3.2.1双曲线及其标准方程（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

3.2.1双曲线及其标准方程 题型一 双曲线的定义 1．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 2．（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 3．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 题型二 双曲线的方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 4．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 5．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 题型三 双曲线方程辨析 1．（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 2．（22-23高二下·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 3．（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）（24-25高二下·上海·期末）已知曲线C：，下列结论中正确的有（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 5．（多选）（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 题型四 焦点三角形 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ．    2．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 题型五 和差最值问题 1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 2．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 5.（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 题型六 轨迹方程问题 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二上·全国·课后作业）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线的左、右两个顶点分别是、，左、右两个焦点分别是、，P是双曲线上异于、的任意一点，给出下列命题：①；②直线、的斜率之积等于定值；③使得为等腰三角形的点P有且仅有8个；④的面积为，其中是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·吉林长春·期中）直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为 . 5．（24-25高二上·全国·单元测试）定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，则下列说法中正确的是 ．（填上你认为的所有正确说法的序号） ①双纽线关于原点中心对称； ②双纽线上满足的点只有1个； ③； ④的最大值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1双曲线及其标准方程 题型一 双曲线的定义 1．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知定点，动点满足，则动点的轨迹为（   ） A．双曲线的上支 B．双曲线的下支 C．双曲线的左支 D．轴负半轴上的射线 【答案】A 【分析】根据题意，得到，结合双曲线的定义，即可得到答案. 【详解】由定点且在y轴上，可得， 因为，即， 根据双曲线的定义得，点的轨迹为双曲线的上支. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）双曲线的左、右焦点分别是，点在双曲线上，且，则（    ） A．18 B．2 C．6或14 D．2或18 【答案】B 【分析】应用双曲线的定义，结合已知，计算得出且符合到焦点距离范围. 【详解】由题知点在双曲线右支上，根据双曲线的定义得， 因为，所以，即， 又因为，所以满足题意. 故选：B. 3．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点在双曲线的右支上，则（    ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意，得，，求出，根据双曲线的定义即可求出的值. 【详解】 由题意知，，， ， 双曲线， 点在双曲线的右支上， 由双曲线的定义得，， 故选：B. 4．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义即可求解 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，，所以，，. 由双曲线的定义可知，令，则. 故答案为： 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的定义求出 ，，，利用余弦定理得出结果即可. 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 题型二 双曲线的方程 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点为，，M是此双曲线上的一点，且满足，，则该双曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得进一步求出，由此得到，则该双曲线的方程可求． 【详解】 ， 即， ． 则． ．即． ，． 则该双曲线的方程是：． 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】根据已知可得，再结合双曲线定义得出，计算求出，即得双曲线方程. 【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上， 可知，则，即， 又因为，得解得，故双曲线方程为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据题干双曲线上点满足,得到，代入方程计算求解即可得出结果. 【详解】依题意， 即，故， 又点在曲线上，所以，即， 故双曲线的标准方程为. 故答案为： 4．（24-25高二下·上海·期中）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解. 【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即， 实轴长，即， 于是虚半轴长， 所以所求双曲线方程为． 故答案为： 5．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 题型三 双曲线方程辨析 1．（24-25高二上·全国·课后作业）对于方程表示的曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若为负角，则曲线为双曲线 C．若为正角，则曲线为椭圆 D．若为椭圆，则其焦点在轴上 【答案】B 【分析】对A，根据的取值，即可判断选项.；对B若为负角，即，双曲线标准方程的形式，即可判断；对C，当时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，即可判断选项. 【详解】对A，当，即时，曲线的方程为， 此时曲线为两条平行的直线，故A错误； 对B，若为负角，即，则， 此时曲线为双曲线，故B正确； 对C，若为正角，即，当时，， 则曲线的方程为1，是圆，故C错误； 对D，若为椭圆，则，又可变形为， 则为焦点在轴上的椭圆，故D错误． 故选：B． 2．（22-23高二下·广西柳州·阶段练习）已知曲线.下列正确的是（   ） A．若，则是椭圆，其焦点在轴上 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线，其渐近线方程为 D．若，则是两条直线 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合椭圆、圆、双曲线的标准方程逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于A，若，则化为，由，得， 因此曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，A正确； 对于B，若，则化为， 此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，B错误； 对于C，若，则化为，此时曲线C表示双曲线， 由得渐近线方程为，C错误； 对于D，，方程，若，方程不表示任何曲线，D错误． 故选：A 3．（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 4．（多选）（24-25高二下·上海·期末）已知曲线C：，下列结论中正确的有（    ） A．若，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是双曲线，其渐近线方程为 D．若，，则C是两条直线 【答案】ACD 【分析】根据不同的条件结合椭圆、圆、双曲线的标准方程和直线方程进行判断各个选项； 【详解】对于A，若，则可化为，∴，∴，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为，此时曲线C表示双曲线，由可得，故C正确； 对于D，若，，则可化为，，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD. 5．（多选）（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知方程，则（    ） A．存在实数，使得该方程对应的图形是圆 B．存在实数，使得该方程对应的图形是平行于轴的两条直线 C．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的双曲线 D．存在实数，使得该方程对应的图形是焦点在轴上的椭圆 【答案】ACD 【分析】对ACD采用举例法即可判断其正确，对B分析出为定值，显然不可能. 【详解】对A，取，此时方程为，表示的图形为圆，故A正确； 对B，，若要该方程对应的图形是平行于轴的两条直线， 则必须满足为一个定值，显然不成立，故B错误； 对C，取，则方程为，其对应的图形是焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对D，取，此时方程为，其对应的图形是焦点在轴上的椭圆，故D正确. 故选：ACD. 题型四 焦点三角形 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线的定义以及性质可知，根据已知可求得加双曲线焦距长可求得. 【详解】方程化为，则，根据题意知 又， 所以，则的周长为． 故答案为：12    2．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）设是双曲线C: 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则面积为 . 【答案】3 【分析】利用双曲线定理结合勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式即可. 【详解】由题意得双曲线中，，则其焦点坐标， 根据双曲线对称性，不妨假设点在第一象限， 设，其中， 因为，则， 根据勾股定理知， 即，解得（负舍）， 则，则面积为. 故答案为：3. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的标准方程为，左、右焦点分别为，且双曲线上有一点使得，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设，根据，列出方程，求得，代入双曲线的方程，即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得，则， 设，则，解得， 因为点在双曲线上，代入可得，解得，故. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线：与椭圆：有公共的焦点，，且与在第一象限的交点为M，若的面积为1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义求解、的长，再结合余弦定理求出，进而得到，再根据面积公式求解即可. 【详解】设，分别为左、右焦点，根据椭圆以及双曲线定义可得 所以，， 所以， 由余弦定理可得， 所以， 故， 因此的面积为， 解得． 故答案为：. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 题型五 和差最值问题 1．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线的右半支上，点，则的最小值为（    ） A． B．4 C．6 D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义转化，再结合图象，求的最小值，再联立方程求交点坐标. 【详解】由题意并结合双曲线的定义可得 ， 当且仅当，，三点共线时等号成立. 而直线的方程为，由可得，所以， 所以点的坐标为. 所以当且仅当点的坐标为时，的最小值为. 故选：D. 2．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据圆的性质分析可得，再结合双曲线的定义运算求解. 【详解】由双曲线可知， 且圆的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 由圆的性质可知：， 可得， 可知，为双曲线的焦点，则， 可得， 所以的最小值为5. 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】 双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    【点睛】 结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为. 4．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义得到，进而根据，即可求解 【详解】设双曲线的右焦点为， 由可知，，则， 因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知： ， 所以， 因为， 当且仅当，，三点共线时，达到最小值， 因为，，所以， 即的最小值为． 故选：C． 5.（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】由双曲线的定义把表示为的函数，然后由函数的单调性得最小值． 【详解】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4.    题型六 轨迹方程问题 1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由圆M：，得圆心，半径， 由圆N：，得圆心，半径． 设圆P的半径为r，则有，． 两式相减得， 所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支， 又，所以C的方程为． 故选：B． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 3.（24-25高二上·全国·课后作业）过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为 ． 【答案】（且） 【分析】设P及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：(且) 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy中，动点P关于x轴对称的点为Q，且，则点P的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知等式化简得出轨迹方程. 【详解】设，则， 又因为可得. 则点的轨迹方程为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得点满足双曲线的定义，且求得，的值，再由求得，则点的轨迹的方程可求． 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为，且存在，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出满足条件时的和，再求出离心率的范围，逐项验证后可得正确的选项. 【详解】不妨设，由题意得． 若曲线是椭圆，则， 则，；故即， 而A中离心率为，B中离心率为，均不满足； 若曲线是双曲线，则， 则，，故即， 而C中离心率为，D中离心率为，故D满足题设要求， 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线的左、右两个顶点分别是、，左、右两个焦点分别是、，P是双曲线上异于、的任意一点，给出下列命题：①；②直线、的斜率之积等于定值；③使得为等腰三角形的点P有且仅有8个；④的面积为，其中是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义即可判断①；设，由此可得到直线、的斜率即可判断②；分类讨论并根据双曲线的对称性即可判断③；根据双曲线定义，余弦定理以及三角形面积公式即可判断④. 【详解】 解析：在中，两边之差大于第三边，即，①错误； 设，则，即， ∵，，则，， ∴，②正确； 不妨设P在第一象限，根据双曲线的定义可知， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 根据双曲线的对称性可知使得，为等腰三角形的点P有且仅有8个，③正确； 不妨设P在第一象限，则，， ， ∴． 又=，所以④错误． 故选：B． 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得，，即可利用余弦定理求解. 【详解】如图：在双曲线中，且焦点在轴上， 椭圆和双曲线的相同焦点为，，它们在第一象限的交点为， 故椭圆中，故， ，， ，， ， 由余弦定理可得 ． 故选：C    4．（23-24高二上·吉林长春·期中）直线过圆的圆心，且与圆相交于A，B两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为 . 【答案】0 【分析】根据题意求得圆心坐标和半径，利用极化恒等式表示出的表达式，再由二次函数性质以及双曲线的范围可得最小值为0. 【详解】易知圆的圆心为，半径为1； 依题意为直径，所以； 设，则且， 可得， 所以 ， 根据二次函数性质以及可得当时，取得最小值为0. 故答案为：0 5．（24-25高二上·全国·单元测试）定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线．已知点是双纽线上一点，则下列说法中正确的是 ．（填上你认为的所有正确说法的序号） ①双纽线关于原点中心对称； ②双纽线上满足的点只有1个； ③； ④的最大值为． 【答案】①②④ 【分析】对于①，由定义得，用替换方程中的即可判断；对于②，由列方程即可判断；对于③，根据三角形的等面积法得由此即可判断；对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断. 【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线， 所以， 用替换方程中的，原方程不变，所以双纽线关于原点中心对称，所以①正确； 对于②，若双纽线上的点满足，则点在轴上，即0，所以，得，所以这样的点只有一个，所以②正确； 对于③，根据三角形的等面积法可知， 即， 所以，所以③错误； 对于④，因为，所以 ， 由余弦定理得， 所以， 当且仅当时取得等号，所以的最大值为，所以④正确． 故答案为：①②④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$