精品解析：广东省揭阳市 惠来县第一中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

惠来一中2024－2025学年度第一学期练习1 八年级数学试卷 命题人：初二数学备课组 审核人：林贤清 （满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，，，中，无理数的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点﹣“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比表示，这令毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此引发了第一次数学危机．这类“不能用整数或整数的比表示的数”指的是（　　） A. 有理数 B. 无理数 C. 零 D. 负数 3. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 7，8，10 D. 5，， 4. 以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识描述，其中描述错误的是（ ） 甲：16的平方根是 乙：的平方等于5 丙：的平方根是 丁：4的算术平方根是2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 6. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面周长为，高为，则蚂蚁所走过的最短路径是（ ） A. 28 B. 29 C. 25 D. 2 8. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 9. 如图，，，，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（ ） A B. 10 C. D. 10. 如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为　 A 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 相反数是_______． 12. 的平方根是____． 13. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为______． 14. 已知一个正数的平方根是和，则这个正数是______． 15. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____ 三、解答题（一）（本题3题，16题6分，17题8分，18题8分，共22分） 16. 计算： 17. 化简： 18. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求x，y的值； （2）求的立方根． 四、解答题（二）（本题3题，19题9分，20题10分，21题10分，共29分） 19. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，点在中，，，，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 20. 为了推广城市绿色出行，梅江区交委准备在路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，于A，于B，，，，试问这个单车停放点E应建在距点A多少m处，才能使它到两广场的距离相等． 21. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E． （1）试判断△BDE的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，AD＝8，求△BDE的面积． 五、解答题（三）（本题2题，22题12分，23题12分，共24分） 22. 阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：______． （2）解方程：． 23. 如图所示，已知中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm．P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒lcm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts． （1）BC= cm； （2）求当点P在边AC的垂直平分线上时CQ的值； （3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使为等腰三角形的运动时间． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠来一中2024－2025学年度第一学期练习1 八年级数学试卷 命题人：初二数学备课组 审核人：林贤清 （满分120分，考试时间120分钟） 一．选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，，，中，无理数的个数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】，有限小数，是有理数，不是无理数； ，分数，是有理数，不是无理数； ，无限循环小数，是有理数，不是无理数； ， ，， 是无理数，共4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 2. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点﹣“万物皆数”，即一切量都可以用整数或整数的比（分数）表示．后来这一学派中的希帕索斯发现，边长为1的正方形对角线的长度不能用整数或整数的比表示，这令毕达哥拉斯学派感到惊恐不安，由此引发了第一次数学危机．这类“不能用整数或整数的比表示的数”指的是（　　） A. 有理数 B. 无理数 C. 零 D. 负数 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的概念即可解答． 【详解】解：整数属于有理数，整数的比是分数，属于有理数，故“不能用整数或整数的比表示的数”指的是无理数． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了实数的分类和性质，解答此题的关键是熟知以下概念：实数包括有理数和无理数，分数和整数属于有理数． 3. 下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 7，8，10 D. 5，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股逆定理，如果满足最大边的平方等于较小的两边的平方和，那么我们就说该组长度的线段能组成直角三角形，据此即可作答． 【详解】解：A、，则能组成直角三角形，符合题意； B、，则不能组成直角三角形，不符合题意； C、，则不能组成直角三角形，不符合题意； D、，则不能组成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 4. 以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（ ） 甲：16的平方根是 乙：的平方等于5 丙：的平方根是 丁：4的算术平方根是2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的性质依次判断即可． 本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；负数没有平方根；0的平方根是0．熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：16的平方根是，故甲的描述正确； 乙：的平方等于5，故乙的描述正确； 丙：没有平方根，故丙的描述错误； 丁：4的算术平方根是2，故丁的描述正确． 故选：C． 5. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】找到12左右两边相邻的两个可以开方的数，即可解答． 【详解】解：∵， 9<12<16， ∴3<<4， 故选B． 【点睛】本题考查无理数的估算．解题的关键是找到被开方数左右两边相邻的两个能开方的数． 6. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．明确少走的路长为是解题的关键． 【详解】解：如图，点为长方形的顶点，点和点都在长方形的边上且，， ∴， ∴， ∴他们少走的路长为：． 故选：D． 7. 如图，一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面周长为，高为，则蚂蚁所走过的最短路径是（ ） A. 28 B. 29 C. 25 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理,解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点、的最短距离为线段的长． ∵为底面半圆弧长， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 8. 如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 详解】解：如图，连， 则，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质． 9. 如图，，，，，垂足分别是点D、E，，，则的长是（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，先利用证出，根据全等三角形的性质可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：， ， ，， ， ∴， ， 在和中， ， ， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在直角△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长为　 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设，由翻折的性质可知，则，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设，由翻折的性质可知，则． 是BC的中点， ． 在中，由勾股定理得：，即， 解得：． ． 故选B． 【点睛】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到，，从而列出关于x的方程是解题的关键． 二、填空题（本题5小题，每小题3分，共15分） 11. 的相反数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义直接可得答案． 【详解】解：的相反数是 故答案为： 【点睛】本题考查的是相反数的含义，掌握“相反数的含义”是解本题的关键． 12. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 13. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算以及无理数整数部分的有关计算，先得，则的整数部分和小数部分分别是，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴则的整数部分和小数部分分别是， 即， ∴， 故答案为：． 14. 已知一个正数的平方根是和，则这个正数是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式，算出值，再代入得出1，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴ ∴ 则， ∴ ∴这个正数是1． 故答案为：1． 15. 如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为____ 【答案】5 【解析】 【详解】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP+CP=DP+PC′=DC′的值最小． ∵BD=3，DC=1，∴BC=4，∴BD=3，连接BC′，由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45° ∴BC=BC′=4，根据勾股定理可得：DC′==5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键． 三、解答题（一）（本题3题，16题6分，17题8分，18题8分，共22分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．先化简算术平方根、零指数幂、立方根，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，先利用平方差公式、完全平方公式将中括号里的多项式展开再合并，再根据多项式除以单项式的运算法则计算除法即可．掌握相应的公式和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 已知是49的算术平方根，的立方根是． （1）求x，y的值； （2）求的立方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【小问1详解】 解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． 【小问2详解】 解：，， ， ∴的立方根是． 四、解答题（二）（本题3题，19题9分，20题10分，21题10分，共29分） 19. 城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（图中阴影部分）．如图，点在中，，，，． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用： （1）利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∴． 【小问2详解】 解：∵，，，，， ∴在中，， ∴是直角三角形，， ∴ ． 20. 为了推广城市绿色出行，梅江区交委准备在路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，于A，于B，，，，试问这个单车停放点E应建在距点A多少m处，才能使它到两广场的距离相等． 【答案】这个单车停放点E应建在距A点处，它到两广场的距离相等 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理应用，熟练掌握勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键 设，根据点E到两广场C、D的距离相等运用勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】设时，则， ∵E到两广场C、D距离相等， ∴， ∴， 解得：， 答：这个单车停放点E应建在距A点处，它到两广场的距离相等． 21. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E． （1）试判断△BDE的形状，并说明理由； （2）若AB＝6，AD＝8，求△BDE面积． 【答案】（1）△BDE是等腰三角形；（2）18.75． 【解析】 【分析】（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明； （2）设DE=x，则BE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值． 【详解】解：（1）△BDE是等腰三角形， 由折叠可知，∠CBD＝∠EBD， ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴BE＝DE， 即△BDE是等腰三角形； （2）设DE＝x，则BE＝x，AE＝8﹣x， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：x＝， 所以S△BDE＝DE×AB＝××6＝18.75． 【点睛】本题考查矩形的性质和折叠问题，解题突破口是设DE=x，再由勾股定理计算出x的值. 五、解答题（三）（本题2题，22题12分，23题12分，共24分） 22. 阅读下列解题过程 例：若代数式的值是2，求的取值范围 解：原式， 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． ∴的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题： （1）当时，化简：______． （2）解方程：． 【答案】（1）2 （2）的值为或7 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，解绝对值方程．掌握二次根式的性质，绝对值的性质是解题的关键． （1）根据题意可确定，，从而化简二次根式的性质即可； （2）由阅读材料可知，再分类讨论，结合绝对值的性质，化简即可． 【小问1详解】 解：当时，，， ∴． 【小问2详解】 解：原式， 当时，原式，解得，符合条件； 当时，原式，舍去； 当时，原式，解得，符合条件． ∴的值为或7． 23. 如图所示，已知中，∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm．P、Q是的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒lcm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts． （1）BC= cm； （2）求当点P在边AC的垂直平分线上时CQ的值； （3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使为等腰三角形的运动时间． 【答案】（1）12；（2）13cm；（3）当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形． 【解析】 分析】（1）由勾股定理可得：，从而可得答案； （2）画出符合题意的图形，利用垂直平分线的性质得到：， 再利用勾股定理求解时间， 从而可得答案； （3）分三种情况讨论，当 证明， 可得此时的时间，当， 结合已知条件求解时间即可，当时，过B点作BE⊥AC于点E，利用等面积法求解， 再利用勾股定理求解，利用等腰三角形的三线合一可得的长度，从而可得此时的时间， 从而可解答此问. 【详解】解：（1）∵∠B=90°，AB=16cm，AC=20cm ∴BC===12（cm）． 故答案为：12； （2）如图， ∵点P在边AC的垂直平分线上， ∴PC=PA=t，PB=16-t， 在中，， 即 解得：t=． 此时，点Q在边AC上，CQ=2×−12＝13（cm）； （3）①当CQ=BQ时，如图1所示， 则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°．∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ， ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=10， ∴BC+CQ=22， ∴t=22÷2=11秒． ②当CQ=BC时，如图2所示， 则BC+CQ=24， ∴t=24÷2=12秒． ③当BC=BQ时，如图3所示， 过B点作BE⊥AC于点E， 由 ∴BE＝＝＝， ∴CE＝=． ∴CQ=2CE= ∴BC+CQ= ∴t=秒． 综上所述：当t为11秒或12秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，同时考查了等腰三角形中的分类讨论的思想，掌握以上知识是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$