精品解析：江西省上饶市横峰中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

横峰中学2024-2025学年度第一学期高一年级第一次月考考试 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，则满足的集合C的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知，函数的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 二次函数的图像如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而减小． 其中正确的序号有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 7. 关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面能组成一个集合的是（ ） A. 横峰中学高一年级聪明的学生 B. 的近似值 C. 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D. 所有奇数 10. 如果，那么下面结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则实数_______. 13. 已知关于x的不等式的解集为，则______． 14. 已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围. 16. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 17. （1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 18. 两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元， (1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函数:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小； (2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小， 19. 设（为正整数），对任意的，，定义 （1）当时，，，求； （2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； （3）集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 横峰中学2024-2025学年度第一学期高一年级第一次月考考试 数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由并集运算即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选:A 2. 命题“，有”的否定是（ ） A. ，有 B. ，有 C. ，有 D. ，有 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断. 【详解】由题意可得：命题“，有”的否定是“，有”. 故选：C. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，，即充分性成立； 当时，取，满足条件，即必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 4. 已知集合，，则满足的集合C的个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】逐个列举即可. 【详解】因为， 所以可以是， 故选：B 5. 已知，函数的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号； 故选：A 6. 二次函数的图像如图所示，下列结论： ①； ②； ③； ④当时，y随x的增大而减小． 其中正确的序号有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】结合图像，及二次函数对称轴，判别式得出的关系即可判断. 【详解】解：抛物线开口向上，且与轴交于负半轴， ，， ，结论正确； 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线经过点， ， ，即，结论正确； 抛物线与轴由两个交点， ，即，结论正确； 抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， 当时，随的增大先减小再增大，结论错误； 故选：B 7. 关于x的一元二次方程有两个不同的负实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由判别式及韦达定理即可判断. 【详解】由题意可得不等式组 解得：且， 所以实数k的取值范围是. 故选:C 8. 当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下面能组成一个集合的是（ ） A. 横峰中学高一年级聪明的学生 B. 的近似值 C. 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点 D. 所有奇数 【答案】CD 【解析】 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】横峰中学高一年级聪明的学生, 的近似值所指元素都不具有确定性， 直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确. 故选:CD 10. 如果，那么下面结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由不等式的性质即可判断ABC，举反例即可判断D. 【详解】因为，所以，，，故ABC正确， 取，则，故D错误. 故选；ABC. 11. 已知正数，满足，则下列选项正确的是（    ） A. 的最小值是2 B. 的最小值是1 C. 的最小值是4 D. 的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项利用“1”代换求最值；B选项直接运用基本不等式；C选项先把式子变形，再运用基本不等式；D选项直接运用基本不等式. 【详解】A. ，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确. B. ，当且仅当时等号成立，故选项B错误. C. ，当且仅当时等号成立，故选项C错误. D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则实数_______. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合集合元素的互异性确定参数a的值. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性，排除； 若，则，可得或（舍）， 所以，此时. 故答案为： 13. 已知关于x的不等式的解集为，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意得是方程的两个根，由根与系数的关系求出即可. 【详解】由题意可知，是方程的两个根，且， 由根与系数的关系得且， 解得，则. 故答案为： 14. 已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】条件可转化为在上恒成立，再求的最大值即可确定的范围. 【详解】由不等式在上恒成立， 得在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，. （1）求，； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补运算即可得解； （2）先由得，再分类讨论与两种情况，得到关于的不等式（组），解之即可得解. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 又，， 当时，即，解得； 当时，则，解得； 综上，或，则实数a的取值范围是. 16. 设命题：关于的方程有两个不相等的实数根，：关于的方程无实数根． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若、有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数根的判别式直接判断即可； （2）利用根的判别式求出m的取值范围，然后再分类讨论真假关系，求取范围即可. 【小问1详解】 对于命题：关于x的方程有两个不相等的实数根 所以，即或， 因为真，故实数的取值范围为 【小问2详解】 对于命题，因关于x的方程无实数根， 所以，即． 因为真，故实数m的取值范围为． 、有且仅有一个为真命题，所以、q一真一假， 当真假时，，即或； 当假真时，，即． 综上所述：实数的取值范围为． 17. （1）解关于x的不等式； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用不含参二次不等式的解法即可得解； （2）利用含参二次不等式的解法，结合分类讨论法即可得解. 【详解】（1）不等式可化为， 解得，所以原不等式的解集为. （2）不等式可化为， 当时，，此时， 当时，，解得或， 当时，，解得或， 所以 当时，原不等式的解集为R； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 18. 两地相距千米，汽车从地匀速行驶到地，速度不超过千米小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分两部分组成：可变部分与速度的平方成正比，比例系数为，固定部分为元， (1)把全程运输成本(元)表示为速度(千米小时)的函数:并求出当时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小； (2)随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小， 【答案】（1），当汽车以的速度行驶，能使得全称运输成本最小； （2）. 【解析】 【分析】（1）计算出汽车的行驶时间为小时，可得出全程运输成本为，其中，代入，，利用基本不等式求解； （2）注意到时，利用基本不等式取不到等号，转而利用双勾函数的单调性求解． 【详解】（1）由题意可知，汽车从地到地所用时间为小时， 全程成本为，. 当，时，， 当且仅当时取等号， 所以，汽车应以的速度行驶，能使得全程行驶成本最小； （2）当，时，， 由双勾函数的单调性可知，当时，有最小值， 所以，汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键就是建立函数模型，得出函数解析式，并通过基本不等式进行求解，考查学生数学应用能力，属于中等题． 19. 设（为正整数），对任意的，，定义 （1）当时，，，求； （2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； （3）集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 【答案】（1）1 （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义计算即可； （2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，则有两种情况，一种任意两个元素相同位置不能同时出现1，另一种情况必有两个相同位置同时出现1，分别讨论即可判断个数最大值； （3）由得到，再根据且，得到，由此即可判断A中个数. 【小问1详解】 当时， ； 【小问2详解】 因为均为偶数，所以结果为0或2， 若，则A中的任意两个元素乘积为0， 即共有四个元素， 若，则A中必有两个位置为1， 即， 所以A中元素个数的最大值为4; 【小问3详解】 ，中的“1”变为“0”，“0”变为“1”， 得到， 可得， 因为，， 所以， 因为中有个元素， 则A中元素个数最多有个， 所以A中元素个数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合中元素个数的最大值求法，关键在于理解材料中的定义，根据条件要求确定元素位置上的取值不同，再进行讨论得到个数最大值，而在不限n时，需根据要求判断出对立条件下的情况，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $