精品解析：四川省宜宾市第一中学校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

宜宾市一中2024级高一上期10月月考 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号正确填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.测试范围：人数A版必修第一册第一、二章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合用列举法表示为（ ） A B. C. D. 2. 设，则下列不等式中正确的是 A. B. C D. 3. 已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 已知且，则的最小值为（ ） A B. 8 C. 9 D. 10 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，，若满足，则实数的值为（ ） A. 5或或3 B. 5 C. 3 D. 8. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ） A. 1 B. C. D. 与的取值有关 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件. B. “”是“”的充分不必要条件. C. 若，则“”是“”充分不必要条件. D. “”是“”的必要不充分条件. 10. （多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 设集合为实数集的非空子集.若对任意，都有，则称为封闭集.以下结论正确的序号有（ ） ①为封闭集； ②若为封闭集，则一定有； ③存在集合，A不为封闭集； ④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，，则________. 13. 若，设，则的大小关系是_____．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 14. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数m的取值范围． 16. （1）若命题：，是假命题，求的取值范围； （2）若，成立，求实数的取值范围. 17. 为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度均为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为. （1）设其中一个栏目的宽为，试把整个矩形海报的面积表示成的代数式，并求出的最小值； （2）如果要求整个矩形海报的面积不超过，并且的长度不超过的一半，求长度的取值范围. 18. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，且，求实数m的值. 19. 高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宜宾市一中2024级高一上期10月月考 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号正确填涂在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.测试范围：人数A版必修第一册第一、二章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合用列举法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 2. 设，则下列不等式中正确的是 A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案. 【详解】∵，由基本不等式得，∴ 故选：B. 3. 已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用子集的定义即可求解. 【详解】∵集合满足， ∴集合一定包含元素1，2，可能包含元素3或元素4， 即或或或.故集合的个数是4个. 故选：D. 4. 已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得二次方程有解，列不等式求的范围即可. 【详解】由已知二次方程有解， 所以，且， 所以且. 故选：D. 5. 已知且，则的最小值为（ ） A. B. 8 C. 9 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因，所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：C. 6. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论可得，，从而可得结论. 【详解】， 当时，可得，所以此时， 当时，可得，所以此时，故， 又，此时， 又，此时，故， 所以. 故选：A. 7. 已知集合，，若满足，则实数的值为（ ） A. 5或或3 B. 5 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得，分、两种情况讨论，分别求出，再代入检验. 【详解】因为，且， 所以， 若，则，此时，，不满足，故舍去； 若，解得或， 当时，，集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足，符合题意； 综上可得. 故选：D 8. 已知实数集满足条件:若，则，则集合中所有元素的乘积为（ ） A. 1 B. C. D. 与的取值有关 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，递推出集合A中所有元素，可得答案． 【详解】由题意，若，， ， ， ， 综上，集合. 所以集合A中所有元素的乘积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充要条件. B. “”是“”的充分不必要条件. C. 若，则“”是“”的充分不必要条件. D. “”是“”的必要不充分条件. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件定义判断即可. 【详解】对于A：若，，满足，但是，故充分性不成立， 若，，满足，但是，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分又不必要条件，故A错误； 对于B：可以推得出，故充分性成立， 由，推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立， 所以“”是“”充分不必要条件，故B正确； 对于C：由推不出，故充分性不成立，故C错误； 对于D：由，解得， 所以由推不出，故充分性不成立， 由推得出，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD 10. （多选）不等式的解集是，对于系数，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由不等式的解集为得，且方程的两根为，计算可得，再根据即可判断. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得. 所以. 即. 故选：BCD. 11. 设集合为实数集的非空子集.若对任意，都有，则称为封闭集.以下结论正确的序号有（ ） ①为封闭集； ②若为封闭集，则一定有； ③存在集合，A不为封闭集； ④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】ABC 【解析】 【分析】①设，，其中，验证是否属于M即可判断；②取x＝y即可判断；③取集合即可判断；④取，即可判断． 【详解】①设，，其中． 则， ∵，，∴； ， ∵，，∴； ， ∵，，∴， 综上，为封闭集.①正确； ②若为封闭集，则，取，得，故②正确； ③取， ∵，∴A不为封闭集，故③正确； ④取，满足条件，但， ∴不封闭集，故④错误． 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组，求解即可. 【详解】联立方程组，解得， 所以. 故答案为：. 13. 若，设，则的大小关系是_____．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞； 【解析】 【分析】利用作差法求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞ 14. 关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出适当的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，得出，结合交集的概念即可得解； （2）对集合是否是空集分类讨论，依次列出不等式（组）即可求解. 【小问1详解】 当时，集合，， 故． 【小问2详解】 当时，，即，满足，故满足题意； 当时，，即时，， 解得，于是得，所以， 故实数m的取值范围是． 16. （1）若命题：，是假命题，求的取值范围； （2）若，成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，是真命题，再分、两种情况讨论，当时，解得即可； （2）参变分离可得，成立，利用基本不等式求出，即可得解. 【详解】（1）若命题：，是假命题， 则命题：，是真命题， 当时恒成立，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，即的取值范围为； （2）因为，成立， 即，成立， 所以，成立， 又，当且仅当，即时取等号，即，所以， 即实数的取值范围为. 17. 为宣传2023年上海马拉松，某校现要设计如图的一张矩形宣传海报，该海报含有形状、大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为，四周空白的宽度均为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为. （1）设其中一个栏目的宽为，试把整个矩形海报的面积表示成的代数式，并求出的最小值； （2）如果要求整个矩形海报的面积不超过，并且的长度不超过的一半，求长度的取值范围. 【答案】（1），，的最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）设矩形栏目的高为，利用矩形栏目面积得，表示出海报广告的面积，利用基本不等式求出最小值即可； （2）根据题意列不等式结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 设矩形栏目的高为，由题意，所以， 则整个矩形海报广告的高为，宽为，(其中)， 则整个矩形海报广告的面积： ， 当且仅当，即时取等号，此时. 故当矩形栏目的宽为，高为时，可使整个矩形海报的面积最小为. 【小问2详解】 由题意，即， 所以，解得， 又的长度不超过的一半，所以，所以， 又，所以， 所以，即长度的取值范围为. 18. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，且，求实数m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求得，时，，再根据集合的并集定义求解即可； （2）由集合对两端点的距离要求，可分三类情况考虑即得. 【小问1详解】 集合 当时，， 所以. 【小问2详解】 因为， ， ，且， 因为，则， 所以， 当时，，解得； 当时，，此时满足条件的m不存在； 当时，，解得， 综上，m的值为或. 19. 高一某学生阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积” （1）若，，求和； （2）证明：“”的充要条件是“”； （3）若集合是有限集，将集合的元素个数记为.记，，满足，对，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）首先表示出，，，结合基本不等式求出，即可得到的取值范围即可. 【小问1详解】 因为，，且， 所以，； 【小问2详解】 若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的充分条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的必要条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. 【小问3详解】 依题意，，，， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 又，对，恒成立， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $