精品解析：广东省广州市第八十九中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试题

2023学年第二学期广州市第八十九中学期中考试卷 初二年级 数学试卷 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共120分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共32分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、单项选择题（本题共有8个小题，每小题3分，共24分，每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的中位线，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 5. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若三角形的三边，，满足，则该三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共有2个小题，每小题4分，共8分，每个小题有多个选项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分） 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共88分） 三、填空题（本题有6个小题，每个小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 如图，数轴上点表示的数是_________． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 14. 命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是____它是___命题．（填“真”或“假”）． 15. 如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，，则的周长为________． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 四、解答题（本大题有9个小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算： 18. 已知：，求代数式的值. 19. 在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15 （1）求证：△ABD是直角三角形； （2）求DC的长． 20. 实数，在数轴上的位置如图，化简． 21. 如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN． 22. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 23. 如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）的条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 24. 在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到． （1）如图1，若点F刚好落在上时，求的长； （2）如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离． 25. 正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接． （1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：； （2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期广州市第八十九中学期中考试卷 初二年级 数学试卷 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共120分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共32分） 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、单项选择题（本题共有8个小题，每小题3分，共24分，每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此即可判断． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的对边平行即可求解． 【详解】解：因为平行四边形中，， ∴， ∴． 则的度数是． 故选：D． 3. 如图，是的中位线，若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故选：B． 4. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系和勾股定理的逆定理对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，不能构成三角形，不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C． 5. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，由勾股定理得，然后根据直角三角形斜边的中线性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵点是线段的中点， ∴， 故选：． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 7. 若三角形的三边，，满足，则该三角形是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，又由两边相等知是等腰三角形，从而可得结论． 【详解】解：∵三角形的三边，，满足， ∴设三边长分别为，， ∵， ∴， ∴该三角形是等腰直角三角形． 故选：D． 8. 一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 二、多项选择题（本题共有2个小题，每小题4分，共8分，每个小题有多个选项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分） 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，若以A，O，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形．根据题意画出草图，可得符合条件的第四个顶点有三种可能，即可求解． 【详解】解：如图，第四个顶点不可能在第三象限， 故选：C． 10. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 第II卷（非选择题 共88分） 三、填空题（本题有6个小题，每个小题3分，共18分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 如图，数轴上点表示的数是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴．先根据勾股定理求出圆弧半径，结合图形即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得， 圆弧半径为， 则点表示的实数为． 故答案为：． 13. 已知菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是菱形的面积，解题关键是熟练掌握菱形面积的求解方法． 菱形面积求法：①底乘以高；②对角线积的一半．据此即可得解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积． 故答案为：． 14. 命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是____它是___命题．（填“真”或“假”）． 【答案】 ①. 两直线平行，同旁内角互补 ②. 真 【解析】 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补，因为逆命题符合两直线平行的性质故是真命题． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，它是真命题． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，解题的关键是两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15. 如图，平行四边形的对角线，交于点，已知，，，则的周长为________． 【答案】17 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8，即可求出△OBC的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=3，OB=OD=6，BC=AD=8， ∴△OBC的周长=OB+OC+BC=3+6+8=17． 故答案为：17． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质有：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 16. 如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段长的最小值为__________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段长的最小值为． 故答案为：． 四、解答题（本大题有9个小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先去括号，然后进行二次根式的乘法运算． 【详解】解：原式= 【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 已知：，求代数式的值. 【答案】原式===12. 【解析】 【详解】试题分析：将原式进行因式分解，然后将数值代入即可. 试题解析：∵ ∴原式= =（）2 = = 12 点睛：本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，然后再进行计算，熟记完全平方公式的形式是解题的关键. 19. 在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15 （1）求证：△ABD是直角三角形； （2）求DC的长． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形； （2）在Rt△ADC中利用勾股定理可得出DC的长度． 【小问1详解】 解：证明：∵AB=13，AD=12，BD=5， ∴， ∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°； 【小问2详解】 ∵∠ADB=90°， ∴△ADC是直角三角形， 在Rt△ADC中，DC==9． 【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，解题的关键是判断出∠ADB=90°． 20. 实数，在数轴上的位置如图，化简． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴，二次根式的化简，绝对值的化简，根据数轴可得出，的正负情况，然后确定的正负，再将二次根式化简即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据数轴可得：，， ∴， ∴ ． 21. 如图，菱形ABCD中，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N．求证：AM=CN． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AD=CD，∠A=∠C，由“AAS”可证△DAM≌△DCN，可得AM=CN． 【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠A=∠C， ∵DM⊥AB，DN⊥BC， ∴∠DMA=∠DNC=90°， 在△DAM和△DCN中， ， ∴△DAM≌△DCN（AAS）， ∴AM=CN． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 22. 已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF， 求证：四边形BECF是平行四边形． 【答案】 证明：如图，连接BC，设对角线交于点O． ∵四边形ABDC是平行四边形， ∴OA=OD，OB=OC． ∵AE=DF， ∴OA﹣AE=OD﹣DF， ∴OE=OF． ∴四边形BECF是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论． 【详解】略 23. 如图，四边形是平行四边形． （1）利用尺规作的角平分线交于点E（保留作图痕迹，请标明字母）； （2）在（1）的条件下，过点A作交于点O，交于点F，连接（无需尺规作图），求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，作角的平分线，，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）①以为圆心，适当长为半径画弧，交于，于，②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于，③作射线，交于即可； （2）由平行四边形的性质证明，可得，结合作图可得，得到，根据等腰三角形的性质求得，同理求得，从而可得结论． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求， 【小问2详解】 证明：由作图知， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 24. 在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到． （1）如图1，若点F刚好落在上时，求的长； （2）如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离． 【答案】（1）； （2）M到的距离为8． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案； （2）过点作于，交的延长线于，交的延长线于．证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上， ∴，，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于． 四边形是矩形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 到的距离为8． 25. 正方形中，，E是中点，M为线段上一点（不与D，E重合），连接． （1）如图，将线段绕点C逆时针旋转得，连接．求证：； （2）若M为的中点，在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用证明，即可证明； （2）作交的延长线于点，取的中点，连接，先求得，由，求得，证明，求得，，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作交的延长线于点，取的中点，连接，如图， ∵正方形，，E是中点， ∴，， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $