精品解析：江西省吉安市2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

江西省吉安市2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. 3.14 C. 0.1010010001 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 8，15，17 C. 3，4，5 D. 4. 三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 6. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个大于1且小于2的无理数：___． 8. 若一个正数m的两个平方根是和，则_____． 9. 如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，连接交于点F，则的长为______． 10. 如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米． 11. 如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）． 12. 如图，在中，，点从点出发，以每秒1cm的速度沿射线的方向运动．当点运动___________秒时，为等腰三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 14. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求的值； （2）求的立方根． 15. 如图，在Rt△ABC中，已知BC=12，AB=13．求斜边上的高CD长． 16. 下面是两个由边长为1的小正方形组成的的正方形网格．请只用无刻度的直尺在网格中各画一个斜边长为5的直角三角形． 要求：（1）所画的直角三角形不全等；（2）直角三角形的顶点均为网格中小正方形的顶点． 17. 实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简： ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知a，b，c满足， （1）求a，b，c的值； （2）试问以a、b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 19. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 20. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得． （1）试说明：； （2）求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． （1）试说明：； （2）若，求的面积； （3）在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 22. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 问题探究： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）图1中，的取值范围是 ； 方法运用： （2）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．试说明：； （3）如图3，在△ABC中，为的中点，．试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省吉安市2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列实数中，属于无理数的是（　　） A. B. 3.14 C. 0.1010010001 D. 【答案】D 【解析】 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是分数，属于有理数； B、3.14是有限小数，即分数，属于有理数； C、0.1010010001是有限小数，即分数，属于有理数； D、是无理数； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根及平方根的运算，掌握算术平方根和平方根的区别和联系成为解题的关键． 根据算术平方根及平方根的性质逐项化简即可解答． 【详解】解：解：A．，故该选项正确，符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 8，15，17 C. 3，4，5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查勾股数．解题关键在于熟练掌握勾股数的概念． 根据勾股数，必须是正整数，满足两较小数的平方和等于最大数的平方，逐一判断即得． 【详解】A、，是勾股数，此选项错误； B、，是勾股数，此选项错误； C、，是勾股数，此选项错误； D、不是整数，不是勾股数，此选项正确． 故选：D． 4. 三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 先由完全平方公式展开，再由勾股定理的逆定理求解． 【详解】解：， ， ． 此三角形为直角三角形． 故选：B． 5. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（ ） A. 80 平方里 B. 82平方里 C. 84平方里 D. 86平方里 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 6. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A. 10 B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 请写出一个大于1且小于2的无理数：___． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】 【分析】由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可． 【详解】大于1且小于2的无理数可以是等， 故答案为：（答案不唯一）． 8. 若一个正数m的两个平方根是和，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，即可求出即可求出a的值，再进一步求出m的值． 【详解】解：∵m的两个平方根是和， ∴， 解得：， ∴, 故答案为：9． 9. 如图，在中，，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，连接交于点F，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质及尺规作线段垂直平分线；掌握尺规作线段垂直平分线是关键；由勾股定理可求得，由作图知，，即可得的长． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：； 由作图知，， ． 故答案为：5． 10. 如图，某自动感应门的正上方处A装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.7米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则_________米． 【答案】1.5## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中， 由勾股定理得到（米），     故答案为：1.5． 11. 如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）． 【答案】13 【解析】 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点， 连接，则即为最短距离， ∴=5cm，=3cm， ∴BD=12cm， =13（cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 12. 如图，在中，，点从点出发，以每秒1cm的速度沿射线的方向运动．当点运动___________秒时，为等腰三角形． 【答案】或20或32 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的定义和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出的长，设运动时间为，则，当点在线段上，只能，根据勾股定理用表示出，根据题意列出方程，解方程得到答案；当点在线段延长线上，时，即，时，由三线合一即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 设运动时间为，则， ①当点在线段上，如图： ∵， ∴为等腰三角形，只能是， 在中，， 当时，， 解得：； ②当点在线段延长线上， 时，即； ③时，如图： ∵， ∴，即 故答案为：或20或32． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求立方根的方法解方程： （1）先计算算术平方根，立方根和乘方，再计算加减法即可； （2）先移项，未知数的系数化为，再根据求立方根的方法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 14. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了根据算术平方根和立方根求原数，求一个数的立方根： （1）对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，可得 ，，解方程即可； （2）根据（1）所求求出的值，再根据立方根的定义求解即可． 【小问1详解】 解；∵是49的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴， ∴的立方根是． 15. 如图，在Rt△ABC中，已知BC=12，AB=13．求斜边上的高CD长． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可得AC=5，再由，即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，BC=12，AB=13， 由勾股定理得∶， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16. 下面是两个由边长为1的小正方形组成的的正方形网格．请只用无刻度的直尺在网格中各画一个斜边长为5的直角三角形． 要求：（1）所画的直角三角形不全等；（2）直角三角形的顶点均为网格中小正方形的顶点． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查的是作直角三角形，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先作一个直角边长分别为3，4的直角三角形，再利用勾股定理与勾股定理的逆定理作一个直角边长为，的直角三角形即可． 【详解】解：如图，，即为所求； 理由： ∵， ∴， ∵， ∴符合题意； ∵，，， ∴，， ∴， ∴符合题意． 17. 实数在数轴上的对应点位置如图所示，化简： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算：先根据数轴得到，则，再计算立方根和算术平方根以及绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知a，b，c满足， （1）求a，b，c的值； （2）试问以a、b，c为边长能否构成直角三角形？请说明理由． 【答案】（1），，；（2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由非数的性质可分别求得a、b、c的值； （2）利用勾股定理的逆定理可进行判断即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，，； （2）能构成直角三角形，理由如下： ∵a2+b2=4+9=13，c2=13， ∴a2+b2=c2， ∴能构成直角三角形． 【点睛】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键． 19. 政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区．已知，，，，．政府计划投入240万元进行打造，预计每平方米的费用为100元．通过计算说明政府投入的费用是否够用． 【答案】够用 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】 解：连接． ，，， ． ∵， 是直角三角形，且． ∴四边形的面积为： ． 所以所需费用为：（万元）． ， ∴投入的费用够用． 20. 小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得． （1）试说明：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：，，， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）根据垂线性质得到，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得到结论； （2）根据勾股定理求出的长，由（1）可知，利用求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． （1）试说明：； （2）若，求的面积； （3）在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】（1） 解：， ， 则． （2）该飞镖状图案的面积是； （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程，（1）依据图1中的正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）根据四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24得直角三角形的斜边长为6，设，依题意有，进行计算即可得； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得； 掌握勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为24， ∴直角三角形的斜边长为：， 设， 依题意有， ， 解得：， ． 故该飞镖状图案的面积是． 【小问3详解】 解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 六、（本大题共1小题，共12分） 23. 问题探究： 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答： （1）图1中，的取值范围是 ； 方法运用： （2）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．试说明：； （3）如图3，在△ABC中，为的中点，．试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到，在中，由三角形三边的关系得到，据此求解即可 （2）延长到，使，连接，证明，根据全等三角形的性质解答； （3）延长到，使，连接、，，得到，，再根据勾股定理解答． 【详解】解：（1）是中线， ， 又，， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）延长到，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到，使，连接、． ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形三边关系，等角对等边，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $