正确. 【解答过程】对于A，，A正确； 对于B，，，， ， 在上单调递增，， ，，B错误； 对于C，由B知：，， ， ，， （当且仅当，即时取等号）， ，，即，C正确； 对于D，，， 若，则，即， ，，D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数，则以下说法正确的是（    ） A．，使得为偶函数 B．若的定义域为，则 C．若在区间上单调递增，则的取值取值范围是 D．若的值域是，则 【解题思路】利用特殊值代入判断A即得；由函数定义域为等价转化为对数真数恒大于零，即对应的一元二次不等式的判别式恒小于0判断B；令，则依题需使在上递减且恒大于0，求出的范围即可判断C；由求出的值,即可判断D. 【解答过程】对于A，在中，取，则， 此时函数的定义域为，且，即为偶函数，故A正确； 对于B，因的定义域为，则恒成立， 即，解得，故B正确； 对于C，令，因在定义域上单调递减， 故要使函数在区间上单调递增，则需使在上单调递减且恒大于0， 故有解得，故C错误； 对于D，因的值域是，即， 由复合函数的单调性可知，此时， 由知， 解得，即故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高三上·山西大同·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象恒过某个定点 B．在上单调递减，在上单调递增 C．图象上存在两个不同的点关于轴对称 D．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 【解题思路】根据可判断A的正误，就的不同取值分类讨论后可判断函数的单调性，故可判断B的正误，考虑是否有解后可判断C的正误，而任意，恒成立等价任意，恒成立，故可求参数的取值范围，从而判断D的正误. 【解答过程】对于A，因为，故的图象恒过原点，故A正确； 对于B，若，则， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，则， 故在上单调递减，在上单调递增,故B正确. 对于C，考虑是否有解， 而等价于， 也即等价于， 也即等价于或， 两个方程均无解， 故图象上不存在两个不同的点关于轴对称，故C错误. 对于D，若对任意，恒成立， 则对任意，恒成立即恒成立， 故，故或， 所以或，故D成立， 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高三上·北京·阶段练习）计算 3 ． 【解题思路】根据对数运算公式，即可求解. 【解答过程】， . 故答案为：3. 13．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【解题思路】根据奇函数的性质求解即可. 【解答过程】因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，则， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若实数满足，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】分析可知函数在上单调递增，且，由已知条件可得出，结合函数的单调性和奇偶性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】因为函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 则函数在上单调递增，且， 因为，由， 可得，即， 即，所以，，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）对下列式子求值： (1) (2) 【解题思路】（1）利用指数幂的运算性质及对数的概念化简求值即可. （2）利用对数的运算性质化简求值即可. 【解答过程】（1）原式. （2）原式. 16．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知函数是偶函数. (1)求实数的值； (2)若函数的最小值为，求实数的值. 【解题思路】（1）根据条件，利用，即可得出结果； （2）根据（1）得到，通过换元，从而将问题转化成二次函数的最小值为，再利用二次函数的性质即可求出结果. 【解答过程】（1）因为，易知定义域为，又是偶函数， 由，得到恒成立， 整理得到，又， 所以. （2）由（1）知，， 所以， 令，因为，所以，当且仅当，即时取等号， 故，对称轴， 当，即时，，得到， 当，即时，，得到（舍去）， 故. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（） (1)若，候鸟每分钟的耗氧量为8100个单位时，它的飞行速度是多少km/min？ (2)若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（精确到整数） (3)若雄鸟的飞行速度为2.5km/min，雌鸟的飞行速度为1.5km/min，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？ 【解题思路】（1）将代入函数，计算出答案； （2）将，代入函数式可得，得到结论； （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，列出方程组，计算出，得到结论. 【解答过程】（1）将，代入函数式可得： ， 故此时候鸟飞行速度为1.70km/min． （2）将，代入函数式可得： ， 即， 所以，于是． 故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位． （3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得： 两式相减可得： ，于是． 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍． 18．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 【解题思路】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【解答过程】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 19．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【解题思路】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【解答过程】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2） ， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$