精品解析：天津市第一中学2024-—2025学年上学期九年级第一次月考数学试题

天津市第一中学2024-—2025学年上学期九年级第一次月考数学试题 说明∶ 本次考试试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，试卷总分为120分，考试时间为100分钟．考生需在规定时间内完成全部答题任务，合理分配时间，确保答题的准确性和完整性． 第I卷（选择题） 一．选择题（共12小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 已知抛物线，则当时，函数最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 10. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 12. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是（ ） A. CE长度 B. CD的长度 C. DE的长度 D. AE的长度 第II卷(非选择题) 二．填空题(共6小题) 13. 把一元二次方程化成一般形式为_________ 14. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 15. 若实数、满足，则________． 16. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_________(用“<”表示) ． 17. 如图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度_______． 18. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④．其中错误的结论有_________． 三．解答题(共7小题) 19. 解下列方程： （1）； （2）. 20. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 如图，已知二次函数图象经过点和点 （1）求该二次函数的解析式 （2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y取值范围 22. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 23. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 24. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为元，销售量为（件），销售该品牌玩具获得利润为元． （1）销售量为与关系式为 ； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为，且，连接． （1）分别求出直线和抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点为点E，求的面积． （3）P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第一中学2024-—2025学年上学期九年级第一次月考数学试题 说明∶ 本次考试试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，试卷总分为120分，考试时间为100分钟．考生需在规定时间内完成全部答题任务，合理分配时间，确保答题的准确性和完整性． 第I卷（选择题） 一．选择题（共12小题） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意； 、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 2. 若函数是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，将二次函数化为一般式，从而得出，求解即可得出答案，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：， 函数是关于的二次函数， ， ， 故选：C． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程配方：①将常数项移到右边，②两边同时加上一次项系数一半的平方．根据一元二次方程配方步骤移项配方即可得到答案． 【详解】解： ∴， ∴， 故选：C． 4. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：， 或 ∴，， 故选：． 5. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 6. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 7. 已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键．通分：，根据一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 则＝＝． 故选：D． 8. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k=0和k≠0两种情况进行解答． 【详解】解：（1）当k=0时，-2x-1=0，解得x=， （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2-2x-1=0有实数根， ∴Δ=（-2）2-4k×（-1）≥0，解得k≥-1， 由（1）、（2）得，k的取值范围是k≥-1． 故选：B． 【点睛】本题考查的是根的判别式，解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论． 9. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，当时，函数的最小值为， 当时，，当时，， ∴当时，函数的最大值为2， 故选：D 【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10. 电影《哪吒2》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元．将增长率记为，则方程可以为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记为，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元． 前三天的累计票房为： 故选：D． 11. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 12. 欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E，则该方程较大的根是（ ） A. CE的长度 B. CD的长度 C. DE的长度 D. AE的长度 【答案】D 【解析】 【分析】在，由勾股定理即可得，再利用配方法可求得方程的解，根据题意可答案． 【详解】解：在，，，， ， ， ， ， ， 即， 解得，， 又以B为圆心BC为半径画圆，交射线AB于点D、E， ， 该方程较大的根是， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理、利用配方法解一元二次方程，解题关键在于把方程较大的根转化为的长． 第II卷(非选择题) 二．填空题(共6小题) 13. 把一元二次方程化成一般形式为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式是，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，掌握一元二次方程的基本形式是解题关键．将方程两边展开，然后移项合并同类项，即可． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 14. 关于x的一元二次方程的两个根分别是与，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用直接开平方法解方程得到方程的两根互为相反数，则，则可计算出即可． 详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如或一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 15. 若实数、满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，则，原式化为，整理后利用因式分解法求出z的值，再根据舍去不合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 原式化为， 整理得：， 因式分解得， ∴或， 解得：，， ∵， ∴，即， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了换元法及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握换元思想的应用是解题的关键． 16. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是_________(用“<”表示) ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数函数值的大小．正确计算函数值是解题的关键．分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故答案为：． 17. 如图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、勾股定理，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，则抛物线的表达式为，由题意得出，求出抛物线的解析式为，由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，以为原点，点所在直线为轴，直线为轴，建立平面直角坐标系， ， 则点的坐标为，则抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图是二次函数图象的一部分，且过点，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③； ④．其中错误的结论有_________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系．由对称性可求得抛物线与轴的另一交点坐标为，容易判断①②③，再由时可判断④，可得出答案． 【详解】解：二次函数过点，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一交点坐标为， 当时，，即，故③错误； 开口向下，与轴的交点在轴的上方， ，， ，故②错误； 抛物线与轴有两个交点， 方程有两个不相等的实数根， ，即，故①正确； 当时，， ，故④错误； 综上可知错误的是②③④， 故答案为：②③④． 三．解答题(共7小题) 19. 解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 或 ； 【小问2详解】 即 ， ． 20. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 21. 如图，已知二次函数图象经过点和点 （1）求该二次函数的解析式 （2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用． （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据函数图象及其性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：将点A和点C的坐标代入函数解析式， 得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y取得最大值为：， 当时，， 当时，， ∴函数y的取值范围：． 22. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子： ①， ．因此，代数式有最小值； ②， ．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）已知的三条边的长度分别为a、b、c，且满足，且c为正整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）；6 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，三角形三边关系，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子中a、b的值，再根据三角形三边关系即可解答． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； ， ∵， ∴， ∴代数式的最大值为6； 【小问2详解】 解：， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解： ， 的三条边的长度分别为a、b、c，且c为正整数， ，即， 的最大值为10， 的周长的最大值为：． 23. 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙(墙长15m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示)， （1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长(AB)和宽(BC)； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）鸡场长（AB）为15m，宽（BC）为6m；（2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m，根据矩形的面积公式结合矩形养鸡场面积为90m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，分别代入（33-3x）中，取使得（33-3x）小于等于15的值即可得出结论； （2）不能，理由如下，设BC=ym，则AB=（33-3y）m，同（1）可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式△=-111＜0，即可得出结论． 【详解】解：（1）设BC=xm，则AB=（33-3x）m， 依题意，得：x（33-3x）=90， 解得：x1=6，x2=5． 当x=6时，33-3x=15，符合题意， 当x=5时，33-3x=18，18＞15，不合题意，舍去． 答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m． （2）不能，理由如下： 设BC=ym，则AB=（33-3y）m， 依题意，得：y（33-3y）=100， 整理，得：3y2-33y+100=0． ∵△=（-33）2-4×3×100=-111＜0， ∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，设该种品牌玩具的销售单价为元，销售量为（件），销售该品牌玩具获得利润为元． （1）销售量为与关系式为 ； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）根据销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，列出对应的关系式即可； （2）根据商场要完成不少于540件的销售任务，列出不等式求出x的取值范围，再根据利润（售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵商场要完成不少于540件的销售任务， ∴， ∴， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w随x增大而增大， ∴当时，w最大，最大为， ∴该商场销售该品牌玩具获得的最大利润是元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，x轴正半轴的交点为点B，其中点A的坐标为，且，连接． （1）分别求出直线和抛物线的解析式． （2）若抛物线的顶点为点E，求的面积． （3）P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．求的最大值． 【答案】（1）直线解析式为，抛物线的函数表达式为 （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，分割法求出的面积即可； （3）设，将转化为二次函数求最值即可． 【小问1详解】 ∵点A的坐标为，且， ∴ 设直线解析式为，把，代入得：， 解得， ∴直战解析式为， 把，代入得： ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 拋物线的函数表达式为， ∴顶点， 过点E作y轴的平行线交直线于点Q， 将代入直线解析式，得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 设，则， 在中，令得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，此时， ∴； ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $