精品解析：广东省广州市铁一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

广州市铁一中学2024-2025学年第一学期10月月考 高二数学 命题人：易安 审题人：苏明 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可. 【详解】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基； 因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基. 故选：A. 2. 空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设三根绳子上的拉力分别为，利用可得答案. 【详解】设三根绳子上的拉力分别为，， 因为的夹角均为， 所以，， ， 设物体的重力为，则， 所以 . 故选：C. 3. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件及充分条件、必要条件判断即可. 【详解】当时，，，两直线斜率都为且不重合，所以两直线平行； 当两直线平行时，由，即，解得， 经检验时，两直线平行，故. 综上可知，“”是“直线和直线平行”的充要条件. 故选：C 4. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 5. 已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 6. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算可得，令可得，利用四点共面和基本不等式可求得的最小值，结合棱锥体积公式可求得结果. 【详解】连接， 由题意知：； 令，则，， 四点共面，（当且仅当时取等号）， ； 设点到平面的距离为，则点到平面的距离为， 又，， ，即的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥体积相关问题的求解，解题关键是能够结合空间向量的知识，利用四点共面得到的最小值，进而代入体积公式求解. 7. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系设点，利用以及两点的位置关系可得点的轨迹为四边形，求出该矩形周长即可得结果. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，， 设，则， ，可得； 当时，，当时，， 取， 连结， 则， 四边形为矩形，则， 即，又和为平面中的两条相交直线， 平面，又， 为的中点，则平面， 为使，必有点平面， 又点在正方体表面上运动，所以点的轨迹为四边形， 又，则点的轨迹不是正方形， 则矩形的周长为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用线面垂直证明 过程中辅助线较为复杂，所以建立空间直角坐标系可简化求解过程，得出点的轨迹形状即可求得周长. 8. 如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图， 由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 二、多项选择题：本大题3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，.若，则与的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【详解】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 11. 在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角的余弦值为 B. 棱台的体积为26 C. 若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D. 点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B选项，利用棱台体积公式求出答案；C选项，设出，求出轨迹方程，得到点的轨迹，从而得到点到平面的最短距离为，利用体积公式求出答案；D选项，考虑点在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案. 【详解】A选项，因为平面，平面， 所以， 又底面分别是边长为4和2的正方形， 故， 故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系， 则， 平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，，故， 则， 又从图形可看出二面角为锐角， 故二面角余弦值为，A正确； B选项，棱台的体积为，B错误； C选项，若点在侧面内运动，， 设，则， 整理得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求， 过点作⊥于点，与圆弧交于点， 此时点到平面的距离最短， 由勾股定理得， 因为，， ， 故点到平面的最短距离为， 因为与平行，且⊥平面， 又平面，所以⊥， 故四边形为直角梯形，故面积为， 则四棱锥体积的最小值为，C正确； D选项，由C选项可知，当点在侧面内运动时，轨迹为圆弧， 设其圆心角为，则，故， 所以圆弧的长度为， 当点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求轨迹，其中，故， 则圆弧长度为， 若点在面内运动时，， 设，则， 整理得， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在侧面内部（含边界）部分， 如图所示，圆弧即为所求，此时圆心角， 故圆弧长度为， 经检验，当点在其他面上运动时，均不合要求， 综上，点的轨迹长度为，D正确. 故选：ACD 【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且直线与直线垂直，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为，即可求出，再由斜率公式计算可得. 【详解】因为直线的斜率， 又直线与直线垂直，所以，即，解得. 故答案为： 13. 长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是______；当点到直线的距离为时，的值为______． 【答案】 ①. ②. ##0.25 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线表示出点的坐标，由为钝角建立不等式求解的范围；由空间点到直线距离公式计算的值. 【详解】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系， 则，令， 则有，，， 由为钝角，得，解得， ，因此； 显然，点到直线的距离 ，整理得， 解得，所以. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：求空间点的坐标，可以借助向量共线，结合向量的坐标运算求解. 14. 如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】确定，根据共面得到，解得答案. 【详解】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：和直线：. （1）若，求实数a的值； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数a，注意验证是否存在重合即可； （2）讨论截距是否为0，分别求出对应参数a，即可得直线方程. 【小问1详解】 由，则，可得或1， 当时，，满足平行关系； 当时，，，即两线重合，不满足题设； 所以. 【小问2详解】 若截距为0，则，此时，满足题设； 若截距不为0，则且，故， 所以，此时； 综上，直线方程为或. 16. 如图，在三棱柱中底面为正三角形，． （1）证明：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）因为， 所以 ， 所以，即. （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到，即可得证； （2）取的中点，连接交于点，连接、，即可得到为异面直线与所成角或其补角，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接交于点，连接、， 则为的中点，所以，所以为异面直线与所成角或其补角， 在等边三角形中， 在平行四边形中 ， 所以，所以， 因为，，所以， 在矩形中，所以， 在中由余弦定理， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得. （2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程. 【小问1详解】 由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1， 直线方程为，即， 由，解得， 所以点的坐标是. 【小问2详解】 由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上， 因此，解得，即得点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 18. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． （1）若点为线段的中点，证明：平面； （2）若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 取中点，连接，， 因为分别为中点， 所以，， 因为四边形为菱形，为中点， 所以，， 所以，，则四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以∥平面. （2）存在，，理由如下： 取中点，连接， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，平面， 所以，， 因为，四边形为菱形， 所以三角形为等边三角形， 因为为中点， 所以，， 所以两两垂直， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以， ， 所以， 所以线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时. 【解析】 【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到，然后根据线面平行的判定定理证明； （2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集. （1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数； （2）已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值. 【答案】（1）当的值为时，有4个， 当的值为时，有3个. （2）. 【解析】 【分析】（1）分两种情况得出的所有可能值以及相应的的个数； （2）先根据已知得出，再计算求得余弦值. 【小问1详解】 ①情形一：分别取的中点， 由中位线性质可知， 此时平面为的一个1阶等距平面， 为正四面体高的一半，等于. 由于正四面体有4个面，这样的1阶等距平面平行于其中一个面，有4种情况； ②情形二：分别取的中点 将此正四面体放置到棱长为1的正方体中， 则为正方体棱长的一半，等于. 由于正四面体的六条棱中有3组对棱互为异面直线， 这样的1阶等距平面平行于其中一组异面直线，有3种情况. 综上，当的值为时，有4个；当的值为时，有3个. 【小问2详解】 在线段上分别取一点， 使得，则平面即为平面. 如图，取中点，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， ，设， ， 设平面法向量为 所以，即， 所以， 又平面的法向量为， 设平面与夹角为 所以， 所以平面与夹角余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市铁一中学2024-2025学年第一学期10月月考 高二数学 命题人：易安 审题人：苏明 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 一、单项选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 5. 已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点分别为线段的三等分点，点为线段的中点，过点的平面与棱分别交于，设四面体的体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）. A. B. C. D. 8. 如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知，.若，则与的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 11. 在棱台中，底面分别是边长为4和2的正方形，侧面和侧面均为直角梯形，且平面，点为棱台表面上的一动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角的余弦值为 B. 棱台的体积为26 C. 若点在侧面内运动，则四棱锥体积的最小值为 D. 点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且直线与直线垂直，则实数的值为______． 13. 长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是______；当点到直线的距离为时，的值为______． 14. 如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：和直线：. （1）若，求实数a的值； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线方程. 16. 如图，在三棱柱中底面为正三角形，． （1）证明：； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 18. 如图，在多面体中，侧面为菱形，侧面为直角梯形，为的中点，点为线段上一动点，且． （1）若点为线段的中点，证明：平面； （2）若平面平面，且，问：线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集. （1）若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数； （2）已知为的4阶等距平面，且点与点分别位于的两侧.若的4阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $