精品解析：江苏省扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

初二素养体验活动 数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉，”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 7. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中，，．把绕点顺时针旋转得到，如图②，连接，则的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 7.5° D. 15° 二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．） 9. 如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是___． 10. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__. 11. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 12. 如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动_____分钟后． 13. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝BD，∠BAD＝70°，∠DAC＝_________ °． 14. 如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则______． 15. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________ 16. 如图，在射线OA，OB上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则________．（用含的代数式表示） 17. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上，且，下列结论：①；②；③，分别表示和的面积，则；④；所有正确的结论是________． 18. 如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，___________°． 三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．） 19. 如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有________个． 20. 如图，中，． （1）用无刻度直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留画图痕迹）； ①作高； ②作的平分线交于点，交于点； （2）结合（1）中作图，求证：． 21. 如图，在四边形ABCD中，，垂足为E． （1）求证：； （2）若，则___________． 22. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 23. 如图，△ABC中， AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE=AB． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长． 24. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 25. 在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 26. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 27. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为________； 【理解探究】 （2）如图2，已知为直角三角形，，以，为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有________组偏等积三角形； 【综合运用】 （4）如图4，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为．计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 28. 在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； （2）如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； （3）如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二素养体验活动 数学学科 （时间：120分钟） 一、选择题（每题3分，共计24分，把正确答案填在答题纸相应的位置上．） 1. “致中和，天地位焉，万物育焉，”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光．以下四幅剪纸作品中，其图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 2. 如图，在四边形中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，证得是解本题的关键． 先根据直角三角形两锐角互余可得；再证明，可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 3. 如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答． 【详解】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO， ∵OD是AC的垂直平分线， ∴OC=OA，∠A=∠ACO， 同理OC=OB，∠B=∠BCO， ∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO=180， ∴∠ACO +∠BCO=180=90， ∴∠C是直角． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 4. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质； 根据作图步骤可知，，，然后利用证明即可． 【详解】解：由作图可知：，，， ∴， ∴，即， 故选：A． 5. 已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 分已知内角是底角和顶角两种情况讨论即可． 【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是； 当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是． 故选：D． 6. 打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是（ ） A. 带①②去 B. 带②③去 C. 带③④去 D. 带②④去 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件可知，该玻璃为三角形，可以根据这4块玻璃中的条件，结合全等三角形判定定理解答此题． 【详解】A选项带①②去，符合三角形ASA判定，选项A符合题意； B选项带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项B不符合题意； C选项带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项C不符合题意； D选项带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定方法的灵活运用，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，包括：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用． 7. 如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由题意结合线段垂直平分线的性质可得，，，，先由的周长为，求出，再由的周长为，得出，即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意结合线段垂直平分线的性质可得：，，，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中，，．把绕点顺时针旋转得到，如图②，连接，则的度数为（ ） A. 10° B. 20° C. 7.5° D. 15° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意证明△ACB≌△CBD1，求出∠CD1B＝45°，即可解决问题． 【详解】由题意得：∠CD1E1＝∠D＝30°，∠D1CE1＝∠DCE＝90°－30°＝60°，∵把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，∴∠BCE1＝15°，∴∠D1CB＝60°－15°＝45°，在△ACB和△CBD1中，，∴△ACB≌△CBD1，∴∠CD1B＝∠A＝45°，∴∠E1D1B＝∠CD1B－∠CD1E1＝45°－30°＝15°，故答案选D. 【点睛】该题主要考查了旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；试题难度中等；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、直角三角形的性质等几何知识点来分析、判断、解答． 二、填空题（每空3分，共30分，将答案填在答题纸相应的位置上．） 9. 如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是___． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，由于三角形具有稳定性，所以只要添加的木条将四边形分成最少数目的三角形时，所需木条的数量即为最少．利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，我们只需1根木条，即对角线，就可达到不变形的目的． 综上可得，要使四边形木架不变形，至少要钉1根木条． 故答案为：1． 10. 如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=50°，则∠AEF的度数等于__. 【答案】 【解析】 【详解】解：∵把长方形ABCD沿EF对折， ∴AD∥BC，∠BFE=∠2， ∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°， ∴∠BFE==65°， ∵∠AEF+∠BFE=180°， ∴∠AEF=115°． 故答案为：115°． 11. 如图，在中，，，和的平分线交于点E，过点E作分别交AB、AC于点M、N，则的周长为_________． 【答案】9.5 【解析】 【分析】根据角平分线定义、平行线的性质和可得，进而求解． 【详解】解∶平分， 同理可得∶， 故答案为∶9.5 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及性质，解题关键是掌握角平分线的定义，掌握平行线的性质． 12. 如图，，于点，于点，且，点从点向点运动，每分钟走，点从点向点运动，每分钟走，若、两点同时开始出发，运动_____分钟后． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，求出和的长，分别求得P和Q运动的时间，若时间相同即可满足全等，若不等，则不能成立． 【详解】解：若时，则， ∴， P的运动时间是：（分钟）， Q的运动时间是：（分钟）， 则当分钟时，两个三角形全等； 故答案为：4． 13. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝BD，∠BAD＝70°，∠DAC＝_________ °． 【答案】30° 【解析】 【详解】 解：∵AB=BD，∴∠ADB=∠BAD=70°，∴∠B=180°﹣70°﹣70°=40°，∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，∴∠BAC=180°﹣40°﹣40°=100°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=100°﹣70°=30°，故答案为30． 14. 如图，在中，，，分别为，，的中点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积与中线的性质，解题的关键是利用“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”这一性质逐步推导． 根据三角形中线分面积相等的性质，依次求出、、、、，最后求出． 【详解】解：∵分别为，的中点， ， ， ， ， 故答案为：1． 15. 如图，在中，，面积是14，的垂直平分线分别交边于E、F点.若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为________ 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟知等腰三角形的三线合一是解题的关键． 如图：连接，由于是等腰三角形，点D为边的中点，故；再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，然后运用等面积求的的长即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点D为边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为7． 故答案为7． 16. 如图，在射线OA，OB上分别截取，连接，在、上分别截取，连接，按此规律作下去，若，则________．（用含的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】根据等腰三角形两底角相等用表示出，依此类推即可得到结论． 【详解】解：，， ， 同理， ， ， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，是的中点，点、分别在边、上，且，下列结论：①；②；③，分别表示和的面积，则；④；所有正确的结论是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，由等腰直角三角形的性质可证，从而得出是等腰直角三角形，即可对结论进行逐一判断． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴时，最小为， 当点E与A或B重合时，最大为， ∴，故③正确； ∵是变化的，而为定值，故④错误； 综上，①②③正确． 故答案为：①②③． 18. 如图，，点C是边上的一个定点，点P在角的另一边上运动，当是等腰三角形，___________°． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当，②当，③当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图， ①当时， ∴ ∴． ②当时， ； ③当时， ； 综上所述，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键． 三、解答题（共96分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上．） 19. 如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． （1）画出，使它与关于直线m对称； （2）在直线m上找一点D，使得的周长最小；（保留作图痕迹） （3）延长交直线m于E，若是以为底边的等腰三角形，那么图中这样的格点F共有________个． 【答案】（1） （2） 即为所求； （3）3 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，最短路径问题等腰三角形的性质，解答（3）关键是根据题意构造底边的垂直平分线． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）在（1）的基础上，连交，直线m于点D，点D即为所求； （3）先做出的垂直平分线，再找到垂直平分线进过的格点即可． 【小问1详解】 解：由题意，作，使它与关于直线m对称， 【小问2详解】 解：由题意，连，交直线m于点D，连， 理由：由题意，所求中，边长为定值，只要最小即可，由作图可知，三点共线，，此时，最小，则点D即为所求． 【小问3详解】 解：如图，取点，画直线，理由：若是以为底边的等腰三角形， 则格点F在底边的垂直平分线上， 如图，取点，则可知，，，且, ∴， ∴，即点C是线段的中点， 同理，， ∴， ∴， ∴直线垂直平分线段， 将分别向上、向左平移1个，3个单位或者向下，向右平移1个，3个单位，分别得到直线上的格点， 则点即为所求． 故答案为：3． 20. 如图，中，． （1）用无刻度直尺和圆规完成下列作图（不写作法，保留画图痕迹）； ①作高； ②作的平分线交于点，交于点； （2）结合（1）中作图，求证：． 【答案】（1） BE为的平分线 （2） 证明：∵BE为的平分线 ∴ ∵，CD⊥AB ∴ ∴ ∵ ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据垂线的作法作图即可； ②根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）由证明即可． 【小问1详解】 ①分别以A为圆心AC长为半径画弧和以B为圆心BC长为半径画弧交于点G，连接CG交AB于D，即可得到CD⊥AB ②以B为圆心BC长为半径画弧交AB于H，分别以C、H为圆心大于长度为半径画圆交于点M，连接BM交AC于E，则BE为的平分线 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图中的作角平分线和高线，熟记相关尺规作图步骤是解题的关键． 21. 如图，在四边形ABCD中，，垂足为E． （1）求证：； （2）若，则___________． 【答案】（1） 证明：∵ADBC， ∴∠ADB=∠EBC． ∵CE⊥BD，∠A=， ∴∠A=∠CEB， 在和中， ， ∴（AAS）； （2） 【解析】 【分析】（1）因为这两个三角形是直角三角形，BE=AD，因为ADBC，还能推出∠ADB=∠EBC，从而能证明：； （2）因为∠DBC=，BC=BD，可求出∠BDC的度数，进而求出∠DCE的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴BC=BD， ∵∠DBC=， ∴∠EDC= ， 又∵CE⊥BD， ∴∠CED=， ∴∠DCE=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 22. 如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC． （1）求证：ABC是等腰三角形 （2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若，求∠AGC的度数． 【答案】 （1）证明：∵AF是∠DAC的角平分线 ∴∠DAF=∠CAF 又∵ ∴∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB ∴∠ABC=∠ACB ∴AB=AC ∴是等腰三角形 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，得到∠DAF=∠CAF，又根据，得到∠DAF=∠ABC，∠CAG=∠ACB，进一步得到∠ABC=∠ACB，即可证明是等腰三角形； （2）在中，分别求得和的度数，利用三角形内角和求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵CG是∠ACE的角平分线 ∴∠ACG=∠ECG 又∵，∠ACB=∠B ∴ ∴∠ACG=∠ECG= 又∵∠CAG=∠ACB ∴∠AGC= 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键． 23. 如图，△ABC中， AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且AE=AB． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长26cm，AC＝10cm，求DC长． 【答案】（1）∠C＝35°；（2）8cm 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，即可求出∠AEB，由∠C=∠EAC，即可得出答案； （2）根据题意，有AB=CE，BD=DE，能推出2DE+2EC=16cm，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AE=AB，EF垂直平分AC， ∴AB=AE=EC， ∴∠C=∠CAE， ∵∠BAE=40°， ∴∠AED=， ∴∠C=∠AED=35°； （2）∵△ABC周长26cm，AC=10cm， ∴AB+BC=cm， ∴AB+BE+EC=16cm， ∵AB=CE，BD=DE， ∴2DE+2EC=16cm， ∴DE+EC=8cm， ∴DC=DE+EC=8cm． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 24. 如图，在中，是高，点D是边的中点，点E在边的延长线上，的延长线交AB于点F，且，若． （1）求证：是等边三角形； （2）请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，点D是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）， 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，即可得出结论； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明，得，由等腰三角形的性质得，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，，则，再由直角三角形的性质得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 26. 如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． （1）如图①，当________时，的面积等于面积的一半； （2）如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】（1）或 （2）点Q的运动速度为或 【解析】 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； 【小问2详解】 解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 27. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，则的长度为________； 【理解探究】 （2）如图2，已知为直角三角形，，以，为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； （3）如图3，将分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，，，则图中有________组偏等积三角形； 【综合运用】 （4）如图4，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为．计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）3； （2）证明：作，交的延长线于， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ， 与为偏等积三角形； （3）6；（4）42000元 【解析】 【分析】（1）过作交的延长线于，先由与是偏等积三角形，得，再证明，得，，由三角形的三边关系得，而是正整数，则； （2）作，交的延长线于，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； （3）延长到点，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再跟进偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，，过点作，交的延长线于，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，与是偏等积三角形，且与在边上的高相等， ， 过作交的延长线于， ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， ∴ 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3； （2）略 （3）解：延长到点，使得，连接， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ∴，， ， ， ∴， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， ∴偏等积三角形有与，与，与，与，与，与， ∴共有6组． 故答案为：6； （4）解：由（3）同理得，， 过点作，交的延长线于， ， 点为的中点， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 28. 在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． （1）如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； （2）如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； （3）如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】（1） ①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②1 （2）①； ② （3）2或6． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【小问1详解】 ①略 ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； 【小问2详解】 ①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $