专题03方程（组）与不等式（组）（5考点）-【好题汇编】2024年中考数学真题分类汇编（山东专用）

专题03 方程（组）与不等式（组） 考点1 一元一次方程及其应用 1．（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（　　） A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺 2．（2024•日照）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列数：2，6，4，第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，…，第n次构造后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4，记an＝2+x1+x2+x3+⋯+xk+4．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（　　） A．a3＝84 B．为偶数 C．an+1＝3an﹣6 D．k＝2n﹣1 3．（2024•滨州）解方程：； 4．（2024•威海）定义ㅤ我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a． 应用ㅤ如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点A，B到原点距离之和的最小值． 考点2 一元二次方程及其应用 5．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 6．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 7．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．（2024•济南）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 9．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 10．（2024•山东）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 11．（2024•烟台）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　 　． 12．（2024•德州）已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为 　 　． 13．（2024•青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　 　m． 14．（2024•滨州）解方程：x2﹣4x＝0． 15．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 考点3 二元一次方程组及其应用 16．（2024•泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？ 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　　） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 17．（2024•日照）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托＝5尺） A． B． C． D． 18．（2024•淄博）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺．则下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（2024•威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 考点4 分式方程及其应用 20．（2024•东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 　 　． 21．（2024•济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5 22．（2024•山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　　） A．200 B．300 C．400 D．500 23．（2024•威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时．求一盏A型节能灯每年的用电量． 24．（2024•泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 考点5 一元一次不等式（组） 25．（2024•滨州）若点P（1﹣2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 26．（2024•山东）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 27．（2024•烟台）关于x的不等式m1﹣x有正数解，m的值可以是 　 　（写出一个即可）． 28．（2024•山东）写出满足不等式组的一个整数解 　 　． 29．（2024•日照）解不等式组：； 30．（2024•青岛）解不等式组：； 31．（2024•济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 32．（2024•淄博）解不等式组：，并求所有整数解的和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程（组）与不等式（组） 考点1 一元一次方程及其应用 1．（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（　　） A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺 【分析】设每天减少x尺布，因为第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，可得5﹣29x＝1，解得x的值即得每天减少多少尺布，将30天织的布相加可得30天一共织了多少布． 【解答】解：设每天减少x尺布， ∵第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工， ∴5﹣29x＝1， 解得：x， ∴5+55190（尺）， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意列方程求解． 2．（2024•日照）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：2，4，进行第1次构造，得到新的一列数：2，6，4，第2次构造后，得到一列数：2，8，6，10，4，…，第n次构造后得到一列数：2，x1，x2，x3，…，xk，4，记an＝2+x1+x2+x3+⋯+xk+4．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（　　） A．a3＝84 B．为偶数 C．an+1＝3an﹣6 D．k＝2n﹣1 【分析】根据构造规律逐项推理判断即可． 【解答】解：第1次构造得 a1＝2+6+4＝12，k＝1＝21﹣1， 第2次构造得a2＝2+8+6+10+4＝30＝a1+18＝a1+6×31，k＝3＝22﹣1， 第3次构造得a3＝2+10+8+14+6，k＝7＝23﹣1，故A选项正确； 第n次构造为，则an﹣an﹣1＝6×3n﹣1，，，…，a2，相加得 6×31＝6×（3n﹣1+3n﹣2+⋯+31）， 令S＝3n﹣1+3n﹣2+⋯+31＝31+32+⋯+3n﹣2+3n﹣1 ①，则3S＝32+33+⋯+3n ②，由①﹣②得．﹣2S＝3﹣3n ，即 ⋯+31）＝3n+1﹣9， ∴，则，即an+1＝3an﹣6，故C选项正确； 3 为偶数，故B选项正确；第n次构造为 ，k＝2n﹣1，故D选项错误． 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，规律型：数字的变化规律，解题的关键是掌握相关知识，找出题中的规律． 3．（2024•滨州）解方程：； 【分析】根据解一元一次方程的步骤求解即可； 【解答】解：去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+1）， 去括号得：4x﹣2＝3x+3， 移项得：4x﹣3x＝3+2， 合并同类项得：x＝5； （2）∵x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 【点评】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般方法． 4．（2024•威海）定义ㅤ我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a﹣b（a≥b）．特别的，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a﹣0．当a＜0时，表示数a的点与原点的距离等于0﹣a． 应用ㅤ如图，在数轴上，动点A从表示﹣3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动． （1）经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？ （2）求点A，B到原点距离之和的最小值． 【分析】（1）根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解； （2）先表示点A，B到原点距离之和，再分类讨论求出最小值． 【解答】解：（1）设经过x秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度， 则：|（﹣3+x）﹣（12﹣2x）|＝3， 解得：x＝4或x＝6， 答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度； （2）设经过x秒，点A，B到原点距离之和为y， 则y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|， 当x≤3时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝3﹣x+12﹣2x＝﹣3x+15， 当x＝3时，y值最小，为6， 当3＜x≤6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x+12﹣2x＝﹣x+9， 当x＝6时，y值最小，为3， 当x＞6时，y＝|﹣3+x|+|12﹣2x|＝﹣3+x﹣12+2x＝3x﹣15， 当x＝6时，y有极小值，为3， 综上所述，点A，B到原点距离之和的最小值为3． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴和绝对值，找到相等关系是解题的关键． 考点2 一元二次方程及其应用 5．（2024•潍坊）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣n2+mn+1＝0，其中m，n满足m﹣2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（　　） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根，据此先求出m﹣2n＝3，再求出Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1）的符号即可得到结论． 【解答】解：∵m﹣2n＝3， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4（﹣n2+mn+1） ＝m2+4n2﹣4mn﹣4 ＝（m﹣2n）2﹣4 ＝32﹣4 ＝9﹣4 ＝5＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点评】本题主要考查了根的判别式，关键是根的判别式的熟练应用． 6．（2024•东营）用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2023＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 【分析】根据配方法对所给一元二次方程进行转化即可解决问题． 【解答】解：由题知， x2﹣2x﹣2023＝0， x2﹣2x＝2023， x2﹣2x+1＝2023+1， （x﹣1）2＝2024， 所以a＝﹣1，b＝2024， 所以ab＝（﹣1）2024＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键． 7．（2024•泰安）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程2x2﹣3x+k＝0有实数根， 所以Δ＝（﹣3）2﹣4×2×k≥0， 解得k． 故选：B． 【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 8．（2024•济南）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 【分析】根据关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根．构建不等式求解． 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴（﹣1）2+4m＞0， ∴m． 故选：B． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 9．（2024•日照）已知，实数x1，x2（x1≠x2）是关于x的方程kx2+2kx+1＝0（k≠0）的两个根．若，则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【分析】先利用根与系数的关系得x1+x22，x1x2，再利用2，得到﹣2＝2，解方程得到k＝﹣1，然后根据根的判别式的意义确定k的值． 【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x22，x1x2， ∵2， ∴x1+x2＝2x1x2， ∴﹣2＝2， 解得k＝﹣1， 方程化为﹣x2﹣2x+1＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×1＝8＞0， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴k的值为﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 10．（2024•山东）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 　 　． 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝0，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×4×m＝4﹣16m＝0， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 11．（2024•烟台）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 　 　． 【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n， ∴2m2﹣4m＝1，m+n2，mn， ∴3m2﹣4m+n2 ＝2m2﹣4m+m2+n2 ＝1+（m+n）2﹣2mn ＝1+22﹣2×（） ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 12．