精品解析：江苏省扬州市广陵区红桥高级中学2025届高三上学期10月月考数学试题

红桥高级中学2024—2025学年第一学期高三数学10月月考试卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合B，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】由题意得： ， 故选：D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式判断充分性，根据举反例说明必要性不成立，即可得结论. 【详解】因为，，则，当且仅当时等号成立，故充分性成立； 若，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 3. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥底面半径为1，母线长为2， 则圆锥的侧面积为 ． 故选：． 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，又因为，所以， 所以， 故选：. 5. 平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据三角函数定义得到，再根据余弦二倍角公式和诱导公式求解即可. 【详解】角的终边经过点，，所以. . 故选：B 6. 函数与直线相切，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点，再根据导数的几何意义列式求解即可. 【详解】设函数与直线相切于，直线斜率为，， 故，则，故， 即，解得，故. 故选：B 7. 正方体的棱长为1，若是的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，证明平面平面，由面面垂直的性质作到平面的垂线段，再由等面积法求解． 【详解】如图， 设的中点为，连接，，可得， 则平面，而平面， 所以平面平面，且平面平面， 在平面中，过作，垂足为，则平面， 则到平面的距离为， 由正方体的棱长为，得， 又， 由等面积法可得，，得， 即到平面的距离为． 故选：D. 8. 设常数使方程在区间上恰有五个解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，作出函数在上的图像，判断方程在区间上恰有五个解的条件，解方程. 【详解】 作出函数在上的图像: 由图像可知，在区间上恰有五个解，只有时才能成立， 由， 解得：，，，， ， 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分） 9. 已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 是的一个对称中心 C. 是奇函数 D. 在上的值域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题目条件确定函数的解析式，然后逐一判断每个选项即可. 【详解】因为函数图象上两相邻最高点的距离为， 所以，所以 把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象， 则， 当时，，显然在上是增函数，故A正确； 因为，所以不是的一个对称中心，故B错误； 因为，所以是奇函数，故C正确； 由选择项A，在上是增函数， 所以，所以在上的值域为，故D正确. 故选：ACD. 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是2 C. 的最小值是 D. 的面积最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形面积公式寻找，关系，再利用基本不等式判断． 【详解】解：由题意得：， 由角平分线以及面积公式得， 化简得，所以，故A正确； ，当且仅当时取等号， ，， 所以，当且仅当时取等号，故D正确； 由余弦定理 所以，即的最小值是，当且仅当时取等号，故B正确； 对于选项：由得：，， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 故选：ABD． 11. 如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. ⊥平面 C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为 D. 若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 ， 对于 A，因为 所以，又平面，平面， 所以平面，故 A 正确； 对于B： ， 设平面的法向量为，则即 令，则所以平面的一个法向量为因为与不平行，所以 ⊥平面不成立，故 B错误； 对于C： 设异面直线CN和AB 所成的角为，则，故C错误； 对于 D，设， 所以， 又平面的一个法向量为所以点 P到平面的距离不是定值.故 D正确. 故选 ：AD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若，则实数的值为___________. 【答案】或##-1或4 【解析】 【分析】对参数进行分类讨论，结合对数运算即可求得结果. 【详解】当时，，解得，满足题意； 当时，，解得（舍）或； 综上所述：或. 故答案为：或. 13. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件求出所以，利用两角差的正弦展开式可得，再根据三角函数的平方关系和商数关系可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以 ，所以， ，所以， 则. 故答案为：. 14. 定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用构造函数法，结合导数化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】构造函数， 则， 所以在区间上单调递减， 由，得， 即，所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）利用基本不等式中的“1”的妙用求解小问1，分离参数并且使用基本不等式中的“1”的妙用求解即可. 【小问1详解】 由，得，又，， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为8； 【小问2详解】 由恒成立，得恒成立， 又，所以， 由（1）可知，所以， 当且仅当，即，时等号成立，即，故的最大值是4. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的值； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】(1) 利用正弦定理通过解已知方程即可求出角A的值. (2) 利用三角形的面积公式求出，结合余弦定理即可求出的周长. 【小问1详解】 由题意， 在中，，， 则， 且， ∴， 解得：, . 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在中， ，的面积为， 的面积，则. 由，得， 所以，故的周长为. 17. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点Q，连接, 则有，且，又，且， 故，且， 则四边形EFPQ为平行四边形，则， 又平面，平面，故平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点Q，可得四边形EFPQ为平行四边形，则，由直线与平面平行的判定定理证明即可； （2）取EF中点O，BC中点G，可得平面EFCB，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出与平面BFP的法向量的坐标，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取EF中点O，BC中点G，由平面平面EFCB，且交线为EF，故平面EFCB，此时，两两垂直，以O为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则可得，，，， 由P为中点，故， 则，，， 设平面BFP的法向量， 则，即，故取， 故所求角的正弦值为， 所以直线与平面BFP所成的角的正弦值为． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，其中，求的值； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由函数的图象可得出的最小正周期的值，可求得，再将点代入函数的解析式，结合可求得的值，进而可求得函数的解析式； （2）求得，结合，可求得的值； （3）求出函数在区间上的最大值和最小值，由题意可得，进而可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由图象可知，函数的最小正周期为，， 则， ，可得， ，，，解得， 因此，； （2），可得， ，，，解得； （3）当时，，则， ，， 由可得，则， ，，所以，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：根据三角函数（或）的部分图象求函数解析式的方法： （1）求、，； （2）求出函数的最小正周期，进而得出； （3）取特殊点代入函数可求得的值. 19. 已知函数，其中． （1）若，证明：； （2）设函数，若为的极大值点，求a的取值范围． 【答案】（1） 若，则，且，则， 令，得． 在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 故． （2） 【解析】 【分析】（1）求导确定函数的单调性即可得最值，从而证得结论； （2）求导，分类讨论确定函数的单调性从而验证极值，即可得a的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，． 当时，易得，所以由（1）可得， 若，则， 所以在上单调递增， 这与为函数的极大值点相矛盾． 若，令，则， 又令，则对恒成立， 所以在上单调递增． 又，， 因为，所以， 因此存在唯一，使得， 所以，在上，，单调递减． 又，所以 在上，，故单调递增； 在上，，故单调递减． 所以为函数的极大值点，满足题意． 综上，a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： （1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红桥高级中学2024—2025学年第一学期高三数学10月月考试卷 试卷满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数与直线相切，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 7. 正方体的棱长为1，若是的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 设常数使方程在区间上恰有五个解，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对得部分分，错选得0分） 9. 已知函数图象上两相邻最高点的距离为，把的图象沿x轴向左平移个单位得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 是的一个对称中心 C. 是奇函数 D. 在上的值域为 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，内角的平分线交于点且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值是2 C. 的最小值是 D. 的面积最小值是 11. 如图，在长方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. ⊥平面 C. 异面直线CN和AB所成角的余弦值为 D. 若P为线段上的动点，则点P到平面CMN的距离不是定值 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，若，则实数的值为___________. 13. 已知，则________. 14. 定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，，且. （1）求的最小值； （2）若恒成立，求的最大值. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A的值； （2）若，的面积为，求的周长. 17. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值． 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）若，其中，求的值； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中． （1）若，证明：； （2）设函数，若为的极大值点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $