精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

高二第一次月考数学试题 2024.10.11 一、单选题 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系即可得倾斜角． 【详解】设直线的倾斜角为， 因为该直线的斜率为，所以，所以， 故选：A 2. 与向量共线的单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量. 【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或. 故选：D 3. 已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（ ） A. －1 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程，进而求截距. 【详解】直线l的斜率为， ∴直线l的方程为，即，故直线l在y轴上的截距为2. 故选：C 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 空间中共线的向量必在同一条直线上 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 数乘运算中，既决定大小又决定方向 D. 在四边形ABCD中，一定有 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由共线向量的定义分析判断，对于B，举例判断，对于C，根据数乘向量的意义分析判断，对于D，根据向量和加法法则判断. 【详解】对于A，空间中共线的向量不一定在同一条直线，有可能两向量所在的直线平行，所以A错误， 对于B，两个向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B错误， 对于C，向量数乘运算中，既决定大小又决定方向，所以C正确， 对于D，在平行四边形ABCD中，才有，所以D错误. 故选：C 5. 点与点关于直线l对称，则l的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答. 【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为， 点与点的中点为， 所以直线l的方程为，即. 故选：B 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 【答案】C 【解析】 【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误； 对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为， ，有，则或，B选项错误； 对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为， 则直线l与平面所成的角为，C选项正确； 对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线， 若，则，解得，D选项错误. 故选：C. 7. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两直线的交点坐标，再利用直线的方向向量求出斜率，利用点斜式求出直线方程. 【详解】联立直线与，，解得：， 所以直线：，：的交点为， 又直线的一个方向向量，所以直线的斜率为， 故该直线方程为：，即 故选：D 8. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为） A. 63 B. 69 C. 75 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形法则得到该学生的体重,利用余弦定理即可求出得解. 【详解】 如图，设该学生的体重为,则. 由余弦定理得. 所以. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 二、多选题 9. 下面说法中错误的是（    ）. A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 经过定点的直线都可以用方程表示 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合直线方程的形式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，因为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线， 所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以A错误； 对于B中，因为直线不能表示与轴垂直的直线， 所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以B错误； 对于C中， 因为方程只能表示斜率存在的直线， 所以经过定点的直线不一定可以用方程表示，所以C错误； 对于D中，因为方程，即为直线的一般式方程， 可以表示坐标系能所有的直线，所以经过任意两个不同的点的直线， 都可以用方程表示，所以D正确. 故选：ABC. 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B. C. 夹角是60° D. 直线与直线的距离是 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，依题得运用向量数量积运算律计算即可判断A,B两项；利用向量夹角的公式计算排除C项；利用空间向量关于点到直线的距离公式计算即可验证D项. 【详解】 如图，设， 则 对于A，因， 则，故A正确； 对于B，因，， 则，故B正确； 对于C，，则， 且 设夹角为，则，因，则，即C错误； 对于D,在平行六面体中，易得, 则得,故,故点到直线的距离即直线与直线的距离. 因， 且， 则，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 当点E运动时，总成立 B. 当E向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，得到，，从而得到平面，因为平面，所以总成立；B选项，当E向运动时，平面与平面的夹角不变；C选项，建立空间直角坐标系，设，，得到二面角的法向量，求出二面角的余弦，从而得到余弦值的最大值，得到二面角的最小值；D选项，利用体积公式求出三棱锥的体积为定值. 【详解】对于A，连接，，， 因为四边形为正方形，故， 又⊥平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. 因为平面， 所以，同理可证. 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以总成立，故A正确. 对于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面， 所以当E向运动时，二面角的大小不变，故B错误. 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，所以， 因为E，F在上，且， 故可设，，，则， 由题知平面ABC的一个法向量为， 设平面ABE的一个法向量为， 则，解得， 取，则，故， 设二面角的平面角为，则为锐角， 所以， 又，所以当时，取得最大值， 取得最小值，故C正确； 对于D，因为， 点A到平面EFB的距离即到平面的距离，为， 所以，为定值，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 已知，，若点在线段上，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的形式，可转化为线段AB上点与连线的斜率，结合图形即可求解. 【详解】的几何意义是点与点连线的斜率， 又点在线段上，由图知， 因为，，所以， 因为点P是线段AB上的动点，所以， 故答案为： 13. 已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值________. 【答案】 【解析】 【分析】整理直线的方程得令 ，解方程组即可求得定点的坐标，原点到直线的距离，，计算可得结果. 【详解】直线的方程为，即 令，解得： 所以直线恒过定点， 所以原点到直线的距离，即到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了直线过定点问题，考查定点到动直线距离最值问题，考查转化能力和计算能力，属于中档题. 14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量法来计算动点坐标关系，从而去解决平面问题. 【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴 则 ， 设平面的法向量， 则，得， 设平面，与平面交于点， 则，点，由，得，即， 当平面经过直线并绕着直线旋转时， 平面与平面的交线绕着点旋转， 当交线与线段，都相交时，与正方体所成截面为三角形， 令平面与平面的交线交于点，交于点， 设，， 则， ， 由三点共线，得，， 所以，因此，所以 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，，． （1）写出直线的一个方向向量； （2）设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求出即可作为直线一个方向向量； （2）由，可得为平面的一个法向量，所以，由此能求出，，满足的关系式． 【小问1详解】 ，， ， 即为直线的一个方向向量．（答案不唯一） 【小问2详解】 由题意得， 平面，， ，则， ， ． 化简得． 16. 已知直线：，：，：，其中直线，的交点为. （1）求点a与b的值； （2）求过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点且与直线垂直的直线方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据直线，的交点为，列出方程组，即可求得的值. （2）根据过点且与直线平行，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. （3）根据过点且与直线垂直，求得所求直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 解：因为直线，的交点为，可得，解得. 【小问2详解】 解：将直线方程可化为，可得， 因为过点且与直线平行，可得所求直线的斜率为， 又由点，可得直线的方程为，即. 【小问3详解】 解：将直线的方程可化为，所以， 因为点且与直线垂直，可得所求直线的斜率为， 又由点，可得直线的方程为，即. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． （1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； （2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，点在线段上靠近点的三等分点处. 【解析】 【分析】（1）根据菱形和点，分别是边，的中点得到，，然后利用线面垂直的判定定理得到平面，再结合得到平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得到平面平面； （2）根据几何的知识得到当平面平面时，四棱锥的体积最大，然后根据线面角的定义得到为直线和平面所成角，最后求正弦值即可； （3）设，利用空间向量的方法得到平面与平面所成角的余弦值，然后列方程，解方程得到即可. 【小问1详解】 ∵四边形为菱形，∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴，，，即， ∵，平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面， ∵平面，∴平面平面. 【小问2详解】 由题意知，当平面平面时，四棱锥的体积最大， ∵平面平面，，平面平面， 平面. ∴平面，为直线和平面所成角， ∵菱形的边长为4，， ∴，， ∴，. 【小问3详解】 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，，，， 设，则， 设平面的法向量为， ，令，则，， ∴， ∵平面平面，，平面平面， ∴平面，则可以作为平面的一个法向量， ∴，解得， 所以存在点使平面与平面所成角的余弦值为，点在线段上靠近点的三等分点的位置上. 19. 如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形. 【解析】 【分析】(1)设出直线的方程，求出点A，B坐标，借助三角形面积求解而得； (2)由给定面积关系导出，再利用相似三角形性质求解即得； (3)假定存在符合条件的点M，再按照直角顶点分别为点Q，P，M分类讨论判断作答 【详解】1）显然直线斜率存在，设直线方程为， 则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点， 于是得，解得， 所以直线斜率为； （2）由（1）知直线的方程为：，即，， 因，则， 又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点， 所以时，点为线段中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线方程为：，如图， 当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合， 设，因，则，于是有，解得，此时， 当时，由，知四边形为正方形， 设，则，于是有，解得，此时， 当时，由，得，即， 设，则，直线上点， 显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时， 综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第一次月考数学试题 2024.10.11 一、单选题 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 与向量共线单位向量可以为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线l过点和，则直线l在y轴上的截距为（ ） A －1 B. 0 C. 2 D. 4 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 空间中共线的向量必在同一条直线上 B. 不相等的两个空间向量的模必不相等 C. 数乘运算中，既决定大小又决定方向 D. 在四边形ABCD中，一定有 5. 点与点关于直线l对称，则l的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 点关于平面对称点的坐标是 B. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则 C. 若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为 D. 已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则 7. 经过两条直线的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重（单位：）约为（ ） （参考数据：取重力加速度大小为） A. 63 B. 69 C. 75 D. 81 二、多选题 9. 下面说法中错误的是（    ）. A. 经过定点的直线都可以用方程表示 B. 经过定点的直线都可以用方程表示 C. 经过定点的直线都可以用方程表示 D. 经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 10. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A. CC1⊥BD B C. 夹角是60° D. 直线与直线的距离是 11. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的有（ ） A. 当点E运动时，总成立 B. 当E向运动时，二面角逐渐变小 C. 二面角的最小值为 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题 12. 已知，，若点在线段上，则的取值范围是______. 13. 已知直线的方程为，求坐标原点到的距离的最大值________. 14. 已知直三棱柱，，，E为侧棱的中点，过E作平面与平面垂直，当平面与该直三棱柱所成截面为三角形时，顶点与该截面构成的三棱锥体积的最小值为_______. 四、解答题 15. 已知，，． （1）写出直线的一个方向向量； （2）设平面经过点，且是平面的法向量，是平面内的任意一点，试写出，，满足的关系式． 16. 已知直线：，：，：，其中直线，的交点为. （1）求点a与b的值； （2）求过点且与直线平行的直线方程； （3）求过点且与直线垂直的直线方程. 17. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥． （1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论； （2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点. （1）求直线斜率的大小； （2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； （3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$