精品解析：浙江省嘉兴市桐乡市茅盾中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

浙江省嘉兴市桐乡市茅盾中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 命题人：吕忠妹 审核人：孙建洪 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线只经过第一、三、四象限，则直线斜率（ ） A. 大于零 B. 小于零 C. 大于零或小于零 D. 以上结论都有可能 2. 直线与圆交于两点，则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 4. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ） A B. C. D. 5. 已知圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 设P是椭圆上的点，F1，F2为其两焦点，则满足的点P的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为2 D. 10. 关于方程，下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D. 若，则该方程表示两条直线 11. 设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为1 C. 以线段为直径的圆与直线相切 D. 动点P到点的距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 13. 该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为__________． 14. 在直角坐标系中，已知，，点满足，则直线斜率的取值范围为__． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点的坐标分别是，，并且经过点； （2）经过两点，. 17. 已知圆的圆心在直线上，与x轴相切于点． （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 18. 已知点是圆上任意一点． （1）求P点到直线的距离的最大值和最小值． （2）求最大值和最小值． （3）求的最大值和最小值 19. 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. （1）求动点的轨迹方程； （2）为线段的中点，求点的轨迹方程； （3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省嘉兴市桐乡市茅盾中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题 命题人：吕忠妹 审核人：孙建洪 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 直线只经过第一、三、四象限，则直线的斜率（ ） A. 大于零 B. 小于零 C. 大于零或小于零 D. 以上结论都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】画出符合条件的直线，即可判断 【详解】由图像可知： 该直线的斜率. 故选：A 2. 直线与圆交于两点，则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于，分别计算和，即可求得的面积. 【详解】 如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为， 过点作于，由到直线的距离为, 则, 故的面积为. 故选：B. 3. 已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两条直线的交点坐标，再利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 4. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的长轴长与焦距的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助椭圆定义与勾股定理计算即可得. 【详解】由，结合题设有，， 由，则， 化简得，故的长轴长与焦距的比值为. 故选：D. 5. 已知圆与圆的公切线条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心和半径，判断两圆位置关系即可得解. 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的圆心为，半径， 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条. 故选：C 6. 设P是椭圆上的点，F1，F2为其两焦点，则满足的点P的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，P为椭圆虚轴的顶点时，∠F1PF2最大，即，进而得到答案. 【详解】 在椭圆中，，所以. 当P为椭圆虚轴的顶点时，最大，因为， 所以，所以，则这样的点P有四个． 故选：D. 7. 如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为.这艘轮船能被海监船监测到的时长为（ ） A. 1小时 B. 0.75小时 C. 0.5小时 D. 0.25小时 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘外籍轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系, 则，，圆方程， 直线方程：，即， 设到距离为，则， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 设监测时间为，则（小时）， 外籍轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时. 故选：C. 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详解】 如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为2 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】化圆的方程为 标准形式判断AB；求出圆心到直线距离判断C；利用圆的弦长公式计算判断D. 【详解】对于AB，圆：的圆心，半径，A正确，B错误； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 10. 关于方程，下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D. 若，则该方程表示两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为，得到B正确；D选项，化为，故D正确. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误； 对于C，，则可化为， 由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则可化，即， 此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD 11. 设椭圆的左､右焦点分别为、，左､右顶点分别为A、B，点P是椭圆C上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 离心率 B. 面积的最大值为1 C. 以线段为直径圆与直线相切 D. 动点P到点的距离的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题意求出，，求出，求出，对于选项B，要使的面积最大，当底边上的高最大即可，求出高的最大值，求出的面积最大值，对于选项C，求出以线段为直径的圆的方程，求出该圆的圆心到直线的距离，判断以线段为直径的圆与直线的位置关系，对于选项D，设点，求出. 【详解】对于选项A，由已知得，，则，即，故A错； 对于选项B，由已知得，要使的面积最大，当底边上的高最大即可， 高最大值即为1，则的面积最大值为，故B正确； 对于选项C，以线段为直径的圆的方程为， 则该圆的圆心到直线的距离为， 即以线段为直径的圆与直线相交，故C错； 对于选项D，设点，则 又，故时取得最小值为，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离． 【详解】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 13. 该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 14. 在直角坐标系中，已知，，点满足，则直线的斜率的取值范围为__． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据由两点间的距离公式化简得．设的斜率为，可得，得到关于的一元二次方程．根据判别式建立关于的不等式，解之即可得到直线的斜率的取值范围． 【详解】设，直线的斜率为，可得 ，，，． 点满足，，即， 两边平方，得， 化简整理得， 的斜率为， ，代入上式并化简得． 以上一元二次方程有实数解，可得，解得． 即直线的斜率的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）已知点，求线段的垂直平分线的方程； （2）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用中点坐标公式求的中点坐标，利用斜率公式求的斜率，再求的垂直平分线的斜率，利用点斜式可得结论； （2）分别在所求直线过原点时和不过原点条件下，求直线的斜率，利用点斜式求直线方程. 【详解】（1）因为， 所以线段的中点为， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 故线段的垂直平分线的方程为，即. （2）①当直线过原点时，所求直线在两坐标轴上的截距相等，其斜率为， 故所求直线方程为，即； ②当直线不过原点时， 由改直线过点，且在两坐标轴上的截距相等可得改直线的斜率为， 所求直线方程为：，即， 由①②知所求直线方程为或. 16. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点的坐标分别是，，并且经过点； （2）经过两点，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可； （2）设椭圆的方程为，再利用待定系数法求解即可. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，长轴长为，短轴长为， 则，且焦点在轴上， ， 所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设椭圆的方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 17. 已知圆圆心在直线上，与x轴相切于点． （1）求圆的方程； （2）过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的圆心为，半径为，根据条件得到，即可求解； （2），先求出圆心到直线的距离，再根据条件得到，即可求解. 【小问1详解】 设圆的圆心为，半径为， 又圆的圆心在直线上，与x轴相切于点，所以， 故圆的方程为. 【小问2详解】 由题知直线的斜率存在，设， 则圆心到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为， 所以，化简得到，解得或， 所以直线的方程为或. 18. 已知点是圆上任意一点． （1）求P点到直线的距离的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． （3）求的最大值和最小值 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）最大值为，最小值为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【小问1详解】 圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 19. 已知在平面直角坐标系中，动点到和的距离和为4，设点. （1）求动点的轨迹方程； （2）为线段的中点，求点的轨迹方程； （3）过原点的直线交的轨迹于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可知，点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆，由此能求出动点的轨迹方程； （2）设，，利用中点坐标公式及“代点法”即可得出点的轨迹方程； （3）对直线的斜率分不存在、为、存在且不为三种情况讨论，当直线的斜率存在（不为）时，把直线的方程与椭圆的方程联立，解得点，的坐标，利用两点间的距离公式即可得出，再利用点到直线的距离公式即可得出点到直线的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出． 【小问1详解】 因为，由椭圆定义可知， 点的轨迹是以和为焦点，长半轴长为的椭圆， 设椭圆方程为，则，，所以， 故动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设，， ，且为线段中点， ，即，代入的轨迹方程，可得， 整理得， 即点的轨迹方程为； 【小问3详解】 ①当直线的斜率不存在时，可得，， ，点到轴的距离为1， ； ②当直线的斜率为时，则，， ，点到轴的距离为， 所以； ③当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，，，． 联立，化为． 解得，则，则，． ． 又点到直线的距离． ， ， 当时，当且仅当，即可时取等号， 当时，当且仅当，即可时取等号， 所以， 当且仅当时，即，取最大值，最大值为， 综上所述面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$