精品解析：江西省南昌市第十九中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

南昌十九中2024-2025学年上学期10月月考高一数学试题 2024年10月11日 一、单选题 1. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，使得 D. ，使得 3. 设集合，，则的子集的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知集合，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种．孟加拉虎有四种变种，分别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪虎（全身白色，有淡淡的黑色斑纹），金虎（全身金黄色，有黑色斑纹），纯白虎（全身白色，没有斑纹）．已知甲是一只孟加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 7. 已知非空集合是集合A的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合A的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（ ） A. 11 B. 28 C. 32 D. 50 8. 已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、多选题 9. 设，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. -1 D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则的最大值为9 D. 若，则的最大值是 11. 已知关于x的不等式组，下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式组的解集是 B. 当，时，不等式组的解集是 C. 如果不等式组的解集是，则 D. 如果不等式组的解集是，则 三、填空题 12. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________． 13. 已知，则的最小值为______． 14. 关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是_________． 四、解答题 15. 已知命题，，命题为假命题时，实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. 若，且满足. （1）求的最小值及相应x，y的值； （2）求的最小值及相应x，y的值. 17. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） （1）求直角三角形面积的最大值； （2）求正方形面积的最小值. 18. 已知函数. （1）解关于x的不等式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌十九中2024-2025学年上学期10月月考高一数学试题 2024年10月11日 一、单选题 1. 当时，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC，举例判断即可，对于D，利用不等式的性质判断即可 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，若，则，所以B错误， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，所以，所以，所以D正确， 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ，使得 D. ，使得 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定的定义判断. 【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题， 故命题，的否定是，使得. 故选：D． 3. 设集合，，则的子集的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由，得或，即，A有两个元素，子集个数为4．故选D． 考点：集合的运算，子集． 4. 已知集合，则，，之间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合包含关系的定义判断． 【详解】，因此， ，因此对任意的，必有，但，，因此有， 故选：C． 5. 孟加拉虎，又名印度虎，世界第二大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种．孟加拉虎有四种变种，分别是白虎（全身白色，有黑色斑纹），雪虎（全身白色，有淡淡的黑色斑纹），金虎（全身金黄色，有黑色斑纹），纯白虎（全身白色，没有斑纹）．已知甲是一只孟加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件的知识对问题进行分析，从而确定正确选项. 【详解】由“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”， 由“甲全身白色”不能推出“甲是纯白虎”， 所以“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的充分不必要条件． 故选：A 6. 若对任意实数b，关于x的方程有两个实根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程有两个根，利用判别式可转化为关于实数的不等式恒成立，即可求解. 【详解】关于x的方程有两个实根，即方程有两个实根， 所以 ，即对任意实数恒成立， 所以，即，得. 故选：B. 7. 已知非空集合是集合A的子集，若同时满足两个条件：（1）若，则；（2）若，则；则称是集合A的“互斥子集”，并规定与为不同的“互斥子集组”，则集合的不同“互斥子集组”的个数是（ ） A. 11 B. 28 C. 32 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】分别按所含元素个数分别为“1+1型”，“1+2型”，“1+3型”，“2+2型”求解. 【详解】若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若，中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若，中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若，中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个. 故选：D. 8. 已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 因为为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数a，b都成立， 所以，即，整理得， 解得或，由为正数得， 所以正数的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9. 设，，若，则实数的值可以为（ ） A. B. 0 C. -1 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由可得，求出集合，讨论和，即可得的值. 【详解】, 由可得， 当时，，满足，所以符合题意； 当时，， 若，则或，可得：或， 综上所述：实数的值可以为：，，， 故选：ABC 【点睛】本题主要考查了根据集合交集的运算判断集合的关系，利用集合的包含关系求参数的值，属于基础题. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则的最大值为 B. 若，则 C. 若，则的最大值为9 D. 若，则的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，由可得，当且仅当，即时，等号成立；即的最大值为；A正确； B选项，由，，可得，即，故B正确； C选项，若，，且，则， 且仅当，即时，等号成立；即的最小值为9，故C错； 当D选项，由得，所以，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 已知关于x的不等式组，下列说法正确的是（ ） A. 当时，不等式组的解集是 B. 当，时，不等式组的解集是 C. 如果不等式组的解集是，则 D. 如果不等式组的解集是，则 【答案】BC 【解析】 【分析】因为二次函数最小值为1，由一元二次不等的求法可判断A错误；当，时，可解出不等式组的解集，判断B错误；当不等式组的解集是时，，即，再由因此时，二次函数的值都等于，可解出的值，从而求出的值，可判断C正确，D错误. 【详解】因为二次函数最小值为1，又， 由一元二次不等的求法可知不等式组解集不是，故A错误； 当时，不等式即为，解集为， 当时，不等式即为，解集为， 所以不等式组的解集是，故B正确； 当不等式组的解集是时， ，即， 因此时，二次函数的值都等于， 所以，解得或， 当时，由， 解得或，不满足，不符合题意； 当时，由，解得或， 因为满足，所以，此时， 所以C正确，D错误. 故选：BC 三、填空题 12. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得，可求解. 【详解】是的充分不必要条件， ， 需满足，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含． 13. 已知，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，将变形为，然后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：. 14. 关于的不等式的整数解恰有3个，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的整数解恰有3个，先确定且有得出，再用表示出不等式解集为，可以确定，故三个整数解为，从而可列出另一个端点的取值范围为 ，从而解得的范围. 【详解】关于的不等式等价于， 此不等式整数解恰有3个，则有且有，故有， 令即得， ， 故不等式的解集为， 因为，所以 所以解集中一定恰有三个整数 ，可得，解得. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知命题，，命题为假命题时，实数a的取值集合为A. （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用判别式法即可得到结果； （2）由是的必要不充分条件，可得A是B的真子集，列不等式组可得结果. 【小问1详解】 由命题p为真命题，得，得 ∴, 【小问2详解】 ∵是的必要不充分条件，∴A是B的真子集.- ∴,解得. 16. 若，且满足. （1）求的最小值及相应x，y的值； （2）求的最小值及相应x，y的值. 【答案】（1）64，；（2）18，, ，. 【解析】 【分析】 （1）利用，化简即可得答案. （2）通过已知条件，两边同除，即可得到,再利用“1”的代换，利用基本不等式可求解表达式的最值． 【详解】（1），，且， ， ， ，即时等号成立 即的最小值为64； （2）因为， 所以， 则 当且仅当，即 又，， 故当，时，取最小值. 【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，考查计算能力，注意基本不等式成立的条件，属于中档题． 17. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的.设直角三角形的直角边长为，且直角三角形的周长为2.（已知正实数，都有，当且仅当时等号成立） （1）求直角三角形面积的最大值； （2）求正方形面积的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到求解； （2）由，得到求解. 【小问1详解】 解：由题意得：， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以直角三角形面积的最大值为； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以正方形面积的最小值为. 18. 已知函数. （1）解关于x的不等式； （2）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，的解集为：或；当时，的解集为：；当时，的解集为：或. （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，将不等式转化并化简为，再对进行分类讨论，结合口诀“大于取两边，小于取中间”，即可得到不等式的解集； （2）令，则由题意可知在上恒成立，对的对称轴的位置进行分类讨论，可得a的取值范围. 【小问1详解】 依题意，得，整理得，即， 令，得或， 故当，即时，解得或； 当，即时，解得； 当，即时，解得或； 综上：当时，的解集为：或； 当时，的解集为：； 当时，的解集为：或. 【小问2详解】 令，则由题意可得在上恒成立， 开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递增，故，由恒成立得，即，显然成立，故； 当，即时，在上单调递减，故，同理得，即，解得，故； 当，即，在对称轴处取得最小值，即，故，即，解得，故； 综上：，即. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为，求的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，. 【小问2详解】 由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即 解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. 【小问3详解】 由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查二次函数的解法，基本不等式，二次函数判别式。考查学生分析问题的能力，分类讨论的能力，具有很强的综合性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $