精品解析：山东省青岛第五十八中学2024-2025学年高二上学期阶段性模块检测数学试题

保密★启用前 2024—2025学年第一学期阶段性模块检测 高二数学试卷 2024.10 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上． 3．试卷卷面分5分，如不规范，分等级（5、3、1分）扣除． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 3. 已知向量是空间向量一组基底，向量是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的分位数是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 5. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）. A. B. 1 C. D. 6. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 8. 已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 当时，直线必经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 下列四个结论不正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或 B. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 C. 空间中任意向量，，若满足，则或 D. 已知向量，，若，则为钝角 11. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线距离的最大值为5 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为________. 13. 如图：已知二面角的大小为120°，点，，于点C，于D，且，则直线AB与CD所成角的正弦值为________. 14. 已知实数、满足方程，当时，则取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 已知直线过点 （1）它在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的一般式方程． （2）若直线与轴负半轴、轴的正半轴分别交于点，，求的面积的最小值． 16. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 17. 某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差. 18. 三棱柱中，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 2024—2025学年第一学期阶段性模块检测 高二数学试卷 2024.10 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．第Ⅰ卷请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上．第Ⅱ卷将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题纸上． 3．试卷卷面分5分，如不规范，分等级（5、3、1分）扣除． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】B 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应的倾斜角为60°. 故选：B 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角的求法，属于基础题. 2. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 3. 已知向量是空间向量的一组基底，向量是空间向量的另外一组基底，若一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，再设向量在基底下的坐标为，利用向量的线性运算及向量相等，列出关于的方程组，进而求解即可． 【详解】由向量在基底下的坐标为， 则， 设向量在基底下的坐标为， 则， 所以，解得，，， 所以向量在基底下的坐标为． 故选：A． 4. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的分位数是（ ） A. 11 B. 12 C. 16 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，将样本数据由小到大排列，结合百分位的计算方法，即可求解. 【详解】将样本数据由小到大排列依次为：11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，则，所以这组数据的分位数为. 故选：D. 5. 已知，直线过原点且平行于，则到的距离为（ ）. A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意取，然后求出在方向上的投影，再结合勾股定理可求得结果. 【详解】由题意取，则， 所以到的距离为 . 故选：C 6. 从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人，分别采取不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样．在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男生一女生的概率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为和）中任意抽取两人， 记事件 “抽到的两人是一男生一女生”， 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共12个样本点， 其中有8个样本点，所以. 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为: 共16个样本点， 其中有8个样本点，所以. 故选：A. 7. 已知，，直线：，：，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由，可求得，再由，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 【点睛】本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 8. 已知点A在直线上，点在直线上，线段的中点为，且满足，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵直线与直线 平行，线段的中点为， ，化简可得 解得， 设 ， ，即 故选：A 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 当时，直线必经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别求得直线在y轴上的截距和在x轴上的截距，从而可判断. 【详解】令，得直线在y轴上的截距为；令，得直线在x轴上的截距为． 因为，所以， 所以该直线过第一、二、三象限，不过第四象限． 故选：ABC 10. 下列四个结论不正确的是（ ） A. 任意向量，，若，则或 B. 若空间中点，，，满足，则，，三点共线 C. 空间中任意向量，，若满足，则或 D. 已知向量，，若，则为钝角 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用数量积的定义分析判断，对于B，利用共线向量定理的推论分析判断，对于C，利用空间向量的性质分析判断，对于D，利用空间向量的夹角公式分析判断. 【详解】对于A，任意向量，，若，则，所以，或，或，所以A错误， 对于B，空间中点，，，满足，所以， 因为，所以，，三点共线，所以B正确， 对于C，空间中任意向量，，若满足，则，所以，此时与不一定共线，所以C错误， 对于D，当，且与不共线时，为钝角， 由，得，当与共线时，存在，使，即， 所以，解得，所以当，且时，为钝角，所以D错误， 故选：ACD 11. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 第Ⅱ卷 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，两点到直线的距离相等，则实数a的值为________. 【答案】－3或3 【解析】 【分析】方法一，利用点到直线的距离公式列方程求解可得；方法二，结合图形分析直线的位置可解. 【详解】解：方法一 由题意得，即，所以或，解得或． 方法二 因为A，B两点到直线l的距离相等，则直线或AB的中点在直线l上，则或，得或3． 故答案为：－3或3 13. 如图：已知二面角的大小为120°，点，，于点C，于D，且，则直线AB与CD所成角的正弦值为________. 【答案】 【解析】 【分析】 设，利用已知条件得到与的夹角与二面角互补， 利用，求出，再利用向量的数量积求两个向量夹角的余弦值，即可求解. 【详解】设， 由于点C，于D， 且二面角的大小为， 可知与的夹角为； 由已知条件可得： ， 因为， 所以， 设直线AB与CD所成角为，则，，则， 故直线AB与CD所成角的正弦值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查求异面直线所成角的问题.利用空间向量的相关知识求解是解决本题的关键. 14. 已知实数、满足方程，当时，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题述条件可将所求化为关于的函数，结合即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 不妨设， 所以， 因为，所以， 所以的值域为，即的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线过点 （1）它在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的一般式方程． （2）若直线与轴负半轴、轴的正半轴分别交于点，，求的面积的最小值． 【答案】（1）或 （2）24 【解析】 【分析】（1）用截距式设出的方程，根据经过点，解方程即可； （2）设出截距式方程，根据经过点列出等式，用基本不等式得出三角形面积公式中乘积的范围即可得到面积最小值. 【小问1详解】 设的方程为， 过点， 代入方程得， 的一般式方程为， 当经过原点时，设：， 将点代入直线得， 综上，的一般方程为或； 【小问2详解】 设:（，）， 过点， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， ， ， . 16. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 【答案】（1），75； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图有，解得， 因为， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； 【小问2详解】 设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，， 所以有， 记“甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 17. 某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示： （1）求图中的值； （2）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； （3）已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差. 【答案】（1）0.03 （2） （3）；. 【解析】 【分析】（1）由各组的频率之和为1，求的值； （2）由分层抽样得两组抽取人数，再由古典概型求概率； （3）由分层抽样的均值和方差公式求解. 【小问1详解】 由题可知， 解得； 【小问2详解】 由原始分在和中的频率之比为， 故抽取的6人中，原始分在中的有2人，记为，在中的有4人，记为， 则从6人中抽取2人，所有可能的结果有： 共15个基本事件， 其中抽取这2人中怡有一人原始成绩在内的结果有： 共8个基本事件， 所以抽取这2人中恰有一人原始成绩在内的概率； 【小问3详解】 ， . 18. 三棱柱中，． （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图所示：作中点，连接， ， 是等边三角形， 又， 满足，即有， 而，所以， ，平面， 平面， 而平面， 所以，又因为是中点， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，即得，从而得到. （2）根据求两平面法向量即可求得二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则，易知， 以点为原点，分别以方向为轴，以过点竖直向上的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 过点作，垂足为， 在中，， 所以，， 则， ，，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，所以， 同理可得：平面的法向量， 则. 因为所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当点为的中点时，有平面. 【解析】 【分析】（1）作平面，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量以及，再由公式即可求解. （2）分别算出与平面的法向量，再由公式即可求解. （3）若平面，则，而在第二问中已经求出，所以只需设，待定系数即可求解. 【小问1详解】 作平面，又，所以以的方向分别为轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系： 因为平面平面，平面平面，且，平面， 所以平面， 又因为为的中点，，且，，， 所以由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 所以点到平面的距离为. 【小问2详解】 如图所示： 由题意有， 所以有 不妨设平面的法向量为， 所以有，即， 取，解得， 不妨设直线与平面所成角为， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 如图所示： 由题意有 所以， 由题意不妨设， 所以， 又由（2）可知平面的法向量为， 若平面，则， 即，解得， 所以当点为的中点时，有平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $