精品解析：安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题

安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列四个数中最大是（ ） A. B. C. D. 4. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ） A. 4h B. 6h C. 8h D. 12h 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10 已知，且，则（ ） A. B. C D. 11. 已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“”是假命题，则实数的最小值为______． 13. 若函数在时取得极小值，则极大值为______． 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知函数满足，求在区间上的值域； （2）若函数的最小值为，且，求的最小值. 16. 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． （1）求实数m，n的值； （2）求的零点个数. 17. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若且存在，使得成立，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）若恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）当时． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：． 附：当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 安徽省皖豫名校联盟2025届高三上学期10月联考数学试题 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数定义域知识求出集合，再由指数函数的单调性解不等式求出集合，最后结合交集运算的概念即可得答案. 【详解】由已知，得，由，得， 所以，所以． 故选：B. 2. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由垂直关系求出a的值，再结合充分、必要条件的概念即可得答案. 【详解】若，则，解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 3. 下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的性质结合对数运算即可得答案. 【详解】由的单调性可知，即 ． 故最大的是． 故选:C. 4. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：与时间（单位：h）之间的关系式为，其中为初始污染物含量，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前4h过滤掉了的污染物．如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为（ ） A. 4h B. 6h C. 8h D. 12h 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出值，再由废气中的污染物含量不超过的列出不等式求解即得. 【详解】依题意得，当时，， 当时，，则， 可得，即，所以， 当时，解得， 故至少需要过滤8h才能达到排放标准． 故选：C. 5. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由时即可排除A；由奇偶性可排除B；时0，则可排除C，故答案可求. 【详解】对于A，当时，，排除A； 对于B，因， 所以函数为偶函数，与函数图象不符，排除B； 对于C，当时，由0，得，排除C， 故选：D． 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分段函数的单调性需要考虑每段函数的单调性，还要考虑衔接点位置的取值大小关系，列不等式组即可求得答案. 【详解】易知在上单调递减， 要使在上单调递减，则需满足解得， 即的取值范围是． 故选：B 7. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得出为奇函数，且易知在上单调递增，再解不等式即可. 【详解】令 为奇函数，且易知在上单调递增． 原不等式可转化为，，解得． 故选：D. 8. 定义为不超过的最大整数，区间（或）的长度记为．若关于的不等式的解集对应区间的长度为2，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数形结合的方法，结合新定义构成不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】设，作出的图象， 因为不等式的解集对应区间的长度为2， 所以解集只可能为或． 当解集为时，如图（1），数形结合易知即无解． 当解集为时，如图，数形结合易知即，解得所以． 综上，实数的取值范围为． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由对数运算的性质得，通过代入即可判断A；由二次函数的性质即可判断B；代入即可求出a的值，则可判断C；由可得，可解得a的取值范围，则可判断D. 【详解】由题意知，所以， 所以． 对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，所以，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不能得到，故D错误． 故选：ABC. 10. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断A、C；利用基本不等式结合乘“1”法即可判断B；将代入原式化简，再结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以，故A错误； 对于， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为， 当且仅当时等号成立，所以，故C正确； 对于D，因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 故选：BC. 11. 已知函数与的导函数分别为与，且的定义域均为，，，为奇函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A由奇函数的性质即可得出结论；选项B由条件进行转化，得到有关的关系式，由函数奇偶性的判定得出结论；选项C由已知条件进行转化，得到，从而得出结论；选项D，通过前面的对称性和周期性等结论，验证出一个周期内的整数函数值的和，从而得出结论. 【详解】对于A，因为为奇函数，所以， 令，得，故A正确； 对于B，由，得，又， ∴，即， ∴， 又的定义域为，故为奇函数，故B错误； 对于C，由，可得为常数）， ，又， ∴， ∴，， ∴，所以是周期为8的函数，同理也是周期为8的函数，故C正确； 对于D，，令，得，则， 再令，得，又是周期为8的函数，所以， ∵，∴，又， ∴，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“”是假命题，则实数的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的性质结合全称量词命题的概念即可得参数m的取值范围. 【详解】因为“”是假命题，所以“”是真命题， 所以，故实数的最小值为． 故答案为：． 13. 若函数在时取得极小值，则的极大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，则可求得，再结合导数即可求得极大值. 【详解】由题意可得，，解得， 所以， 故当或时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为． 故答案为：. 14. 已知函数，若存在两条不同的直线与曲线和均相切，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出两曲线的切线方程，进而，利用方程根的个数与函数图象交点的个数之间的转化，结合导数讨论函数的单调性和数形结合的思想即可求解. 【详解】设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即． 设曲线上的切点坐标为，又， 则公切线的方程为，即， 所以，消去，得． 若存在两条不同的直线与曲线均相切， 则关于的方程有两个不同的实数根． 设，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，由可得， 当且时，，当时，且， 则的大致图象如图所示， 由图可知，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是两曲线的切线方程相等，消去得，利用数形结合的思想将方程的根个数转化为函数图象的交点个数. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知函数满足，求在区间上的值域； （2）若函数的最小值为，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为1 【解析】 【分析】（1）首先求出的值，再利用二次函数的性质即可求得值域； （2）先结合（1）中的结论得，再利用基本不等式求最小值即可. 【详解】（1）由题意得，即， 所以且，解得． 所以， 则在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以在区间上的值域为． （2）， 当时，， 由（1）知，所以，即． 所以， 当且仅当时等号成立． 所以的最小值为1. 16. 设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． （1）求实数m，n的值； （2）求的零点个数. 【答案】（1） （2）3个零点． 【解析】 【分析】（1）利用拐点的概念，结合导数的运算即可求解； （2）利用导数求出函数的单调区间，结合极值情况即可判断零点个数. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以 即解得 【小问2详解】 由（I）知，， 所以， 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： -3 1 + 0 - 0 + ↗ 14 ↘ -18 ↗ 所以的极大值为，极小值为， 又， 所以有3个零点． 17. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数与函数单调性之间关系判断函数的单调性，由单调性求出函数的最值，则可得证. （2）由题意只需函数在上的最小值小于，求出，讨论a的取值范围，利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，则a的范围可求. 【小问1详解】 若，则，所以 由得，由得， 所以上单调递减，在上单调递增 所以有极小值，也是最小值，且， 所以． 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则在上的最小值为. 要使条件成立，只需，解得. 若，则在上的最小值为， 令，无解． 故的取值范围为． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求的极值； （3）若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值． （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导后，由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值； （3）令，由，得，再结合的单调性可求得，然后再利用导数证明当时，即可. 【小问1详解】 当时，， 故曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 当时，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，无极大值． 【小问3详解】 令， 由得， 令，则在上单调递减， 又，故． 下面证明当时，． 易知． 设，则， 当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，即 设，则， 当时，， 当时，， 故，则，即． 故，则． 故所求的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义及利用导数求函数极值、解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键构造函数，结合求出的取值范围再证明，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）当时． （ⅰ）证明：当时，； （ⅱ）若方程有两个不同的实数根，证明：． 附：当时，． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合导数分类讨论当、、、时的单调性即可求解； （2）（i）将原不等式转化为，利用3次求导讨论函数的单调性即可；（ii）由（1）知，进而.将原不等式转化为证明，设，利用3阶导数和零点的存在性定理讨论函数的单调性，得，即可证明. 【小问1详解】 由已知，得． 当时，令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得，令，得或， 所以在上单调递减，在和上单调递增． 【小问2详解】 （i）由题可知，即证当时，． 令，则． 令，则． 令，则，易知在上单调递增． 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以，则在上单调递增， 所以， 原不等式得证. （ii）当时，，由（1）知在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且时，，由（i）可知当时，， 由方程有两个不同的实数根，得． 不妨设，则， 要证，即证，又在上单调递增，所以只需证， 即证． 设， 则． 设，则， 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 又因为， 所以存，使得， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为， 所以当时，，当时，， 所以当时，单调递减， 因为，所以， 所以，故原命题得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明形如的不等式恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$