精品解析：山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

新泰中学2023级高二上学期第一次单元考试 数学试题 2024.10.12 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效； 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知直线过，两点，且，则直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2 已知向量若与、共面，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ） A. 点关于坐标原点对称点的坐标为 B. 点关于平面对称点的坐标为 C. 点在平面上的射影点的坐标为 D. 点在轴上的射影点的坐标为 4. 设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 6. 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 7. 设直线l与圆交于A，B两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线l的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 直线关于对称的直线为 B. 若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为 C 若直线与直线垂直，则 D. 已知点，若直线与线段相交，则取值范围是 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时，平面 D. 当时，到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与平行，则的值为_________. 13. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围______． 14. 若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． （1）求点A的坐标； （2）求直线的方程 16. 已知圆C：，其中． （1）已知圆C与圆：外切，求m值； （2）如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值． 17. 已知空间三点，，. （1）已知点，且，求的值； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积. 18. 在如图所示的六面体中，矩形平面，，，，. （1）设为中点，证明：平面； （2）求二面角大小的正弦值. 19. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新泰中学2023级高二上学期第一次单元考试 数学试题 2024.10.12 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效； 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 4．测试范围：选择性必修第一册第一章、第二章； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知直线过，两点，且，则直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，结合，求得，得到，即可求解. 【详解】因为直线过，两点，可得， 又因为，所以，可得， 设直线的倾斜角为，则，因为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 已知向量若与、共面，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理构造方程组即可求得结果. 【详解】由共面定理可得存在非零实数满足， 可得，解得， 故选：C 3. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ） A. 点关于坐标原点对称点的坐标为 B. 点关于平面对称点的坐标为 C. 点在平面上的射影点的坐标为 D. 点在轴上的射影点的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性特征可判断. 【详解】对于选项A：点关于坐标原点对称点的坐标为，故A正确； 对于选项B：点关于平面对称点的坐标为，故B正确； 对于选项C：点在平面上的射影点的坐标为，故C正确； 对于选项D：点在轴上的射影点的坐标为，故D错误； 故选：D 4. 设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足，则x的值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果. 【详解】空间四点共面，但任意三点不共线， ，解得：. 故选：C 5. 已知直线过定点，向量为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】定点，， 故，所以； 故：， 所以， 所以点到直线的距离． 故选：C． 6. 过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 7. 设直线l与圆交于A，B两点，若线段的中点为，则圆上的点到直线l的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线段的中点为，求得直线AB的方程，再求得圆的圆心到直线AB的距离，由圆上的点到直线l的距离的最大值为求解. 【详解】圆的圆心为（-2，5）， 因为线段的中点为， 所以直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为，即， 圆的圆心到直线AB的距离为： ， 所以圆上的点到直线l的距离的最大值为， 故选：D 8. 在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解. 【详解】解：， 则， ， ， ， ， ， 所以， 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 直线关于对称的直线为 B. 若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为 C. 若直线与直线垂直，则 D. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项A，求出直线关于对称的直线方程即可判断A正确，对选项B，根据直线斜率，即可判断B正确，对选项C，根据两条直线垂直，斜率相乘等于-1，即可判断C正确，对选项D，根据直线恒过定点，画出图形，结合图形即可得到斜率的取值范围，即可判断D错误. 【详解】对选项A，，即交点为. 设直线上点关于对称的点为， 则，即. ， 所以直线关于对称的直线为，即. 故A正确. 对选项B，因为，所以倾斜角为，故B正确. 对选项C，当时，直线，斜率不存在， 直线，斜率为直线，不满足题意，故. 因为两条直线垂直，所以，解得，故C正确. 对选项D，直线恒过定点. ，，如图所示： 因为直线与线段相交， 所以或，故D错误. 故选：ABC 10. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 圆与圆恰有三条公切线，则 D. 已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】 将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：由可得：， 由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确； 对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径， 平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确； 对于选项C：由可得，圆心，， 由 可得， 圆心，，由题意可得两圆相外切，所以， 即，解得：，故选项C正确； 对于选项D：设点坐标为，所以，即， 因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，， 所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为， 整理可得：，与已知圆相减可得， 消去可得：即，由可得， 所以直线经过定点，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛： （1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可. （2）已知，，以线段为直径的圆的方程为： . 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ） A. 当时， B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时，平面 D. 当时，到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的性质定理即可判断A，由棱锥的体积公式代入计算，即可判断B，由面面平行的性质定理即可判断C，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D 【详解】 当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面，所以，故A正确. 当时，.易知到平面的距离为定值2. 因为，所以，故B错误. 当时，，根据正方体结构特征，易证面面面，所以面，故C正确. 当时，，即为的中点， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以平面的法向量为，， 所以到平面的距离，故D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与平行，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，解出即可. 【详解】由于直线与平行，则， 解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题. 13. 直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意求得所以，，从而求得，再根据直线与圆的位置关系可求得点到直线距离，再结合面积公式即可求解. 【详解】因为直线分别与轴，轴交于，两点， 所以，，因此． 因为圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为， 则， 因此直线与圆相离． 又因为点在圆上， 所以点到直线距离的最小值为， 最大值为，即， 又因为面积为， 所以面积的取值范围为． 故答案为： 14. 若直线与相交于点，过点作圆的切线，切点为，则|PM|的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线所过的定点和位置关系，结合圆的性质进行求解即可. 【详解】直线过定点，直线过定点， 显然这两条直线互相垂直，因此在以为直径的圆上，设该圆的圆心为， 显然点的坐标为，所以该圆的方程为， 由圆的切线性质可知：，要想|PM|的值最大，只需的值最大， 当点在如下图位置时，的值最大，即， 所以|PM|的最大值为， 故答案： 【点睛】关键点睛：根据两直线的位置关系确定点的轨迹，利用圆的几何性质是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为． （1）求点A的坐标； （2）求直线的方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点A的坐标，可得AB中点的坐标，且该点在直线上，结合两直线的位置关系列出方程组，解之即可求解； （2）利用点关于直线对称的关系求出点关于直线的对称点的坐标，结合直线的点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 设点，则中点的坐标为， 由题意知点A在直线上，点在直线上， 所以解得 即点A的坐标为． 【小问2详解】 设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上， 设点的坐标为，则点的中点坐标为， 则解得即点的坐标为． 直线的斜率为， 所以直线即的方程为，即． 16. 已知圆C：，其中． （1）已知圆C与圆：外切，求m的值； （2）如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解方程即得解； （2）解方程即得解. 【小问1详解】 解：由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 因为两圆外切， 则， 解得． 【小问2详解】 解：圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得． 的值为． 17. 已知空间三点，，. （1）已知点，且，求的值； （2）求以，为邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示可求得答案； （2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解. 【小问1详解】 解：因为，，又，所以，解得. 【小问2详解】 解：，，，，， ，，所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 18. 在如图所示的六面体中，矩形平面，，，，. （1）设为中点，证明：平面； （2）求二面角大小的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）证得，结合线面平行的判定定理即可证出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的坐标公式求出面角大小的余弦值，进而根据同角的平方关系以及二面角的范围即可求出结果. 【详解】 （1）连接，相交于，因为矩形，所以是中点，又因为为中点，所以，且，又因为，，，所以，且，所以四边形为平行四边形，故，又因为平面，平面，因此平面； （2）因为矩形平面，且矩形平面，又，所以平面，又因为，所以两两垂直，故以坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以, 设平面的法向量为，且，因此，则，取，则， 设平面的法向量为，且，因此，则，取，则， 则， 设二面角的平面角为，又因为二面角的平面角的范围是，所以，故，所以二面角大小的正弦值. 19. 如图所示，等腰梯形ABCD中，∥，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使得D到达点P的位置（平面ABCE）． （1）证明：平面POB； （2）若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，确定Q点位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在；Q为线段PB中点 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直即可由线面垂直的判断求证， （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解线面角，即可求解. 小问1详解】 证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴，∴，， 即，，且，平面POB，平面POB， ∴平面PBO． 【小问2详解】 由（1）可知四边形ABCD为菱形，∴，在等腰梯形ABCD中， ∴正三角形，∴，同理． ∵，∴，∴． 由（1）可知，，O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，，， ∴，，，, 设， ， 设平面AEQ的一个法向量为， 则，即， 取得，，得，所以， 设直线PC与平面AEQ所成角为，，则， 即，化简得，解得． 即Q为线段PB中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$