精品解析：辽宁省抚顺市第一中学2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题

抚顺一中2024-2025学年度高二年级上学期十月测试 数 学 命题：高二数学组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间点关于坐标轴对称的知识确定正确选项. 【详解】由题意可知：点关于轴的对称点的坐标为. 故选：A. 2. 设直线的方向向量，平面α的法向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由法向量的概念结合向量共线定理即可求解. 【详解】由，则，则存在非零常数λ，使得，即，解得. 故选：A. 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 4. 设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的一组基底，要求三个向量不共面，结合选项依次判断即可． 【详解】选项A：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故A不符合题意； 选项B：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故B不符合题意； 选项C：，三个向量共面， 故不能作为空间的一个基底，故C不符合题意； 选项D：假设不能作为空间的一个基底，则共面， 存在，使得， 则向量共面，与题意矛盾，故不共面， 因此可以作为空间的一个基底，故D符合题意. 故选：D. 5. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则计算即可判断结果. 【详解】由题可知, 由得, 因为点C，D分别是母线的中点， 所以， 则 . 故选：D 6. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的共面定理可得点四点共面，从而将求的最小值转化为求点到平面的距离d，再根据等体积法计算d 【详解】因为， 由空间向量的共面定理可知，点四点共面， 即点E在平面上，所以的最小值为点到平面的距离d， 由正方体棱长为1，可得是边长为的等边三角形， 则，， 由等体积法得，，所以， 所以的最小值为. 故选：C 7. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，以为空间向量的一个基底，再利用空间向量夹角公式求解即得. 【详解】令四棱锥的各条棱长均为2，则，由是的中点，得, 显然不共面，，又， ， 因此， 所以则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 8. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系、夹角，异面直线距离、点面距离一一判定选项即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系， 则，， 对于①，此时易知，即， 而平面的一个法向量为，显然，即①正确； 对于②，易知平面，即平面， 则直线到平面的距离即点到平面的距离， 此时， 设平面的一个法向量为，则， 令，即， 所以点到平面的距离，即②错误； 对于③，设， 则， ， 所以， 若，则， 显然时符合题意，故③正确； 对于④，当面积最小时即到距离最小时， 此距离亦即异面直线与的距离，易知，则平面， 此距离即到平面的距离， 不妨设平面的一个法向量为，则， 令，即， 则到平面的距离， 所以面积的最小值为，故④错误. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，错误的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角为α D. 直线在y轴上的截距为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的关系可判定A、B、C，利用截距的概念可判定D. 【详解】对于A，易知倾斜角为直角的直线不存在斜率，故A错误； 对于B，易知，所以的取值范围是， 故B正确； 对于C，如某直线的斜率为，该直线的倾斜角为， 而不能为，故C错误； 对于D，易知该直线在纵轴上的截距为，故D错误. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中任意两非零向量共面 B. 直线的方向向量是唯一确定的 C. 若，则A，B，C，D四点共面 D. 在四面体中，E，F为，中点，G为中点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由空间中任意两个向量都共面判断A；由直线的方向向量定义判断B；由共面定理的推理判断C；根据向量的平行四边形法则判断D. 【详解】对于A，空间中任意两个向量都共面，故A正确； 对于B，空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量，故B错误； 对于C，因为，所以，，因为，所以A，B，C，D四点共面，故C正确； 对于D，因为E，F为，中点，G为中点，所以，，故D错误； 故选：AC 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，利用坐标运算求解即可. 【详解】由投影向量的定义可知， ， 故答案为： 13. 已知，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定直线过定点，再结合两点斜率公式计算即可. 【详解】由，令，可知过定点， 要符合题意需直线的斜率满足：， 易知， 则的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，则点C到直线PA的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质，结合勾股定理、等腰三角形的性质进行求解即可. 【详解】因为平面ABCD，平面ABCD， 所以， 因为， 所以， ， 因为， 所以， 所以三角形是等腰三角形，取底边中点，连接， 所以， ， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点的坐标分别为，，，且，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与互相垂直，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得向量与的坐标，根据向量的夹角公式即可求得答案； （2）表示出与的坐标，根据与互相垂直可得关于k的方程，即可求得答案. 【小问1详解】 ，， 所以． 【小问2详解】 因为，，且与互相垂直， 所以，解得． 16. 求满足下列条件的直线方程． （1）经过点，且斜率等于直线斜率的3倍； （2）过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先由已知直线方程求出斜率，再可求出所求直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程， （2）设直线的方程为，则由题意可得，求出，从而可求得直线方程 【小问1详解】 直线可化为，斜率为， 所以所求直线的斜率为 故所求直线方程为，即 【小问2详解】 设直线的方程为，，解得， 故所求的直线方程为， 即或 17. 如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB． （1）求证：； （2）求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为，且BE平分， 所以， 又因为平面平面SAB，且平面平面，平面SAB， 所以平面BDE， 又因为平面BDE， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再由面面垂直的性质可得平面BDE，再利用线面垂直的性质可得结论， （2）取的中点M，连接OM，OS，则OM，OS，OA两两垂直，所以以O为坐标原点，以OM为x轴，以OA为y轴，以OS为z轴建立如图空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点M，连接OM，OS，则OM，OS，OA两两垂直， 所以以O为坐标原点，以OM为x轴，以OA为y轴，以OS为z轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 由（1）知平面BDE，所以是平面BDE的一个法向量， 设平面BDC的法向量为， 因为， 则， 取，则， 因此， 所以平面EBD与平面BDC所成角的余弦值为． 【点睛】 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面． （1）求； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得：连接交于点，过做，交于点，先证平面平面，从而，又，分析可得四边形为正方形，从而得解； （2）利用余弦定理可得，从而，以为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求解线面角. 【小问1详解】 由题意得：连接交于点，过做，交于点， 如图所示：由于平面，平面， 所以平面，又平面．平面， 所以平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 故，即， 由于， 所以，则，所以四边形为正方形，所以， 在中，，所以，所以， ； 【小问2详解】 在和中，由可得： ， 满足，所以，又． 又有交于点，所以平面，满足两两垂直， 故以为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是有． 设平面的法向量为，由， 取，又， 故所求角的正弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若点M在线段上，异面直线和所成角的余弦值为，求面与面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为，由余弦定理知， 解之得，即为直角三角形，所以， 又平面平面，平面平面，， 所以平面， 因为平面，所以, 因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理逆定理先判定，根据线面垂直的判定与性质得出，再证面面垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线线夹角及面面夹角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以A为原点，以为y轴，建系如图所示，则，，，， 则，， ，. 设， 则， 设异面直线和所成角为， 则， 得.此时， 设面的一个法向量为， 有 令，则，，取 . 设面的一个法向量为， 有 令，则，，取 设面与面的夹角为， 则. 即面与面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 抚顺一中2024-2025学年度高二年级上学期十月测试 数 学 命题：高二数学组 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，则点A关于轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设直线的方向向量，平面α的法向量，若，则（ ） A. B. 0 C. 5 D. 4 3. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 设向量，，不共面，则下列集合可以作为空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④面积的最小值是． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，错误的有（ ） A. 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B. 直线的倾斜角的取值范围是 C. 一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角为α D. 直线在y轴上的截距为2 10. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中任意两非零向量共面 B. 直线的方向向量是唯一确定的 C. 若，则A，B，C，D四点共面 D. 在四面体中，E，F为，中点，G为中点，则 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______ 13. 已知，若直线与线段有公共点，则的取值范围是______． 14. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，则点C到直线PA的距离为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间中三点的坐标分别为，，，且，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）若与互相垂直，求实数的值． 16. 求满足下列条件的直线方程． （1）经过点，且斜率等于直线斜率的3倍； （2）过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12． 17. 如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB． （1）求证：； （2）求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面． （1）求； （2）若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，E是的中点． （1）求证：平面平面； （2）若点M在线段上，异面直线和所成角的余弦值为，求面与面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $