精品解析：福建省泉州市泉港区第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024秋泉港二中高二年上学期第一次月考数学科试卷 总分 150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若，，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 2. 在三棱锥中，为上的一点，且，若，，，则用基底表示向量为（ ） A B. C. D. 3. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 直线在轴上的截距为1 C. 若直线，则 D. 过与直线平行的直线方程是 4. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围可以是（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A. B. － C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，，，已知G与E分别为和的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若，则线段DF的长度的平方取值范围为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 求过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线的方程（ ） A B. C. D. 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与同方向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点，平面经过点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 二面角的正切值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，当k变化时，所有的直线恒过定点___________ 13. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______． 14. 如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）已知向量与互相垂直，求的值； （2）若点在平面上，求的值． 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 如图1，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上（包含端点）运动，连接. 图1 图2 （1）若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时二面角的余弦值；若不存在，请说明理由. 19. 对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值． （1）已知，． ①直接写出和（用含的式子表示）； ②当，写出最小值及此时的值； （2）设，，求证：； （3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024秋泉港二中高二年上学期第一次月考数学科试卷 总分 150分 考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1. 若，，，则的值为（ ） A 3 B. 4 C. 7 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值. 【详解】由题设，则. 故选：A 2. 在三棱锥中，为上的一点，且，若，，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用空间向量的数乘运算及加减运算求解； 【详解】 由，则， 故选：C. 3. 已知直线，则下列结论正确的是（ ） A. 直线的倾斜角是 B. 直线在轴上的截距为1 C. 若直线，则 D. 过与直线平行的直线方程是 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可判断A，根据截距的定义即可判断B，根据垂直和平行满足的关系即可判断CD. 【详解】直线变为， 对于A，直线的斜率为，所以倾斜角为，A错误， 对于B，令，则，所以x轴上的截距为，B错误， 对于C，的斜截式方程为，斜率为，由于，所以不垂直，故C错误， 对于D，直线的斜率为，所以过与直线平行的直线方程是，即为，故D正确， 故选：D 4. 已知两点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围可以是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的坐标得到斜率，再根据图形结合倾斜角和斜率的变化关系分析求解. 【详解】如图所示： 可得， 由图形可得直线的斜率的取值范围为或. 故选：C. 5. 已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A. B. － C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值. 【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)， ∵＝2，∴∴ ∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)， ∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－． 故选：B 【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2). 6. 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，借助模长公式能求出的长． 【详解】， ， ． 故选：A 7. 三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则等于(　　) A. －2 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析： 考点：平面向量数量积的运算 8. 如图，在直三棱柱中，，，已知G与E分别为和的中点，D和F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点），若，则线段DF的长度的平方取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，可建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，1，）， G（ ，0，1），F（x，0，0），D（0，y，0） ∴ ∵GD⊥EF， ∴x+2y﹣1＝0， ∴x＝1﹣2y DF ∵0＜y＜1 ∴当y时，线段DF长度的最小值是 又y＝0时，线段DF长度的最大值是1 而不包括端点，故y＝1不能取； 故线段DF的长度的取值范围是：[，1）． 即线段的长度的平方取值范围为， 故选D. 【点睛】本题的考点是点、线、面间的距离计算，主要考查棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 求过点且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线的方程（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首项将点代入每个选项的直线方程，验证点是否在直线的方程上，其次验证每个选项的直线方程在两坐标轴上的截距绝对值是否相等. 【详解】对于A，将代入，得，即点在直线上，又过， 因此可得在两坐标轴上的截距绝对值相等，且都为0，故A正确； 对于B，将代入，得，即点在直线上， 又与两坐标轴的交点坐标为，， 因此可得在两坐标轴上的截距绝对值相等，故B正确； 对于C，将代入，得， 即点不在直线上，故C不正确； 对于D，将代入，得， 即点不在直线上，故D不正确； 故选：AB. 10. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 与同方向的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据向量的坐标结合共线向量的概念可判断A；求得的模，即可求出与同方向的单位向量判断B；根据向量的夹角公式判断C；根据平面法向量的含义可判断D. 【详解】由题意知空间中三点，，， 则，则，即两向量没有倍数关系， 故与不是共线向量，A错误； ，故与同方向的单位向量是，B正确； 又，故，C正确； 记，则， ，即，， 又平面ABC，所以平面ABC， 故平面ABC的一个法向量是，D正确， 故选：BCD 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别为的中点，平面经过点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. D. 二面角的正切值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助，而与平面相交，从而可判断A；利用面面垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，可判断B；做出相应的平行线，找到G在位置即可判断C；利用C选项的结论，作出二面角的平面角，即可求解. 【详解】对于A，因为正方体中，，且平面， 所以与平面不平行，故A错误； 对于B，如图，取AD中点H，连接BH，FH，BH，易知平面平面， 又在平面中，， 所以，又平面平面，所以平面， 又，所以平面平面，故B正确； 对于C，如图,取中点M，取中点N，连接EN，，， 再取中点G，连接FG，易知正方体中，, 在正方形中，, 在三角形中，, 由平行的传递性可得，,所以平面与交于点， 而点是线段上靠近的四等分点， 所以，故C正确； 对于D，如图，延长FG，相交于点K，取中点N，连接EN，过点E，作，垂足为P,连接NP， 易知平面,又平面，所以 又,所以平面，又平面，所以, 所以是二面角的平面角， 如图，将底面单独画出，在三角形中，，所以， 所以， 所以, 解得，所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，当k变化时，所有的直线恒过定点___________ 【答案】 【解析】 【分析】整理可得，即可分析直线过定点. 【详解】因为直线，即为， 令，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为：. 13. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出． 【详解】1，，2，， 的夹角为锐角，，且不能同向共线． 解得，．则的取值范围为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14. 如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：以D为原点，建立空间直角坐标系，设，再求出平面和平面的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案. 详解：以D为原点，以，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为 由题可知，，，，， 平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为 为平面的法向量， 令，则 二面角的大小为 ，即 解得 ，（舍去） 故答案为 点睛：空间向量法求二面角 （1）如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图2、3，分别是二面角α－l－β两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，． （1）已知向量与互相垂直，求的值； （2）若点在平面上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再根据向量垂直的坐标表示列式求解即可； （2）分析可知存在，使得成立，结合向量的坐标运算列式求解即可. 【小问1详解】 因，，， 则，， 可得． 又因为向量与互相垂直， 则，解得， 所以的值是． 【小问2详解】 因为点在平面上，则存在，使得成立． 又因为，即， 可得，解得， 所以的值为． 16. 已知的三个顶点分别为，，，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上中线所在直线的方程； （3）边的垂直平分线的方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由两点式求直线的方程； （2）由条件求的坐标，再求直线所在直线的方程； （3）根据直线垂直时斜率的关系求直线的斜率，再求其方程. 【小问1详解】 因为直线经过和两点， 由两点式得的方程为，即 【小问2详解】 ，，为的中点， 点的坐标为， 又边中线过点，两点， 由截距式得所在直线方程为，即 . 【小问3详解】 的斜率，则的垂直平分线的斜率， 由斜截式得直线的方程为，即． 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用构造平行四边形，结合线面平行的判定定理即可得证；法二：利用面面平行的判定定理与性质定理即可得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 法一：取中点，连接， 为的中点，， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面. 法二：取中点，连接， 为的中点，， 平面平面，平面， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面，平面 又，平面，平面平面， 又平面，平面. 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面平面，， 平面， 取中点，连接，则平面， 所以是直线与平面所成的角，即， 又，， 又， 又，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图， ， ， 设平面的一个法向量，， 则，取，则， 易得平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成的夹角为， ， 故平面与平面所成的夹角的余弦为. 18. 如图1，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，将正方形沿折成如图2所示的二面角，且二面角的大小为，点在线段上（包含端点）运动，连接. 图1 图2 （1）若为的中点，直线与平面的交点为，试确定点的位置，并证明直线平面； （2）是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求此时二面角的余弦值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）点O在的延长线上且与点A间的距离为2，证明见解析；（2）存在，. 【解析】 【分析】（1）分析得到点O在的延长线上且与点A间的距离为2，证明，则平面即得证； （2）取的中点H，连接，过点H作直线，以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法结合已知求出或，再利用向量法求出二面角的余弦值得解. 【详解】解：（1）因为直线平面，故点O在平面内，也在平面内， 所以点O在平面与平面的交线（即直线）上，延长，交于点O，连接，如图所示. 因为，M为的中点，所以，所以，， 故点O在的延长线上且与点A间的距离为2， 连接交于点N，因为四边形为矩形，所以N是的中点. 连接，则为的中位线，所以， 又平面，平面，所以直线平面. （2）如图，由已知可得，，又， 所以平面，且 所以平面平面，因为，， 所以为等边三角形，取的中点H，连接，则，所以平面，过点H作直线，以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 所以， 设，则， 设平面的法向量为，即， 取，则，，所以平面的一个法向量为， 要使直线与平面所成的角为， 则， 即，整理得，解得或 所以存在点M，使得直线与平面所成的角为， 取的中点Q，连接，则，所以平面 则为平面的一个法向量，易得，， 所以 设二面角的大小为， ， 当时，易知为钝角，，当时，易知为锐角，， 综上，二面角的余弦值为. 19. 对于空间向量，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值． （1）已知，． ①直接写出和（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时的值； （2）设，，求证：； （3）在空间直角坐标系中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）． 【答案】（1）① ，；②，此时 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①直接由定义即可得解；②在同一直角坐标系中，画出的图象，从而即可得到的表达式以及最小值. （2）直接由定义即可得证. （3）由四点共面的充要条件，结合定义以及三角不等式即可求解，注意取等条件. 小问1详解】 ①因为，所以 ，； ②由题意，如图所示： 从而，，此时. 【小问2详解】 ， 因为 ，， 所以，， 所以， 所以 ． 【小问3详解】 由题意四点共面，所以由四点共面的充要条件可知， 由（2）可知，， 从而， ， 所以，等号成立当且仅当. 【点睛】关键点点睛：第一问①，第二问直接由定义即可求解，至于第一问②，最好是通过画图，以此来避免繁琐的分类讨论，第三问的关键是注意对四点共面的充要条件以及三角不等式的运用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$