第一章 集合与常用逻辑用语知识归纳与题型突破（14类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

第1章 集合与常用逻辑用语知识归纳与题型突破 （14题型清单） 知识点1 集合的含义 1、概念 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、要点辨析 （1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等． （2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”； （3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象； （4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体． 知识点2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】 ①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物． （2）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】 ①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． （3）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合． 3、集合的分类 （1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅； （2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集． 4、集合相等 给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点4 区间的概念 1、一般区间的表示 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点． 知识点5 子集与真子集 1、韦恩图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． 2、子集 含义 一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 韦恩图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 3、真子集 含义 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)．读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 韦恩图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系． 例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集； 同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 知识点6 集合的相等 1、集合相等的定义 含义 给定两个集合和，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作，读作“A等于B”． 韦恩图示 性质 （1）如果且，则； （2）如果，则且； （3）如果，，则． 【注意】集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可以相等． 2、韦恩图表示集合间关系 3、集合间关系与实数大小关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 知识点7 空集 1、空集的定义 一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 知识点8 有限集的子集个数 1、如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 2、集合中含有个元素，集合中含有个元素，且，则符合条件的集合有个． 知识点9 交集 1、交集的概念 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A与B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”． 符号语言 ． 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素， （3），则 （4），则 （5） 注：图中的阴影部分表示交集 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点10 并集 1、并集的概念 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”． 符号语言 ． 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素 （3），则 （4），则 （5） 注：图中的阴影部分表示交集 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 知识点11 全集与补集 1、全集的概念 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U． 【注意】全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是一句具体问题来选择的． 2、补集的概念 自然语言 如果给定集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作，读作“A在U中的补集”． 符号语言 ． 图形语言 注：图中的阴影部分表示补集，全集通常用矩形区域表示． 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 知识点12 德摩根定律和容斥原理 1、德摩根定律 设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点13 命题 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真判断为假命题，的语句称为假命题． 一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如，，，…． 【注意】一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题。 知识点14 全称量词与全称量词命题 1、全称量词 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． 2、全称量词命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题．对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），符号表示为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 知识点15 存在量词与存在量词命题 1、存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题．存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 知识点16 命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、命题的真假性 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 3、含量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定：全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：． 4、常见词语的否定形式 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 知识点17 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 2、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 3、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 4、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点18 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件． 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合⇒大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 题型一 元素与集合的关系判断 例题：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．【多选】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，则下列元素满足的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（13-14高一上·内蒙古包头·期中）集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 题型二 根据元素与集合的关系求参数 例题：（24-25高一上·河南·阶段练习）若集合，且，则（    ） A．10或13 B．13 C．4或7 D．7 巩固训练 1．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 子集与真子集的个数 例题：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 巩固训练 1．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，则满足的集合C的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，则集合的非空真子集个数为（   ） A．2 B．6 C．14 D．30 3．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 4．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四 判断两个集合间的包含关系 例题：（24-25高一上·山东威海·阶段练习）集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）若，，，，则集合，间的关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 题型五 根据集合包含关系求参数 例题：（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，若关系如图所示，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 集合相等及应用 例题：（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 巩固训练 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，则的值为 ． 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）设，集合，集合，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 题型七 集合的交并补运算 例题：（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）设或，.求. 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，，. (1)求； (2)求； (3)求. 3．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设是小于11的正整数，.求： (1)； (2). 题型八 根据交并补运算求参数 例题：（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，若，求实数的取值范围； 2．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）设集合，若，则实数a的取值范围是 ． 3．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，，若，则实数的最大值为 ． 4．（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）已知全集，集合，，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 5．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·广西南宁·阶段练习）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 题型九 韦恩图在运算中的应用 例题：（24-25高一上·天津·阶段练习）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（    ） A．5名 B．4名 C．3名 D．2名 题型十 集合的新定义及应用 例题：（24-25高一上·全国·课后作业）给定集合和，定义运算“★”：，若，，则集合中元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 巩固训练 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡儿积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 3．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 4．（22-23高一上·海南·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （     ） A．920. B．924 C．308 D．320 题型十一 全称（存在）量词命题的否定 例题：（24-25高一上·湖北·阶段练习）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知命题p：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题，，则（   ） A．命题的否定为“，” B．命题的否定为“，” C．命题的否定为“，” D．命题的否定为“，” 3．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）命题：使的否定为（   ） A． 不等式恒成立 B． 不等式成立 C． 恒成立或 D． 不等式恒成立 题型十二 根据含量词命题真假求参数 例题：（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设命题，，命题，． (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围． 3．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，成立，若为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 题型十三 充分必要条件的判断 例题：（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 巩固训练 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知a，b是实数，则“且”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知，则“”是“方程有实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型十四 根据充分必要条件求参数 例题：（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与常用逻辑用语知识归纳与题型突破 （14题型清单） 知识点1 集合的含义 1、概念 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、要点辨析 （1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等． （2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”； （3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象； （4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体． 知识点2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】 ①元素与元素之间必须用“，”隔开；②集合中的元素必须是明确的；③集合中的元素不能重复；④集合中的元素可以是任何事物． （2）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】 ①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． （3）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合． 3、集合的分类 （1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅； （2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集． 4、集合相等 给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点4 区间的概念 1、一般区间的表示 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点． 知识点5 子集与真子集 1、韦恩图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． 2、子集 含义 一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 韦恩图示 性质 （1）任意一个集合都是它本身的子集，记作； （2）传递性：对于集合，如果，，则． 3、真子集 含义 一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)．读作“A真包含于B”或“B真包含A”． 韦恩图示 性质 （1）任意集合都不是它本身的真子集． （2）传递性：对于集合，如果，，则． 【注意】 （1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)． （2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系． 例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集； 同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集． 知识点6 集合的相等 1、集合相等的定义 含义 给定两个集合和，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作，读作“A等于B”． 韦恩图示 性质 （1）如果且，则； （2）如果，则且； （3）如果，，则． 【注意】集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可以相等． 2、韦恩图表示集合间关系 3、集合间关系与实数大小关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 知识点7 空集 1、空集的定义 一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 知识点8 有限集的子集个数 1、如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 2、集合中含有个元素，集合中含有个元素，且，则符合条件的集合有个． 知识点9 交集 1、交集的概念 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素（即A与B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”． 符号语言 ． 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素， （3），则 （4），则 （5） 注：图中的阴影部分表示交集 2、交集的运算性质 性质 定义 满足交换律 空集与任何集合的交集都是空集 集合与集合本身的交集仍为集合本身 多个集合的交集满足结合律 若，则 交集关系与子集关系的转化 两个集合的交集是其中任一集合的子集 知识点10 并集 1、并集的概念 自然语言 一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”． 符号语言 ． 图形语言 （1）与有部分公共元素 （2）与没有公共元素 （3），则 （4），则 （5） 注：图中的阴影部分表示交集 2、并集的运算性质 性质 定义 满足交换律 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 多个集合的并集满足结合律 , 任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集 任何集合与它子集的并集都是它本身，反之亦然 知识点11 全集与补集 1、全集的概念 在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U． 【注意】全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是一句具体问题来选择的． 2、补集的概念 自然语言 如果给定集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作，读作“A在U中的补集”． 符号语言 ． 图形语言 注：图中的阴影部分表示补集，全集通常用矩形区域表示． 3、补集的运算性质 性质 定义 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与其补集的交集为空集 任何集合补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【注意】并不是所有的全集都是用字母U表示，也不是都是R，要看题目的。 知识点12 德摩根定律和容斥原理 1、德摩根定律 设集合U为全集，A、B为U的子集，则有 （1） （2） 2、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 知识点13 命题 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句称为命题．其中，判断为真的语句称为真判断为假命题，的语句称为假命题． 一个命题，一般可以用一个小写英文字母表示，如，，，…． 【注意】一个命题，要么是真命题，要么是假命题，不能同时既是真命题又是假命题，也不能模棱两可、无法判断是真命题还是假命题。 知识点14 全称量词与全称量词命题 1、全称量词 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”． 2、全称量词命题 含有全称量词的命题，称为全称量词命题．对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围），符号表示为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 知识点15 存在量词与存在量词命题 1、存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题 含有存在量词的命题，称为存在量词命题．存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：对． 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 知识点16 命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、命题的真假性 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 3、含量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定：全称量词命题“”的否定是存在量词命题：． （2）存在量词命题的否定：存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：． 4、常见词语的否定形式 正面词语 等于（＝） 大于（＞） 小于（＜） 是 都是 否定 不等式（≠） 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 至多有n个 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 至少有n+1个 知识点17 充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 2、充要条件 （1）充要条件的概念：如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作．此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件． （2）充要条件的含义：若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的条件与结论不同． （3）充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价． 3、充分条件与必要条件的传递性 （1）若是的充分条件，是的充分条件，即，，则有，即是的充分条件； （2）若是的必要条件，是的必要条件，即，，则有，即是的必要条件； （3）若是的充要条件，是的充要条件，即，，则有，即是的充要条件． 4、条件关系判定的常用结论 与的关系 结论 ，但 是的充分不必要条件 ，但 是的必要不充分条件 且，即 是的充要条件 且 是的既不充分也不必要条件 知识点18 从不同角度理解充分必要性 1、从命题的角度理解充分必要性 若把原命题中的条件和结论分别记作和，则原命题与逆命题同与之间有如下关系: （1）若原命题是真命题，逆命题是假命题，则是的充分不必要条件； （2）若原命题是假命题，逆命题是真命题，则是的必要不充分条件； （3）若原命题和逆命题都是真命题，则和互为充要条件； （4）若原命题和逆命题都是假命题,则是的既不充分也不必要条件． 2、从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， （1）若AB，则p是q的充分不必要条件； （2）若A⊇B，则p是q的必要条件； （3）若AB，则p是q的必要不充分条件； （4）若A＝B，则p是q的充要条件； （5）若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓：小集合⇒大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 题型一 元素与集合的关系判断 例题：（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与常用数集的关系一一判定选项即可. 【详解】易知，即A错误； ，即B正确； ，即C错误； ，即D错误. 故选：B 巩固训练 1．【多选】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）设集合，则下列元素满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据元素和集合的关系判断即可. 【详解】当时，；当时，；当时，； 6不能表示为两个整数的平方差. 故选：ABD. 2．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）给出下列关系：（1）;（2）;（3）;（4）;（5），其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合常用数集的表示方法，以及元素与集合的关系，逐个判定，即可求解. 【详解】（1）因为是有理数，所以； （2）因为是无理数，所以； （3）因为是整数，所以； （4）因为是自然数，所以， （5）因为是有理数，所以， 所以正确的个数有2个. 故选：B. 3．（13-14高一上·内蒙古包头·期中）集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 【答案】B 【分析】由已知可得，，可得，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 题型二 根据元素与集合的关系求参数 例题：（24-25高一上·河南·阶段练习）若集合，且，则（    ） A．10或13 B．13 C．4或7 D．7 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，此时与4重复，则. 当，即时，. 故选：B 巩固训练 1．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系可得出或，再结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为集合，且，分以下两种情况讨论： （1）若，则，此时，， 此时集合中的元素不满足互异性，舍去； （2）若，即，解得或（舍）， 当时，，合乎题意. 综上所述，. 故选：B. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合，得到不等式，即可求解. 【详解】由集合，且，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 3．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得且，解得． 故选：A 题型三 子集与真子集的个数 例题：（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知集合，则集合A的真子集个数为（   ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】先解不等式得到，从而求出真子集个数. 【详解】，共有4个元素， 故集合A的真子集个数为. 故选：C 巩固训练 1．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知集合，，则满足的集合C的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】逐个列举即可. 【详解】因为， 所以可以是， 故选：B 2．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，则集合的非空真子集个数为（   ） A．2 B．6 C．14 D．30 【答案】D 【分析】列出集合的元素，即可求解. 【详解】 所以集合的非空真子集个数为. 故选:D 3．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（   ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先解出集合，再由得到，最后根据包含关系求出实数即可； 【详解】， 因为，所以， 所以， 对应实数的值分别为， 其组成集合的子集个数为个. 故选：D. 4．（24-25高一上·河北沧州·阶段练习）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由子集个数得到元素个数，即可求解 【详解】因为集合有16个子集， 所以集合中有4个元素，分别为0，1，2，3， 所以. 故选:A 题型四 判断两个集合间的包含关系 例题：（24-25高一上·山东威海·阶段练习）集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两个集合的元素特征，即可判断选项. 【详解】集合中的元素是偶数，集合中的元素是4的倍数，所以. 故选：B 巩固训练 1．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知通分两集合的式子，比较分子即可判断两集合的关系. 【详解】由题知，，， 因为时，为奇数，为所有整数， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·天津·阶段练习）若，，，，则集合，间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知集合及且，可得结论. 【详解】且，所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知集合，，，则、、的关系满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合中的元素进行通分，即可根据分子的形式进行比较，集合子集定义即可求解. 【详解】,故, 由于，故， 由于为任意整数，故，因此, ,故， 故， 所以， 故选：B． 题型五 根据集合包含关系求参数 例题：（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解出集合，根据可知，需分和两种情况讨论. 【详解】由，则． 因为，所以为方程的解集． ①若，则，所以或或， 当时，有两个相等实根，即不合题意， 同理，不合题意， 当时，符合题意． ②若，成立，则，即． 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合集合，再由集合间的包含关系解出符合条件的即可； 【详解】， 因为，， 所以当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 所以实数的值构成的集合为， 故选：D. 2．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合或，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分、、三种情况讨论，求出集合，在时，直接验证即可；在、这两种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，分以下几种情况讨论： （1）当时，，合乎题意； （2）当时，，则， 因为时，解得； （3）当时，，则， 因为，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 3．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，若，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行分类讨论，根据来求得的所有可能的取值. 【详解】当时，，满足. 当时，，要使， 则需或，解得或， 综上所述，的所有可能的取值组成的集合为. 故选：C 4．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，若关系如图所示，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得集合，根据 题意转化为，结合集合的运算，即可求解. 【详解】由集合， 由给定关系图，可得，所以. 故选：D. 题型六 集合相等及应用 例题：（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，，，则； 对于B选项，，，则； 对于C选项，为点集，为数集，则； 对于D选项，，，则. 故选：D. 巩固训练 1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，，且，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】由集合相等列出等式,求解，再结合互异性即可求解. 【详解】因为， 所以， 解得：或 当时，=，符合； 当时，=，符合； 故答案为：0或 2．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）设，集合，集合，若，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合元素的性质可求的值，故可得正确的选项. 【详解】因为，故，故，故， 故选：C 3．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）已知，若集合，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用集合相等，求出，再求出，检验代入求值即可. 【详解】根据题意，故，则， 故，则，即， 当时，与集合的互异性相矛盾，故舍去， 当，时，，符合题意， 所以， 故选：C. 题型七 集合的交并补运算 例题：（24-25高一上·广西玉林·阶段练习）设或，.求. 【答案】，,， 【分析】先对集合进行化简，然后根据集合和集合，由集合的补集运算计算出，再对集合进行化简，求出，然后利用集合的交并集运算，得到答案. 【详解】集合或， 所以， 集合， 所以， 集合， 所以， 所以，. 巩固训练 1．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知全集，集合或. (1)求； (2)求. 【答案】(1)或， 或； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用并集、补集、交集的定义直接求解即得. 【详解】（1）集合，或， 所以或，或， 所以或. （2）由或得， 所以. 2．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知全集，，. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出集合、，由交集的定义可求得集合； （2）求出集合，再利用并集的定义可求得集合； （3）求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】（1）解：因为，， 所以，. （2）解：因为全集，则， 所以，. （3）解：因为全集，则， 所以，. 3．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）设是小于11的正整数，.求： (1)； (2). 【答案】(1)   (2)   【分析】（1）根据集合的文字描述写出集合，根据集合交集定义得出，根据集合补集的定义得出； （2）集合的多重运算可以先算括号里面的，再计算括号外面的. 【详解】（1）， ∴，； （2），∴， 又，∴. 题型八 根据交并补运算求参数 例题：（24-25高一上·浙江温州·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的结果，可得集合间的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由，则，可得. 故选：B. 巩固训练 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，，若，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】依题意可得，再分、两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，所以， 当，则，解得； 当，则，解得； 综上可得，即实数的取值范围为. 2．（24-25高一上·山东威海·阶段练习）设集合，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求解集合，再根据条件，比较端点值的大小，即可求解. 【详解】，， 若，则或，解得：或， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 3．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合，，若，则实数的最大值为 ． 【答案】 【分析】由得到，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为，所以，又，， 所以，则实数的最大值为， 故答案为：. 4．（24-25高一上·河南平顶山·阶段练习）已知全集，集合，，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得集合，由题意，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式，即可求解； （2）先求得集合，结合，分类讨论求得实数的范围，进而求得时，实数的取值范围，得到答案. 【详解】（1）由集合，， 因为，可得， 当时，即，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）由集合，， 当时，即，解得，此时； 当时，要使得，则满足或， 解得或， 综上可得，若时，实数的取值范围为， 所以，若时，可得实数的取值范围为. 5．（24-25高二上·山西太原·开学考试）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，再根据子集的定义得不等式求解． 【详解】由得，所以或， 解得或，所以. 故选：D． 6．（22-23高二下·广西南宁·阶段练习）已知全集，集合，，则集合可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集与并集的定义可得，，即可得解. 【详解】由，，故， 又，则，，故或. 故选：C. 7．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 题型九 韦恩图在运算中的应用 例题：（24-25高一上·天津·阶段练习）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦恩图可知图中阴影部分表示的集合为，再利用集合的混合运算即可得解. 【详解】根据题意，可知图中阴影部分表示的集合为， 又，，， 所以或， 则. 故选：D. 巩固训练 1．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有（    ） A．5名 B．4名 C．3名 D．2名 【答案】B 【分析】画出韦恩图，根据题意列出方程，求出三个小组都参加的人数，即可得解. 【详解】设三个小组都参加的人数为，只参加音乐科学的人数为，只参加音乐体育的人数为，只参加体育科学的人数为，作出韦恩图，如图， 由题意，， 即， 因为有12名学生只参加了2个兴趣小组，所以， 代入解得，即三个兴趣小组都参加的有5人， 所以参加兴趣小组的一共有人， 所以不参加所有兴趣小组的有人. 故选：B 题型十 集合的新定义及应用 例题：（24-25高一上·全国·课后作业）给定集合和，定义运算“★”：，若，，则集合中元素的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据题意由集合新定义计算即可； 【详解】，则， 故集合中元素的个数为7． 故选：B. 巩固训练 1．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡儿积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】D 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 2．（24-25高一上·湖南·阶段练习）在整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即．下列结论正确的是（    ） A． B． C．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” D．若，则 【答案】D 【分析】由“类”的定义代入计算可判断A、B、D，分别验证C选项的充分性和必要性可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，A错误． 对于B，每个整数除以4所得的余数只有0，1，2，3，没有其他余数，所以，又， 所以，B错误． 对于C，若，则， 所以； 若，则，不妨设， 则，所以， 所以a，b除以4所得的余数相同，即属于同一“类”． 故整数a，b属于同一“类”的充要条件是“”，C错误． 对于D，由，可设， 则， 因为，所以，D正确． 故选：D. 3．（24-25高一上·上海·开学考试）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【详解】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D 4．（22-23高一上·海南·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为 （     ） A．920. B．924 C．308 D．320 【答案】D 【分析】分析出在集合的所有非空子集中分别出现了次，从而列出式子，求出这些和的总和. 【详解】的子集个数有个，其中每个元素均出现次， 故元素在集合的所有非空子集中分别出现了次， 则对的所有非空子集中，元素执行乘以再求和操作， 则这些和的总和为 . 故选：D 题型十一 全称（存在）量词命题的否定 例题：（24-25高一上·湖北·阶段练习）命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到； 【详解】由题意，命题“”的否定为， 故选：C. 巩固训练 1．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知命题p：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定形式判断即可得出答案. 【详解】由命题p：，，可得为，. 故选：A. 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知命题，，则（   ） A．命题的否定为“，” B．命题的否定为“，” C．命题的否定为“，” D．命题的否定为“，” 【答案】C 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得命题的否定为“，”. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖北荆州·阶段练习）命题：使的否定为（   ） A． 不等式恒成立 B． 不等式成立 C． 恒成立或 D． 不等式恒成立 【答案】C 【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论. 【详解】命题：使的否定为 恒成立或. 故选：C. 题型十二 根据含量词命题真假求参数 例题：（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，；命题，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为真命题，构造不等式即可求解； （2）分别由为真命题，为真命题和同时为假命题求的范围即可求解. 【详解】（1）由题意得，，为真命题， 则，即，故为真命题时，的取值范围为. （2）当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 当为真命题时，，即，所以为假命题时，； 若同时为假命题，则， 所以若至少有一个真命题时，. 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，均有，命题． (1)写出，若为真命题，求的取值范围； (2)若命题、一真一假，求实数的取值范围． 【答案】(1)，使；若为真命题，； (2)或 【分析】（1）根据题意写出，由求出的取值范围； （2）按照为真、为假和为假、为真两种情况分别求出的取值范围，进而得到实数的取值范围. 【详解】（1）根据题意，，使. 若为真命题，方程有实数解，，解得. 所以的取值范围为. （2）若命题为真、为假，有，得. 若命题为假、为真，有，得. 综上所述，若命题、一真一假，实数的取值范围为或. 2．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设命题，，命题，． (1)若q为真命题，求实数m的取值范围； (2)若p为假命题、q为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用一元二次方程无实根求出的取值范围即得. （2）由命题为真命题求出的范围，再结合（1）求出答案. 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由p为假命题，得，为真命题，即，， 而当时，，当且仅当时取等号，因此， 由（1）知，，则， 所以实数m的取值范围是. 3．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）已知命题，成立，若为真命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出，由其为真命题，确定不等关系即可求解. 【详解】:，为真命题， 所以. 故选：C 4．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出命题的否定，讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解. 【详解】命题"，使得"是假命题， 等价于命题"，使得"是真命题. 当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值集合是. 故选：C. 题型十三 充分必要条件的判断 例题：（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知是的充分不必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的概念求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以可得，而推不出， 则是的充分不必要条件， 故选：A 巩固训练 1．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义，结合一元二次方程根的情况求解即得. 【详解】一元二次方程有一个正根和一个负根，等价于，解得， 所以所求充要条件是. 故选：A 2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知a，b是实数，则“且”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合不等式的性质，立意充分性、必要性的定义即可得出答案. 【详解】充分性：若且可以得且，故充分性成立， 必要性：若，可得同号，又，可得“且”，故必要性成立， 所以“且”是“且”的充分必要条件. 故选：C． 3．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】判断充分必要条件需要既要判断充分性也要判断必要性. 【详解】当时，或，则不满足充分性； 当时，成立，则满足必要性， ∴“”是“”的必要不充分条件 故选：B 4．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）已知，则“”是“方程有实数根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合二次方程有解的条件即可得解. 【详解】当时，对于方程，有， 所以方程有实数根，即充分性成立； 当方程有实数根时，取，此时，满足条件， 但不成立，即必要性不成立； 所以“”是“方程有实数根”的充分不必要条件. 故选：A. 5．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）《生于忧患，死于安乐》由我国古代著名思想家孟子所作，文中写到“故天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，根据文中意思可知“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的概念，结合文中含义判断即可. 【详解】由文中意思可知，若“天将降大任于斯人也”，则必须“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”，反之未必， 所以“苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤”是“天将降大任于斯人也”的必要不充分条件， 故选：B 题型十四 根据充分必要条件求参数 例题：（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先求出一元二次方程有两个不相等的正实根时的取值范围，再根据充要条件的定义即可求解. 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 巩固训练 1．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由充分不必要条件结合不等式求解即可； 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 所以，解得， 故选：A. 2．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知命题的否定是真命题，根据一元二次不等式的存在性问题求解即可. 【详解】依题意，是真命题， 所以在R上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在R上一定有解，故满足题意； 当时，若在R上有解，则，解得， 综上所述，， 因此命题的否定是真命题的充要条件为， 所以命题的否定是真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：A. 3．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得出两个集合之间的关系：，再对集合B中的不等式求解，分类讨论研究即可． 【详解】由题意知： ①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：． 故选：A． 4．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简命题，根据是的必要条件求解. 【详解】由可得， 因为是的必要条件，所以， 则是的子集，故. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$