精品解析：四川省泸县第五中学2026-2027学年高二上学期第一学月质量监测数学试题

高2025级2026年秋期第一学月质量监测 数学试题 命题人：赵邦国 做题人：刘德淳 审题人：罗焱岚、张友权、陈琳 数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满150分. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第一部分 （选择题 共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，再求模即可. 【详解】复数z满足，则， 所以. 2. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】 利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果. 【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件， 则. 故选：C 【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型. 3. 下列命题中错误的是（  ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】A 【解析】 【分析】通过举反例判断选项A错误，结合空间向量基底的定义逐一验证选项B、C、D的正确性，选出错误命题. 【详解】对选项A：空间中垂直于同一向量的两个向量不一定平行，举反例：取 ， 满足 ，但 与 不平行，故 A 错误； 对选项 B ：根据空间向量基底的定义，能构成空间基底的三个向量必须是不共面的非零向量， 因此若三个非零向量不能构成空间基底，则必定共面，故 B 正确； 对选项 C ：若两个非零向量 与任何一个向量都不能构成空间基底，说明 与任意向量均共面， 若 不共线，则存在与它们不共面的向量可构成基底，与题设矛盾，故 共线，C正确； 对选项D：假设 共面，则存在实数 ，使得 ， 可知 共面，与 是空间向量基底矛盾， 因此 也可构成空间向量的一个基底，D正确. 4. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得： . 5. 若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【详解】， ， ， . 设向量与向量的夹角为，则. 又，所以. 6. 已知三点不共线，点不在平面内，若四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据四点共面得到，再利用基本不等式求解即可. 【详解】已知三点不共线，点不在平面内， 若四点共面，则，即 所以，当且仅当时等号成立. 7. 某校举办了数学知识竞赛，并将名学生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（     ） A. 该校名学生竞赛的平均成绩为分 B. 估计这组数据的众数为 C. 估计这组数据的第百分位数为 D. 估计成绩低于分的有人 【答案】D 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图的性质得到，进而根据平均数，众数，及百分位数的定义即可判断选项A，B，C；先计算出成绩低于分的频率，进而计算出成绩低于分的人数即可判断选项D． 【详解】由频率分布直方图得，解得． 对于A，平均成绩为，故A正确； 对于B，由在频率分布直方图中，最高矩形对应的区间为，所以众数为，故B正确； 对于C，由前四组的频率之和为， 前五组的频率之和为， 设这组数据的第百分位数为，则， 解得，故C正确； 对于D，成绩低于分的频率为， 所以成绩低于分的有人，故D错误． 8. 有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选取两支彩笔的方法有种，含有红色彩笔的选法为种， 由古典概型公式，满足题意的概率值为. 本题选择C选项. 考点：古典概型 名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 已知事件A，B相互独立，，则 C. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12 D. 数据的方差为32，则数据的方差为64 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用对立事件的定义证明即可；对于B，事件A，B相互独立得到，再计算即可；对于C，利用上四分位数的定义计算即可；对于D，利用方差的性质求解即可. 【详解】对于A，从5名同学中任选2名，所有可能的情况按男生人数可分为三类： “0名男生（即全是女生）”、“1名男生1名女生”、“2名男生”. 事件“至少一名男生”包含：“1名男生1名女生”和“2名男生”这两种情况. 事件“全是女生”包含：“0名男生”这一种情况. 可以看出，“至少一名男生”与“全是女生”这两个事件包含了所有可能的结果，且没有交集。 因此，它们是对立事件. A正确. 对于B，因为事件A，B相互独立，所以， ，B正确. 对于C，先计算，因为为整数， 所以上四分位数为，C错误. 对于D，设方差为，数据的方差为， 则，D错误. 10. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】 先记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品，用列举法，结合古典概型的概率计算公式，逐项判断即可. 【详解】记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品. A选项,样本空间, “恰有一件次品”的样本点为,,, 因此其概率，A正确； B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间, 因此,B错误； C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确; D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间,因此,D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查古典概型的相关计算，熟记古典概型的概率计算公式，以及列举法确定基本事件个数即可，属于常考题型. 11. 在直三棱柱中，点是的中点，，，，点为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离是 D. 线段长的最大值是 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据余弦定理及勾股定理证明，从而以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，再得到各点的坐标，再求出平面的一个法向量．对于A，根据的值是否为即可判断与平面是否平行；对于B，根据异面直线夹角的向量求法即可求出直线与直线所成角的余弦值，进而即可判断；对于C，根据点到平面的距离即可求解，进而即可判断；对于D，先设，再根据线面平行得到，从而根据向量模的公式得到，进而根据二次函数的性质即可求出线段长的最大值，进而即可判断． 【详解】在中，，，， 则由余弦定理得，即， 由，则， 又在直棱柱中，有平面，则，，两两垂直， 则以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如下空间直角坐标系， 又，，，点是的中点， 则，，，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，，即． 对于A，由，且，所以与平面不平行，故A错误； 对于B，由，， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故B错误； 对于C，由，所以点到平面的距离为，故C正确； 对于D，由点为侧面（含边界）上一点，则设，，，则， 又平面，且平面，则，即，得， 即，且，解得， 则线段长为， 又是开口向上，对称轴为的二次函数， 当时，；当时，，所以线段长的最大值是，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________． 【答案】0.3## 【解析】 【分析】根据古典概型，先求出样本空间，再求出条件空间即可. 【详解】从5根木棍中任取3个共有 种，符合条件有 3种， 能搭成一个三角形的概率 ； 故答案为： . 13. 青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为________． 【答案】0.5## 【解析】 【分析】先明确至少两天下雨对应的随机数特征，统计符合条件的随机数组数，再用频率估计概率. 【详解】由题意，随机数中0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨， ＂三天中至少有两天下雨＂等价于每组 3 个随机数中属于 的数字个数. 逐一核对 20 组随机数，符合条件的有： 446 、 072 、 021 、 392、 325 、 405 、 631 、 700 、 305 、 311 ，共 10 组. 根据频率估计概率，可得三天中至少有两天下雨的概率约为 . 14. 如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值______． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，连接，，证得平面，得到即为与平面所成的角，在直角中，即可求解. 【详解】因为底面，底面，所以， 由，所以， 又因为，且平面，所以平面， 且平面，则， 设，取的中点，连接，， 因为，可得， 且，平面，所以平面， 则即为与平面所成的角， 由，可得，所以， 在直角中，， 所以与平面所成的角的正切值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图： （1）求甲、乙两台机床在5天中生产产品的次品数的平均值和方差，并判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由； （2）若甲、乙两台机床生产出的产品的次品率分别为，且两台机床所产次品与否及结果相互不影响. 求两台机床至多有一台生产出次品的概率. 【答案】（1）甲机床次品数的平均值为，方差为；乙机床次品数的平均值为，方差为；乙机床的性能更稳定，理由见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）根据折线图读取甲、乙两台机床5天的次品数数据，利用平均数和方差公式进行计算，通过比较方差大小判断稳定性； （2）设甲、乙生产次品分别为事件、，利用对立事件概率公式 求解. 【小问1详解】 由折线图可知，甲机床5天生产的次品数分别为， 乙机床5天生产的次品数分别为. 甲机床次品数的平均值为： ， 甲机床次品数的方差为：  . 乙机床次品数的平均值为： ， 乙机床次品数的方差为：  . 因为，且，所以乙机床的性能更稳定. 【小问2详解】 设“甲机床生产出次品”为事件，“乙机床生产出次品”为事件， 由题意可知，，且事件与事件相互独立. 设“两台机床至多有一台生产出次品”为事件， 则事件的对立事件为“两台机床都生产出次品”，即事件. 所以. 故所求概率. 16. 在中，角的对边分别是，且 （1）求角的大小 （2）若，且的面积为，求的周长 【答案】（1） ； （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，整理可得，再由余弦定理即可求解； （2）由的面积为可得，再由余弦定理可得，结合可求得，即可得到的周长. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得：， 因为  ，所以， 即  ， 即  ，由余弦定理， ，  ，  . 【小问2详解】 由三角形面积公式可得：  ，解得  ，  由余弦定理可得：，  解得：  ，则  三角形的周长为 6. 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，. （1）求的值和的长； （2）求证：平面. 【答案】（1）， （2）由（1）知，，，又， ， 即， ， 即， 又，平面， 故平面. 【解析】 【分析】（1）选取一组基底，用基底表示出，由空间向量的数量积运算求解； （2）用（1）中的基底表示出，，分别验算，，然后结合线面垂直的判定得证. 【小问1详解】 设，由题知，，， 结合图形可知，，， 于是， 又，， 即. 【小问2详解】 略 18. 某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数； （2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ （ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． 【答案】（1），中位数为 （或 ）； （2）（i）平均数 ，方差 （或 ）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为 1 求出 ，再根据中位数左右两侧面积相等求解即可； （2）（i）先根据分层抽样确定第七、八组抽取的人数，再利用分层抽样平均数和方差公式计算即可；（ii）利用古典概型概率公式求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，组距为 10． 因为所有小矩形的面积之和为 1， 所以，解得 ． 前四组的频率之和为 ， 前五组的频率之和为 ， 所以中位数位于第五组内． 设中位数为 ，则 ， 解得． 故估计该中学高二年级学生成绩的中位数为 ． 【小问2详解】 第七组 的频率为，人数为 ； 第八组  的频率为 ，人数为 ． 按分层抽样方法抽取 5 名学生，则从第七组抽取人数为：  ，从第八组抽取 人数为： ． （i）设第七组抽取的 3 名学生得分为，第八组抽取的 2 名学生得分为． 由题意知，，方差，，方差. 这 5 人得分的平均数：  这 5 人得分的方差 ． 且 故 所以， 同理则 ， 故. （ii）记第七组抽取的 3 名学生为 （成绩低于 130 分），第八组抽取的 2 名学生为（成绩不低于 130 分）． 从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生，所有可能的情况有：，共 10 种． 其中恰有 1 名成绩不低于 130 分的情况有： (共 6 种． 故所求概率  19. 如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连结并延长交于点. （1）证明：是的中点； （2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积． 【答案】（1）顶点在平面内的正投影为点，则平面，平面， 则； 由在平面内的正投影为点，则平面，平面， 则， 又，平面，则平面， 又平面，则，即， 正三棱锥的侧面满足，由三线合一可知，是的中点. （2）在平面内，过点作的平行线交于点， 则即为在平面内的正投影. 理由如下：由已知可得，，又， 所以， 又因为平面，， 因此平面，即点为在平面内的正投影. 连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心. 由（1）知，是的中点，所以在上，由重心的性质，. 由题设， 又因为平面，， 因此平面，平面，所以， 因此. 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得. 在等腰直角三角形中，可得. 所以四面体的体积. 【解析】 【分析】（1）根据点的正投影的性质可推知线面垂直，由此证明平面，进而，结合三线合一的性质得证； （2）过点作的平行线交于点，然后证明平面即可，由得到体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级2026年秋期第一学月质量监测 数学试题 命题人：赵邦国 做题人：刘德淳 审题人：罗焱岚、张友权、陈琳 数学试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满150分. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效. 3．非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效. 第一部分 （选择题 共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（ ） A. B. C. D. 1 3. 下列命题中错误的是（  ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 4. 如图，在三棱柱中，点M在线段上，且．若，，，则可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 6. 已知三点不共线，点不在平面内，若四点共面，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 某校举办了数学知识竞赛，并将名学生的竞赛成绩（满分分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的为（     ） A. 该校名学生竞赛的平均成绩为分 B. 估计这组数据的众数为 C. 估计这组数据的第百分位数为 D. 估计成绩低于分的有人 8. 有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（　　） A. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 B. 已知事件A，B相互独立，，则 C. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是12 D. 数据的方差为32，则数据的方差为64 10. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16 C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是 D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16 11. 在直三棱柱中，点是的中点，，，，点为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线所成角的余弦值是 C. 点到平面的距离是 D. 线段长的最大值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是____________． 13. 青城山是著名的旅游胜地．天气预报中秋节连续三天，每天下雨的概率为0.5，现用随机模拟的方法估计三天中至少有两天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示当天下雨，5，6，7，8，9表示当天不下雨，每3个随机数为一组，代表三天是否下雨的结果，经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计三天中至少有两天下雨的概率约为________． 14. 如图，在三棱锥中，，底面ABC，若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值______． 四、解答题（本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，统计5天中两台机床每天所出的次品件数，数据如下图： （1）求甲、乙两台机床在5天中生产产品的次品数的平均值和方差，并判断哪台机床的性能更稳定，请说明理由； （2）若甲、乙两台机床生产出的产品的次品率分别为，且两台机床所产次品与否及结果相互不影响. 求两台机床至多有一台生产出次品的概率. 16. 在中，角的对边分别是，且 （1）求角的大小 （2）若，且的面积为，求的周长 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，. （1）求的值和的长； （2）求证：平面. 18. 某中学为了解该校高二年级学生的语文成绩，从中抽取了100名该校学生的成绩作为样本进行统计（成绩均在分），按照，，，，，，，分为8组，并作出频率分布直方图，如图所示： （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学高二年级语文成绩的中位数； （2）现从第七、八组中按分层抽样方法抽取5名学生， （i）学校要派这5名学生参加校古诗词比赛（总分值10分），经过比赛后，第七组学生得分的平均数，方差，第八组学生得分的平均数，方差，则这5人得分的平均数和方差分别为多少？ （ii）从这5名学生中随机抽取2名学生参加市古诗词比赛，求这2名学生中恰有1名成绩不低于130分的概率． 19. 如图，已知正三棱锥的侧面是直角三角形，，顶点在平面内的正投影为点，在平面内的正投影为点，连结并延长交于点. （1）证明：是的中点； （2）在图中作出点在平面内的正投影（说明作法及理由），并求四面体的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $