精品解析：山东省青岛第六十七中学2024-2025学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷

山东省青岛第六十七中学2024-2025学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷 2024.10.8 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 2. 设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝5，则|PF2|等于(　　) A 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4. 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ） A B. C. D. 5. 已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 设椭圆的两个焦点分别为F1､､F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 A B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于定点和圆：，下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内部 B. 过点有两条圆的切线 C. 过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D. 过点被圆截得的弦长最小值为 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B. 方程能表示平面内经过两点的任何直线 C. 圆的圆心为，半径为 D. 若直线不经过第二象限，则的取值范围是 11. 已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______． 13. 若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则__________. 14. 已知点分别在正方体棱、上，且，，侧面与面所成的二面角的正切值等于_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求经过两点，且圆心在轴上的圆的方程. 16. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为菱形，∠BAD的余弦值为，AC与BD相交于点O，OP⊥底面ABCD，M为PC中点，OP=4. （1）求证：AM⊥BD； （2）求直线PA与平面ABM所成角的正弦值. 17. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）． （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； （3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积． 18. 已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值. （1）试求动点的轨迹方程C. （2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程. 19. 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形和四边形都是正方形，且边长为，是的中点. （1）求证：直线平面； （2）求二面角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省青岛第六十七中学2024-2025学年高二上学期第一次教学质量检测数学试卷 2024.10.8 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 135° 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知，直线y＝x＋1的斜率为1，所以有=-1，所以直线l的倾斜角为135° 2. 设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，若|PF1|＝5，则|PF2|等于(　　) A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为双曲线－的一条渐近线方程为由双曲线的定义可得在双曲线的左支上，，故选D. 3. 若方程表示圆，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：二元二次方程表示圆的充要条件是，由此得出的取值范围． 详解：二元二次方程表示圆的充要条件是，所以．故选A． 点睛：通过配方得出，二元二次方程表示圆充要条件为：； 4. 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出，接着利用，表示出双曲线的离心率，即可求出双曲线的离心率． 【详解】解：由题意得椭圆的离心率， 所以． 所以． 所以双曲线的离心率． 故选：B． 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题. 5. 已知直线l过定点，且方向向量为，则点到l的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算与的夹角的余弦值得出直线与直线的夹角的正弦值，再计算点到直线的距离． 【详解】由题意得，所以， 又直线的方向向量为，则， 所以， 设直线与直线所成的角为， 则，则， 所以点到直线距离为． 故选：A． 6. 设椭圆的两个焦点分别为F1､､F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 解法一：根据方程，令，求得的纵坐标，利用为等腰直角三角形可得的方程，消去后可得，从而可得离心率的方程，其解即为所求的离心率，注意取舍. 解法二：不妨设椭圆的焦距为1，利用等腰直角三角形的性质得到另外两边的长度，根据椭圆的定义求得长轴的值，进而得到离心率. 【详解】解法一：不妨设椭圆的标准方程为， 半焦距为，左右焦点为，在第一象限，则. 在椭圆方程中，令，则，解得，故. 为直角三角形且，故即， 故，解得（负值舍去） 解法二：如图，不妨设,则,, 于是, , 故选：D. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于的一个等式关系；而利用定义方法求离心率常常能起到快速解答的作用. 7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：以D点为坐标原点，以DA、DC、所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），（0，2，1） ∴ =（-2，0，1）， =（-2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量． ∴．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 考点：直线与平面所成的角 8. 如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设这条弦的两端点,则：,用点差法得到：，代入中点坐标，即得解斜率k. 【详解】设这条弦的两端点，斜率为， 则： 两式相减得： 变形得：，又弦中点为：，故 故这条弦所在得直线方程为：，即 故选：D 【点睛】本题考查了点差法在弦中点问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于定点和圆：，下列说法正确的是（ ） A. 点在圆内部 B. 过点有两条圆的切线 C. 过点被圆截得的弦长最大时的直线方程为 D. 过点被圆截得的弦长最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出，即可判断A、B，最长弦为过点的直径，最短弦为与最长弦垂直的弦，利用垂径定理、勾股定理计算可得，即可判断C、D； 【详解】解：圆：的圆心为，半径，又，所以，所以在圆内，故A正确； 因为点在圆内，所以过点不能作圆的切线，故B错误； 过点被圆截得的弦长最大，故过点的直径，即直线经过圆心，此时，所以直线方程为，即，故C正确； 当过点且与垂直时弦长最短，最短为，故D正确； 故选：ACD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若两条直线互相平行，那么它们的斜率相等 B. 方程能表示平面内经过两点的任何直线 C. 圆的圆心为，半径为 D. 若直线不经过第二象限，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用倾斜角与斜率的相关定义可判定A，利用直线方程与点的关系可判定B，利用圆的一般方程化为标准方程可判定C，利用直线过定点，结合图象建立不等式计算可判定D. 【详解】对于A，可知垂直于横轴的不同直线相互平行，但不存在斜率，故A错误； 对于B，若，过此两点的直线方程为， 方程也可化为， 若，过此两点的直线方程为， 方程也可化为， 若且，由两点式知过此两点的直线方程为， 方程也可化为， 综上方程能表示平面内经过 两点的任何直线，故B正确； 对于C，圆可化为， 该圆圆心为，半径为，故C错误； 对于D，直线方程可化为，令， 即该直线过第三象限一定点，要符合题意不过第二象限， 需该直线斜率，即，故D正确. 故选：BD 11. 已知分别为直线的方向向量（不重合），，分别为平面的法向量（不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据空间向量判定空间位置关系一一判定选项即可. 【详解】若两直线不重合，则其方向向量平行（垂直）是两直线平行（垂直）的充要条件， 故A、B正确； 若两平面不重合，则其法向量平行（垂直）是两平面平行（垂直）的充要条件， 故C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 以椭圆的对称轴为坐标轴，若该椭圆短轴的一个端点与两焦点是一个正三角形的三个顶点，焦点在轴上，且，则椭圆的标准方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得间的关系，结合即可得到答案. 【详解】设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆短轴的一个端点为，如图，已知是正三角形，可得， 联立，解得， ∴椭圆的标准方程是． 故答案为：. 13. 若直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式与弦长公式计算即可. 【详解】由题意可知圆心到直线的距离， 即，解得，所以. 故答案为： 14. 已知点分别在正方体的棱、上，且，，侧面与面所成的二面角的正切值等于_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出正方体的图形，延长CB、FE交点为S连接AS，过B作连接PE，所以面AEF与面ABC所成的二面角就是，求出BP与正方体的棱长的关系，然后求出面AEF与面ABC所成的二面角的正切值． 【详解】由题意画出图形如图： 因为E、F分别在正方体的棱、上， 延长CB、FE交点为S连接AS，过B作连接PE， 所以面AEF与面ABC所成的二面角就是， 因为，， 所以，所以， 设正方体的棱长为，所以，，， 在中，， 故答案为. 【点睛】本题是基础题，考查二面角的平面角的正切值的求法，解题的关键是能够作出二面角的棱，作出二面角的平面角，考查计算能力，逻辑推理能力． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 求经过两点，且圆心在轴上的圆的方程. 【答案】x2+（y﹣1）2＝10 【解析】 【分析】根据圆心在y轴上设出圆心坐标（0，）和半径，写出圆的方程，然后把A与B的坐标代入即可求出和的值，写出圆的方程即可． 【详解】设圆心坐标为（0，），半径为，则圆的方程为x2+（y﹣）2＝2 ∵圆经过两点A（﹣1，4）、B（3，2），∴解得：＝1，＝ ∴圆方程为x2+（y﹣1）2＝10 【点睛】本题考查了求圆的标准方程，关键是利用待定系数法求出圆心和半径，属于基础题． 16. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为菱形，∠BAD的余弦值为，AC与BD相交于点O，OP⊥底面ABCD，M为PC中点，OP=4. （1）求证：AM⊥BD； （2）求直线PA与平面ABM所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质定理证明； （2）求出的长及点到平面的距离，利用三角函数的知识求解. 【详解】（1）底面为菱形，所以， 底面，底面，所以， ，所以平面， 又平面，所以； （2）设直线与平面所成角为，点到平面的距离为， ， ，所以， ， 所以， 易求得 所以在中，， ， 由，得，，. 故直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】本题考查线线垂直的证明、直线与平面所成角的正弦值，是中档题. 17. 已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）． （1）求双曲线方程； （2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上； （3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）6. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据可得双曲线为等轴双曲线，设方程为，将点代入及可求得；（2）由（1）将M（3，m）代入求得，通过证明得到点M在以F1F2为直径的圆上；（3）由面积公式即可求得 试题解析：∵离心率∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为， 则由点在双曲线上，可得， ∴双曲线方程为 （2）证明 ∵点M（3，m）在双曲线上，， 又双曲线的焦点为 ∴，∴点M在以F1F2为直径的圆上． （3）解 考点：1．双曲线方程；2．向量的数量积；3．面积公式 18. 已知动点与平面上两定点连线的斜率的积为定值. （1）试求动点的轨迹方程C. （2）设直线与曲线交于两点，当时，求直线的方程. 【答案】（1）（2）或 【解析】 【分析】（1）求动点轨迹方程的步骤，一是设动点坐标二是列出动点满足的条件，三是化简，，四是去杂，； （2）联立椭圆的方程和直线的方程，消去，利用韦达定理得，结合弦长公式即可求解的值，即可直线的方程. 【详解】解：（1）设点则依题意有 整理得，由于， 所以求得的曲线C的方程为. （2）设， 由消去得， 解得， 又， 解得， 所以直线方程为或. 19. 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形和四边形都是正方形，且边长为，是的中点. （1）求证：直线平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，根据平行四边形性质得是中点，再根据三角形中位线性质得，最后根据线面平行判定定理得结论； （2）根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解各面法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角. 【小问1详解】 ∵且，面，面， 平面，同理平面， 又平面， ∴平面平面， ∴几何体是三棱柱 四边形和四边形都是正方形， 则面 ∴平面，故几何体是直三棱柱； 四边形和四边形都是正方形， 所以且， 所以四边形为矩形； 于是，连接交于，连接，是中点，又是的中点， 故是三角形的中位线，， 明显地，在平面外，在平面内， ∴直线平面 【小问2详解】 如图，由于平面 平面，，∴平面，所以. 于是，，两两垂直. 以，，所在直线分别，，轴建立空间直角坐标系， 因正方形边长为，且为中点，所以，，， 于是，， 设平面的法向量为， 则，得， 解之得，同理可得平面的法向量， 记二面角的大小为，依题意知，为锐角， ∴， ， 即求二面角的大小为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$