精品解析： 江苏省无锡市滨湖区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔在答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. 或 D. 或 2. 若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( ) A. a≤0 B. a≥0 C. a＞0 D. a＜0 3. 若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为( ) A. d＜6 B. d＝6 C. d＞6 D. d≤6 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 5. 若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 6. 抛物线 与y轴的交点纵坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于( ) A. 3 B. 5 C. D. 8. 若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为( ) A. 65° B. 25° C. 65°或25° D. 65°或30° 9. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于 A. B. C. D. 10. 如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为( ) A. B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共8个题，每小题3分，共16分，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若3是方程x2﹣2x+c＝0一个根，则c的值为____． 12. 已知 则代数式 ___________________． 13. 抛物线y＝x2﹣2x﹣5的顶点坐标是____． 14. 如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速(单位：千米/时)情况，则该时段内来往车辆的平均速度是____千米/时． 15. 如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则弧AB的长为____． 16. 半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为____． 17. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝65°，则∠ACD＝_____°． 18. 记抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共84分；请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. (1)计算：； (2)解方程：x2﹣4x+1＝0． 20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5，6)，B(3，6)，C(2，7)． (1)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是_____； (2)△ABC外接圆半径是_____； (3)请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1：2． 21. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 “美团” ① 6 6 1.2 “滴滴” 6 ② 4 ③ （1）完成表格填空：①__________②__________③__________ （2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 22. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．(请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．) 23 如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB． (1)求证：△ABE∽△ACB； (2)如果AB＝6，AE＝4，求CD的长． 24. 如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC． (1)求证：AB＝CB； (2)如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积． 25. 已知在四边形ABCD中，P是CD边上一点，且△ADP∽△PCB．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．(保留作图痕迹，不写作法) (1)如图①，四边形ABCD是矩形； (2)如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝45°． 26. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 27. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，动点P从点D出发，沿DA的方向运动到点A，每秒1个单位，同时点Q从点B出发，沿BD的方向运动到点D，每秒5个单位．当某一个点到达终点时，整个运动就停止．设运动时间为t(秒)． (1)填空：当t＝_____时，PQ∥AB； (2)设△PCQ的面积为S，求S关于t的函数表达式； (3)当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，求t的值． 28. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，二次函数的图像经过点，与直线相交于点，且． （1）求点的坐标和二次函数表达式． （2）过点的直线交轴于点． ①当与轴的夹角等于时，请直接写出点的坐标； ②当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作的平行线交直线于点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省无锡市滨湖区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔在答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 一元二次方程的根是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先移项，再提公因式x，最后根据因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得，， 故选C． 【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤是解题的关键． 2. 若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是( ) A. a≤0 B. a≥0 C. a＞0 D. a＜0 【答案】B 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负数列出关于a的不等式方程，然后求得a的取值范围． 【详解】∵方程(x﹣4)2＝a有实数解， ∴x﹣4＝±， ∴a≥0， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．解答该题时，还利用了二次根式有意义的条件这一知识点． 3. 若直线l与半径为6的⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d为( ) A. d＜6 B. d＝6 C. d＞6 D. d≤6 【答案】A 【解析】 【分析】由直线l与半径为6的⊙O相交，可得圆心O到直线l的距离小于圆的半径，据此即可得答案. 【详解】∵⊙O的半径为6，直线L与⊙O相交， ∴圆心到直线的距离小于圆的半径， 即0≤d＜6， 故选A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离d与圆的半径R的大小关系判定直线与圆的位置关系：当d＞R，直线与圆相离；当d=R，直线与圆相切；当d＜R，直线与圆相交． 4. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格： 平均数 中位数 众数 方差 8.5 8.3 8.1 0.15 如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（　　） A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【详解】去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选D． 5. 若要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B. 先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C. 先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D. 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得函数的定点坐标为 ，函数的顶点坐标为 ，即可求解． 【详解】解：∵函数的定点坐标为 ，函数的顶点坐标为 ， ∴将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 6. 抛物线 与y轴的交点纵坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，直接求出抛物线与y轴的交点纵坐标． 【详解】解：当时，，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点，掌握y轴上点的坐标特点是解题的关键． 7. 用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径等于( ) A. 3 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长=底面圆周长即可求得答案. 【详解】设底面半径为R，则底面周长＝2Rπ，半圆的弧长＝×2π×5＝2πR， ∴R＝， 故选D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，涉及了圆的周长公式，弧长公式等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 8. 若等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝100°，则△ABC底角的度数为( ) A. 65° B. 25° C. 65°或25° D. 65°或30° 【答案】C 【解析】 【分析】分圆心O在△ABC外部与内部两种情况进行求解即可得. 【详解】(1)圆心O在△ABC外部， 在优弧BC上任选一点D，连接BD，CD， ∴∠BDC＝∠BOC＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣∠BDC＝130°； ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝(180°﹣∠BAC)÷2＝25°； (2)圆心O在△ABC内部．∠BAC＝∠BOC＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝(180°﹣∠BAC)÷2＝65°， 综上所述，△ABC底角的度数为65°或25°， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关内容，正确进行分类讨论是解题的关键. 9. 如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，则DE的长等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得△ADC∽△BDE，，再根据AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，可得BD、DC的长，根据比例的性质，可得答案． 【详解】解：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E， ∴△ADC∽△BDE， ∴． ∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3， ∴BD=5，DC=3． ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理． 10. 如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为( ) A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接DP，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF的面积最小，利用三角函数求出DP的长，即可求得答案. 【详解】如图，连接DP， ∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点， 当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2， ∴A(﹣2，0)，B(0，1)， ∴AB＝=， ∵过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F， ∴DE＝DF，PE⊥DE， ∵PE＝PF，PD＝PD， ∴△PED≌△PFD(SSS)， ∵⊙P的半径为， ∴DE＝， 当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×， ∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE， ∴四边形PEDF面积的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 二、填空题（本大题共8个题，每小题3分，共16分，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置） 11. 若3是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值为____． 【答案】-3 【解析】 【分析】把x=3代入方程可得关于c的方程，解这个方程即可求得答案. 【详解】把x＝3代入方程x2﹣2x+c＝0得32﹣2×3+c＝0， 解得c＝﹣3， 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键. 12. 已知 则代数式 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，先由题意得到，然后代入代数式化简解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 13. 抛物线y＝x2﹣2x﹣5的顶点坐标是____． 【答案】(1，-6) 【解析】 【分析】配方成顶点式，即可得答案. 【详解】抛物线y＝x2﹣2x﹣5＝(x﹣1)2﹣6， 所以抛物线的顶点坐标是：(1，﹣6)， 故答案为(1，﹣6)． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握配方法是解题的关键. 14. 如图，交警统计了某个时段在一个路口来往车辆的车速(单位：千米/时)情况，则该时段内来往车辆的平均速度是____千米/时． 【答案】60 【解析】 【分析】利用加权平均数的公式进行求解即可得. 【详解】这些车的平均速度是：(40×2+50×3+60×4+70×5+80×1)÷15＝60(千米/时)， 故答案为60． 【点睛】本题考查了加权平均数，正确识图是解题关键. 15. 如图，⊙O的半径是3，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝40°，则弧AB的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】连结OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB的度数，然后利用弧长公式进行求解即可. 【详解】连结OA、OB，如图， ∵∠ACB＝40°， ∴∠AOB＝80°， ∵⊙O的半径是3， ∴的长＝=， 故答案为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，熟练掌握相关内容是解题的关键. 16. 半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为____． 【答案】： 【解析】 【分析】设圆的半径是R，分别求出正三角形的边长与正方形的边长即可求得答案. 【详解】设圆的半径为R， 如图1，连接OB，过O作OD⊥BC于D， 则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R， 故BC=2BD=R； 如图2， 连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E， 则△OBE是等腰直角三角形， 2BE 2 =OB 2 ，即BE=R， 故BC=R， 则半径相等的圆内接正三角形与正方形的边长之比为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，熟练掌握相关内容是解题的关键. 17. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝65°，则∠ACD＝_____°． 【答案】40 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质求出∠ADC=180°-∠ABC=115°，由圆周角定理求出∠ACB=90°，得出∠BAC=25°，由过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，可得∠MCA＝∠ABC＝65°，∠AMC＝90°，继而根据三角形的外角性质得出∠DCM=∠ADC-∠AMC=25°，即可求出∠ACD的度数． 【详解】∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝115°，∠BAC＝90°﹣∠ABC＝25°， ∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M， ∴∠MCA＝∠ABC＝65°，∠AMC＝90°， ∵∠ADC＝∠AMC+∠DCM， ∴∠DCM＝∠ADC﹣∠AMC＝25°， ∴∠ACD＝∠MCA﹣∠DCM＝65°﹣25°＝40°， 故答案为40． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、三角形的外角性质、弦切角定理等知识；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解决问题的关键． 18. 记抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C．当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为_____． 【答案】y＝﹣x2+1或y＝﹣x2+1 【解析】 【分析】根据题意分别求出点A、点B的坐标，继而可得AB2的值，设点C坐标为(c，0)，表示出AC2和BC2，根据△ABC是直角三角形，分∠ABC＝90°和∠BAC＝90°两种情况分别讨论求解即可得. 【详解】由抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，可知：A(2，3)、B(0，1)， ∴AB2＝(2﹣0)2+(3﹣1)2＝8． 设点C坐标为(c，0)， ∴AC2＝(2﹣c)2+32＝c2﹣4c+13，BC2＝c2+1． ∵△ABC是直角三角形， 则：①当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2， 即c2﹣4c+13＝(c2+1)+8，解得：c＝1 ∴C1(1，0)， 将点C1坐标代入y＝ax2+1得：a+1＝0；解得：a＝﹣1， ∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1， ②当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2， 即c2+1＝(c2﹣4c+13)+8，解得：c＝5， ∴C2(5，0)， 将点C2坐标代入y＝ax2+1得：25a+1＝0，解得：a＝﹣， ∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1， 综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1或y＝﹣x2+1． 故答案是：y＝﹣x2+1或y＝﹣x2+1． 【点睛】本题考查了待定系数法，勾股定理以及勾股定理的逆定理，分类讨论思想等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 三、解答题（本大题共10小题，共84分；请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. (1)计算：； (2)解方程：x2﹣4x+1＝0． 【答案】(1)+1；(2)x1＝2+，x2＝2﹣． 【解析】 【分析】（1）按顺序先分别进行二次根式的化简，绝对值的化简，0次幂的运算，然后再按运算顺序进行计算即可； （2）利用配方法进行求解即可. 【详解】(1)原式＝2﹣+1 ＝+1； (2)x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1， x2﹣4x+4＝﹣1+4，即(x﹣2)2＝3． ∴x﹣2＝±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 【点睛】本题考查了实数的运算，配方法解一元二次方程，熟练掌握相关的运算法则以及配方法是解题的关键. 20. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，点A、B、C都是格点(每个小方格的顶点叫格点)，其中A(5，6)，B(3，6)，C(2，7)． (1)已知△ABC与△DEF(点D、E、F都是格点)成位似图形，则位似中心M的坐标是_____； (2)△ABC外接圆半径是_____； (3)请在网格图中画一个格点△A1B1C1，使△A1B1C1∽△DEF，且相似比为1：2． 【答案】(1)(3，10)；(2)；(3)见解析. 【解析】 【分析】(1)根据位似图形的性质，连接FC、DA，并延长FC与DA交于点M，则点M即为位似中心，根据点M的位置即可得到坐标； （2）根据网格特点，作AB的垂直平分线与BC的垂直平分线交于点N，则点N为△ABC的外心，连接CN，求出CN的长即可得； （3）利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等，可以让各边长都缩小到原来的一半，得到新三角形． 【详解】(1)位似中心M的坐标为(3，10)， 故答案为(3，10)． (2)△ABC的外接圆的半径为CN＝， 故答案为． (3)△A1B1C1如图所示． 【点睛】本题考查了位似变换，相似三角形的性质等，熟练掌握位似的性质以及网格的结构特征是解题的关键. 21. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示： 根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 “美团” ① 6 6 1.2 “滴滴” 6 ② 4 ③ （1）完成表格填空：①__________②__________③__________ （2）若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 【答案】（1）①6；②4.5；③7.6；（2）选美团，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案； （2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【详解】（1）①美团平均月收入为：7×20%+8×10%+4×10%+5×20%+6×（1-20%-10%-10%-20%）=千元； ②滴滴中位数为4.5千元； ③方差为：=千元； 故答案为：6;4.5;7.6； （2）选美团，因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定． 【点睛】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大． 22. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．(请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．) 【答案】. 【解析】 【分析】先画树状图得到所有等可能的情况，然后找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可. 【详解】画树状图为： 由树状图知，共有6种等可能结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种， 所以甲、丙两人成为比赛选手的概率为＝． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 23. 如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，∠ABE＝∠ACB． (1)求证：△ABE∽△ACB； (2)如果AB＝6，AE＝4，求CD的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)CD＝． 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得； （2）由△ABE∽△ACB根据相似三角形的性质可求得AC的长，继而可得CE长，通过证明△ABE∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例即可求得CD的长. 【详解】(1)∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB； (2)∵△ABE∽△ACB， ∴，即，解得AC＝9． ∴CE＝9﹣AE＝5． ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴，即，解得CD＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 24. 如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC． (1)求证：AB＝CB； (2)如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析；(2)S阴＝ 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△ADE≌△BDC，可得∠ADE＝∠BDC，继而可得，由此即可得证； （2）根据S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF，利用扇形公式进行计算即可. 【详解】(1)∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC， ∴△ADE≌△BDC(SAS)， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴， ∴AB＝BC． (2) S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质，扇形面积等，熟练掌握相关内容是解题的关键. 25. 已知在四边形ABCD中，P是CD边上一点，且△ADP∽△PCB．分别在图①和图②中用直尺和圆规作出所有满足条件的点P．(保留作图痕迹，不写作法) (1)如图①，四边形ABCD是矩形； (2)如图②，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝45°． 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)以AB为直径作⊙O，交CD于点P、P′，点P、P′即为所求； (2)作等腰三角形OAB(OA=OB，∠AOB=90°)，以O为圆心、OA为半径作⊙O，交CD于点P、P′，点P、P′即为所求. 【详解】(1)如图①中，点P，点P′即为所求． (2)如图②点P，点P′即为所求． 【点睛】本题考查了作图——相似变换，矩形的性质，圆周角定理等，会利用辅助圆解决问题是解题的关键. 26. 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件 （1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大； （3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【答案】（1）w＝－10x2＋700x－10000；（2）即销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大；（3）A方案利润更高． 【解析】 【分析】（1）根据利润（销售单价进价）销售量，列出函数关系式即可； （2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）分别求出方案、中的取值范围，然后分别求出、方案的最大利润，然后进行比较． 【详解】解：（1）由题意得，销售量， 则 ； （2）． ， 函数图象开口向下，有最大值， 当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大； （3）方案利润高．理由如下： 方案中：， 故当时，有最大值， 此时； 方案中：， 故的取值范围为：， 函数，对称轴为直线， 当时，有最大值， 此时， ， 方案利润更高． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，解题的关键是掌握最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 27. 如图，在矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，动点P从点D出发，沿DA的方向运动到点A，每秒1个单位，同时点Q从点B出发，沿BD的方向运动到点D，每秒5个单位．当某一个点到达终点时，整个运动就停止．设运动时间为t(秒)． (1)填空：当t＝_____时，PQ∥AB； (2)设△PCQ的面积为S，求S关于t的函数表达式； (3)当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，求t的值． 【答案】(1)；(2)S＝﹣t2﹣12t+24；(3)t的值为或2． 【解析】 【分析】（1）当PQ//AB时，△DPQ∽△DAB，用含t的代数式表示出相关线段长，然后利用相似三角形的性质即可得； （2）用含t的式子表示出MQ、MD、NC、NQ、MP的长，再根据S△PQC＝S梯形MNCP﹣S△PMQ﹣S△QNC，列式进行化简即可得； （3）当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，△PQC为直角三角形，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】(1)如图1， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6， ∠A＝90°， 在Rt△ABD中，BD＝＝10， 当PQ∥AB时， △DPQ∽△DAB， ∴， 即， ∴t＝， 故填：； (2)如图2，过点Q作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N， 则MN∥AB， 当P.Q.C共线时，即有 ，解得： ①当时 ∵△DMQ∽△DAB， ∴＝＝， ＝＝， ∴MQ＝6﹣3t，MD＝NC＝8﹣4t， ∴NQ＝3t，MP＝MD﹣PD＝8﹣5t， ∴S△PQC＝S梯形MNCP﹣S△PMQ﹣S△QNC， ＝(8﹣5t+8﹣4t)×6﹣(8﹣5t)(6﹣3t)﹣(8﹣4t)•3t ＝﹣t2﹣12t+24， ∴S关于t的函数表达式为：S＝﹣t2﹣12t+24； ②当时， ， (3)如图3，当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时， PQ⊥CQ， 由(2)知，∠QMP＝90°，∠QNC＝90°， MQ＝6﹣3t，MD＝NC＝8﹣4t， NQ＝3t，MP＝MD﹣PD＝8﹣5t， ∴在Rt△MPQ中， PQ2＝MP2+MQ2＝(8﹣5t)2+(6﹣3t)2， 在Rt△QCN中， QC2＝QN2+NC2＝(3t)2+(8﹣4t)2， 在Rt△PDC中， PC2＝PD2+DC2＝t2+62， 在Rt△PQC中， PQ2+CQ2＝PC2， ∴(8﹣5t)2+(6﹣3t)2+(3t)2+(8﹣4t)2＝t2+62， 解得：t1＝，t2＝2， ∴当直线CQ与以点P为圆心，PQ为半径的圆相切时，t的值为或2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等，正确添加辅助线，熟练运用相关定理是解题的关键. 28. 如图，直线分别与轴、轴交于，两点，二次函数的图像经过点，与直线相交于点，且． （1）求点的坐标和二次函数表达式． （2）过点的直线交轴于点． ①当与轴的夹角等于时，请直接写出点的坐标； ②当时，过抛物线上一动点（不与点，重合），作的平行线交直线于点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标． 【答案】（1） （2）①或；②或 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标，过点作直线轴，过点作轴，交直线于点，则，利用相似三角形的性质可得出，利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点的坐标，再由点，的坐标，利用待定系数法可求出二次函数表达式； （2）①分点在轴负半轴和点在轴正半轴两种情况考虑：(ⅰ)当点在轴负半轴时，由三角形外角的性质可得出，进而可得出，在中，利用勾股定理可求出的值，进而可得出点的坐标；（ⅱ）当点在轴正半轴时，由可得出，进而可得出点的坐标．综上，此问得解； ②由等角的余角相等可得出，结合相似的判定和性质可求出点的坐标，设点的坐标为，分点在直线下方及点在直线上方两种情况考虑∶：(ⅰ)当点在直线下方时，由点，，的坐标利用平行四边形的性质可得出点的坐标，再利用一次函数图像上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；（ⅱ）当点在直线上方时，由点，，的坐标利用平行四边形的性质可得出点的坐标，再利用一次函数图像上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程，由该方程无解可得出不存在该种情况．综上，此问得解． 【小问1详解】 解：∵直线分别与轴、轴交于，两点， 当时，，解得：， ∴点的坐标为，， 当时，， ∴点的坐标为，， 过点作直线轴，过点作轴，交直线于点，如图1所示， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的横坐标为， ∵点直线上， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点，在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为 ． 【小问2详解】 ①分点在轴负半轴和点在轴正半轴两种情况考虑，如图2所示． （ⅰ）当点在轴负半轴时， ∵，， ∴， ∴， 设，则， 在中， ，，， ∵， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （ⅱ）当点在轴正半轴时， ∵， 由(ⅰ)可知：， ∴， ∴ ∵轴， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述，当与轴的夹角等于时，点的坐标为或． ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点的坐标为， 设点的坐标为， 分两种情况考虑，如图所示， （ⅰ）当点在直线下方时， ∵点的坐标为，点的坐标为，且四边形为平行四边形， ∴，， ∵点向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴点的对应点点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 整理，得：， 解得：，； （ⅱ）当点直线上方时， ∵点的坐标为，点的坐标为，且四边形为平行四边形， ∴，， ∵点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点， ∴点的对应点点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 整理，得：， ∵， ∴该方程无实数根， ∴该种情况不存在， 综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的横坐标为 或． 【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的性质，平移的点的坐标特征．解题的关键是∶（1）利用相似三角形的性质及一次函数图像上点的坐标特征，求出点的坐标；（2）①分点在轴负半轴和点在轴正半轴两种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出点的坐标；②分点在直线下方及点在直线上方两种情况，利用平行四边形的性质，平移的点的坐标特征，一次函数图像上点的坐标特征，找出关于的一元二次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$