11.2乘法公式（一）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（沪教版2024）

11.2 乘法公式(一) 主讲： 沪教版（2024）七年级数学上册 第11章 整式的乘除 学习目标 目标 1 （1）理解平方差公式、完全平方公式的意义以及它们与多项式乘法的关系，会初步选择、运用平方差公式与完全平方公式进行简便计算； （2）经历公式的推导以及借助图形面积进行说明的过程，体会“从一般到特殊”研究问题的方法和数形结合、化归到数学思想。 重点 2 平方差公式与完全平方公式的特征与初步运用。 难点 3 平方差公式和完全平方公式的图形说明的理解。 新课导入 计算：(a+b)(a-b) 解：(a+b)(a-b) =a2-ab+ab-b2 =a2-b2 (a+b)·(a-b)的结果有什么特征？ 新课讲授:平方差公式 (a+b)(a-b)=a2-b2 即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差。 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 新课讲授:平方差公式 新课讲授:平方差公式 方法一：S1=(a-b)(a+b) 方法二：S1=a2+(a-b)b-ab =a2+ab-b2-ab =a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 新课讲授:平方差公式 方法一：S2=a·(a-b)+b·(a-b) =(a+b)(a-b) 方法二：S2=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2 典例分析 例1 计算： (1)(y+1)(y-1); (2)(2m+3n)(2m-3n); (3)(x+y)(x-y). 满足平方差公式特征的整式乘法，可以用平方差公式直接写出运算结果。 分析 以(3)为例，我们可以应用平方差公式 (x+y)(x-y) =x2-y2 (a+b)(a-b) =a2-b2 典例分析 例1 计算： (1)(y+1)(y-1); (2)(2m+3n)(2m-3n); (3)(x+y)(x-y). 解： (1)(y+1)(y-1)=y2-12=y2-1 (2)(2m+3n)(2m-3n)=(2m)2-(3n)2=4m2-9n2 (3)(x+y)(x-y)=(x)2-(y)2=x2-y2 典例分析 例2 计算： 解： (1)(-x+1)(-x-1); (2)(2a-3b)(-2a-3b). (1)(-x+1)(-x-1) =(-x)2-12 =x2-1 (2)(2a-3b)(-2a-3b) =(-3b+2a)(-3b-2a) =(-3b)2-(2a)2 =9b2-4a2 学以致用 1.计算： (1)(2x+5)(2x-5); (2)(1-2a)(1+2a); (3)(x2+)(x2-); (4)(-2x-3y)(3y-2x); (5)(-3-2x)(3-2x); (4)(x-2y)(x+2y)+(2x-y)(2x+y). 解： (1)(2x+5)(2x-5) =(2x)2-52 =4x2-25 (2)(1-2a)(1+2a) =12-(2a)2 =1-4a2 (3)(x2+)(x2-) =(x2)2-()2 =x4- 学以致用 1.计算： (1)(2x+5)(2x-5); (2)(1-2a)(1+2a); (3)(x2+)(x2-); (4)(-2x-3y)(3y-2x); (5)(-3-2x)(3-2x); (6)(x-2y)(x+2y)+(2x-y)(2x+y). 解： (4)(-2x-3y)(3y-2x) =(-2x-3y)(-2x+3y) =(-2x)2-(3y)2 =4x2-9y2 (5)(-3-2x)(3-2x) =(-2x-3)(-2x+3) =(-2x)2-32 =4x2-9 (6)(x-2y)(x+2y)+(2x-y)(2x+y) =x2-(2y)2+[(2x)2-y2] =x2-4y2+4x2-y2 =5x2-5y2 新课讲授 计算：(1)(a+b)2 (2)(a-b)2 解：(1)(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 (a+b)2与(a-b)2的结果有什么特征？ (2)(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 新课讲授：完全平方公式 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数的积的两倍。 新课讲授：完全平方公式 新课讲授：完全平方公式 方法一：S1=(a+b)2 方法二：S1=a2+b2+ab+ab =a2+b2+2ab (a+b)2=a2+b2+2ab 新课讲授：完全平方公式 方法一：S2=(a-b)2 方法二：S2=a2-b2-2b(a-b) =a2-b2-2ab+2b2 =a2+b2-2ab (a-b)2=a2+b2-2ab 典例分析 例3 计算： (1)(x+1)2; (2)(m+2n)2; 解： (3)(3-y)2; (4)(t-1)2. 对于满足完全平方公式特征的整式乘法，可以利用完全平方公式直接写出运算结果。 (1)(x+1)2=x2+2·x·1+12=x2+2x+1 (2)(m+2n)2=m2+2·m·(2n)+(2n)2=m2+4mn+4n2 (3)(3-y)2=32-2×3·y+y2=9-6y+y2 (4)(t-1)2=(t)2-2·t·1+12=t2-t+1 典例分析 例4 计算： (1)(-x+1)2; (2)(-3-y)2; 解： (3)(m3-2n2)2. (1)(-x+1)2 =(-x)2+2·(-x)·1+12 =x2-2x+1 (2)(-3-y)2 =[-(3+y)]2 =(3+y)2 =32+2×3·y+y2 =9+6y+y2 (3)(m3-2n2)2 =(m3)2-2·(m3)·(2n2)+(2n2)2 =m6-4m3n2+4n4 典例分析 例5 利用完全平方公计算：(a+b+c)2. 解： (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 课堂小结 1 平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2 2 完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 学以致用 基础巩固题 1.下列计算是否正确？如果不正确，应该如何改正？ (1)(a+b)2=a2+b2; (2)(7-a)2=49-a2; (3)(a+2b)2=a2+2ab+b2; (4)(a-2b)2=a2-4ab-4b2. (1)不正确，(a+b)2=a2+2ab+b2. (2)不正确，(7-a)2=49-14a-a2. (3)不正确，(a+2b)2=a2+4ab+4b2. (4)不正确，(a-2b)2=a2-4ab+4b2. 学以致用 基础巩固题 2.计算： 解： (1)(2x+y)2; (2)(-a-b)2; (4)(-a3+2b3)2; (5)(2x+3)(2x-3)·(4x2-9); (6)(a+b-c)2. (3)(m-n)2; (1)(2x+y)2 =(2x)2+2×2x·y+y2 =4x2+4xy+y2 (2)(-a-b)2; =[-(a+b)]2 =(a+b)2 =a2+2ab+b2 (3)(m-n)2 =(m)2-2·(m)·(n)+(n)2 =m2-mn+n2 学以致用 基础巩固题 2.计算： 解： (1)(2x+y)2; (2)(-a-b)2; (4)(-a3+2b3)2; (5)(2x+3)(2x-3)·(4x2-9); (6)(a+b-c)2. (3)(m-n)2; (4)(-a3+2b3)2 =(-a3)2+2·(-a3)·(2b3)+(2b3)2 =a6-4a3b3+4b6 (5)(2x+3)(2x-3)·(4x2-9) =(4x2-9)·(4x2-9) =(4x2-9)2 =(4x2)2-2·4x2·9+92 =16x4-72x2+81 学以致用 基础巩固题 2.计算： 解： (1)(2x+y)2; (2)(-a-b)2; (4)(-a3+2b3)2; (5)(2x+3)(2x-3)·(4x2-9); (6)(a+b-c)2. (3)(m-n)2; (6)(a+b-c)2 =[(a+b)-c]2 =(a+b)2-2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc 主讲： 沪教版（2024）七年级数学上册 感谢聆听 $$