（2024•德州）已知a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解，则a2+2023a﹣b的值为 　 　． 【分析】根据a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解可知a2+2024a﹣4＝0，a+b＝﹣2024，再把两式相减即可得出结论． 【解答】解：∵a和b是方程x2+2024x﹣4＝0的两个解， ∴a2+2024a﹣4＝0①，a+b＝﹣2024②， ①﹣②得，a2+2024a﹣4﹣a﹣b＝2024， ∴a2+2023a﹣4﹣b＝2024， ∴a2+2023a﹣b＝2028． 故答案为：2028． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2是解题的关键． 13．（2024•青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为 　 　m． 【分析】设小路宽为x m，根据花坛所占面积为空地面积的一半得：（16﹣2x）（12﹣2x）12×16，即可解得答案． 【解答】解：设小路宽为x m， 根据题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）12×16， 解得x＝2或x＝12（舍去）， ∴小路宽为2m； 故答案为：2． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 14．（2024•滨州）解方程：x2﹣4x＝0． 【分析】用因式分解法解方程即可． 【解答】解： ∵x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝0，x2＝4． 【点评】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的一般方法． 15．（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得：32（1+x）2＝50， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%； （2）设购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得：m（160040）＝240000， 整理得：m2﹣500m+60000＝0， 解得：m1＝200，m2＝300（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 考点3 二元一次方程组及其应用 16．（2024•泰安）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？ 若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组，根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（　　） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【分析】根据列出的二元一次方程组可得甜果苦果买一千，甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 【解答】解：根据列出的二元一次方程组，可得缺失的条件应为：甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 17．（2024•日照）我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（　　）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托＝5尺） A． B． C． D． 【分析】根据“若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵若用绳去量竿，则绳比竿长5尺， ∴x﹣y＝5； ∵若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺， ∴yx＝5． ∴根据题意得可列出方程组． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18．（2024•淄博）如图，其大意为：已知矩形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈＝10尺，1尺＝10寸）若设门的高和宽分别是x尺和y尺．则下面所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设设门的高和宽分别是x尺和y尺，根据题意，利用勾股定理及门的对角线长1丈，即可得出二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：设门的高和宽分别是x尺和y尺， 依题意得：． 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及勾股定理，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 19．（2024•威海）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井．若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度．如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各是多少尺？ 若设绳长x尺，井深y尺，则符合题意的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【解答】解：∵将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺， ∴y＝4； ∵将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺， ∴y＝1． ∴根据题意可列方程组． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 考点4 分式方程及其应用 20．（2024•东营）水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市，某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元．已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3．设该市去年居民用水价格为x元/米3，则可列分式方程为 　 　． 【分析】根据该市今年与去年居民用水价格间的关系，可得出该市今年居民用水价格为（1）x元/米3，利用数量＝总价÷单价，结合小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少3米3，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：∵该市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的，且该市去年居民用水价格为x元/米3， ∴该市今年居民用水价格为（1）x元/米3． 根据题意得：3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 21．（2024•济宁）解分式方程时，去分母变形正确的是（　　） A．2﹣6x+2＝﹣5 B．6x﹣2﹣2＝﹣5 C．2﹣6x﹣1＝5 D．6x﹣2+1＝5 【分析】原方程两边同乘2（1﹣3x）去分母即可． 【解答】解：原方程两边同乘2（1﹣3x）得2（1﹣3x）+2＝﹣5， 即2﹣6x+2＝﹣5 故选：A． 【点评】本题考查解分式方程﹣去分母，找到正确的最简公分母是解题的关键． 22．（2024•山东）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　　） A．200 B．300 C．400 D．500 【分析】设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为（x﹣100），根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可． 【解答】解：设改造后每天生产的产品件数为x，则改造前每天生产的产品件数为（x﹣100）， 根据题意，得：， 解得：x＝300， 经检验x＝300是分式方程的解，且符合题意， 答：改造后每天生产的产品件数300． 故选：B． 【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 23．（2024•威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦时．后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦时．一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦时．求一盏A型节能灯每年的用电量． 【分析】设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦时，利用安装节能灯的数量＝一年的用电量÷一盏节能灯每年的用电量，结合安装的A，B型节能灯数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值（即一盏B型节能灯每年的用电量），再将其代入（2x﹣32）中，即可求出一盏A型节能灯每年的用电量． 【解答】解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x﹣32）千瓦时， 根据题意得：， 解得：x＝96， 经检验，x＝96是所列方程的解，且符合题意， ∴2x﹣32＝2×96﹣32＝160（千瓦时）． 答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 24．（2024•泰安）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人．甲组每天加工3000件农产品，乙组每天加工2700件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【分析】设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人，根据乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲组的人数），再将其代入（35﹣x）中，即可求出乙组的人数． 【解答】解：设甲组有x名工人，则乙组有（35﹣x）名工人， 根据题意得：1.2， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是所列方程的解，且符合题意， ∴35﹣x＝35﹣20＝15． 答：甲组有20名工人，乙组有15名工人． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 考点5 一元一次不等式（组） 25．（2024•滨州）若点P（1﹣2a，a）在第二象限，那么a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】P（1﹣2a，a）在第二象限，可得，即可解得答案． 【解答】解：∵点P（1﹣2a，a）在第二象限， ∴， 解得：a； 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式组和点的坐标，解题的关键是掌握各象限内横，纵坐标的符号，列出不等式组． 26．（2024•山东）根据以下对话， 给出下列三个结论： ①1班学生的最高身高为180cm； ②1班学生的最低身高小于150cm； ③2班学生的最高身高大于或等于170cm． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm，根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，然后利用不等式性质可求出a≥170，即可判断①，③；根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，然后利用不等式性质可求出y＜150，即可判断②． 【解答】解：设1班同学的最高身高为x cm，最低身高为y cm，2班同学的最高身高为a cm，最低身高为b cm， 根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350， ∴x＝350﹣a， ∴350﹣a≤180， 解得a≥170， 故③正确； 1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①； 根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290， ∴b＝290﹣y， ∴290﹣y＞140， ∴y＜150， 故②正确， 故选：C． 【点评】本题考查了二元一次方程、不等式的应用，解答本题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． 27．（2024•烟台）关于x的不等式m1﹣x有正数解，m的值可以是 　 　（写出一个即可）． 【分析】解含m的一元一次不等式，根据题意求得m的取值范围，然后写出一个符合题意的m的值即可． 【解答】解：原不等式整理得：x≤1﹣m， 解得：x≤2﹣2m， ∵原不等式有正数解， ∴2﹣2m＞0， 解得：m＜1， 则m的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】本题考查解一元一次不等式，结合已知条件求得m的范围是解题的关键． 28．（2024•山东）写出满足不等式组的一个整数解 　 　． 【分析】先解出一元一次不等式组的解集为﹣1≤x＜3，然后即可得出1个整数解． 【解答】解：∵， 由①得：x≥﹣1， 由②得：x＜3， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， ∴不等式组的一个整数解为：﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤． 29．（2024•日照）解不等式组：； 【分析】根据一元一次不等式组的解法解答即可； 【解答】解：， 解不等式①，得x＜6， 解不等式②，得x， ∴不等式组的解集为：x＜6； 【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 30．（2024•青岛）解不等式组：； 【分析】解各不等式后即可求得不等式组的解集； 【解答】解：解第一个不等式得：x≤3， 解第二个不等式得：x＞﹣3， 故原不等式组的解集为﹣3＜x≤3； 【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 31．（2024•济南）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，再写出该不等式组的所有整数解即可． 【解答】解：解不等式①，得x＞﹣1， 解不等式②，得x＜4， 原不等式组的解集是﹣1＜x＜4， ∴整数解为0，1，2，3． 【点评】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 32．（2024•淄博）解不等式组：，并求所有整数解的和． 【分析】解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【解答】解：， 解不等式①得：x＜1； 解不等式②得：x＞﹣4， ∴原不等式组的解集﹣4＜x＜1， ∴不等式组所有整数解的和为﹣3+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解以及解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法及步骤是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$