精品解析：四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 （考试时间共120分钟，满分:150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数 B. 某品牌新能源汽车最大续航里程 C. 检测一批灯泡的使用寿命 D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间 2. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3. 已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为（ ） A B. 2 C. D. 3 4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 5. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A B. C. D. 6. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若与互斥，则， C. 若与相互独立，则， D. 若与相互独立，则， 7. 如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，,BC=1,AC=5，则AB= A B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与互斥 C. 事件与对立 D. 事件与对立 10. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 复数的虚部是4i B. 若，则可作为平面向量的一组基底 C. ，若，则 D. ，则在方向上的投影向量为 11. 1990年9月，CraigF.Whitaker给《Parade》杂志“AskMarilyn'"专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门，询问你是否改选为另一扇没有打开的门则以下说法正确的是（ ） A. 若保持原选择，你获得豪车的概率为 B. 若保持原选择，你获得豪车的概率为 C. 若你改选号码，则改选号码获得豪车的概率为 D. 若你改选号码，则改选号码和保持原选择获得豪车的概率相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据7，8，8，10，11，12，14，16，则这组数据的75%分位数是_________. 13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为________． 14. 若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为______. 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校有5名同学准备去某敬老院参加献爱心活动，其中来自甲班的3名同学用A，B，C表示，来自乙班的2名同学用D，E表示，现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （2）设M为事件“抽取2名同学来自同一班”，求事件M发生的概率． 16. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 17. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 （考试时间共120分钟，满分:150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数 B. 某品牌新能源汽车最大续航里程 C. 检测一批灯泡的使用寿命 D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间 【答案】D 【解析】 【分析】结合普查和抽查的适用条件即可求解. 【详解】A ，B选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查； C选项的检测具有毁损性，适合抽查； D选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查， 故选：D. 2. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 月接待游客量逐月增加 B. 年接待游客量逐年增加 C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A 【解析】 【分析】观察折线图，结合选项逐一判断即可 【详解】对于选项A，由图易知月接待游客量每年7，8月份明显高于12月份，故A错； 对于选项B，观察折线图变化趋势可知年接待游客量逐年增加，故B正确； 对于选项C，观察折线图，各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份，故C正确； 对于D选项，观察折线图，各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确. 故选：A 3. 已知一组数据1，2，3，4，5，那么这组数据的方差为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先由平均数的计算公式计算出平均数，再根据方差的公式计算即可． 【详解】由题可得； 所以这组数据的方差 故选：B. 【点睛】本题考查方差的定义：一般地设个数据：的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大，方差越小，波动越小． 4. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表 亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200） 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A. 100块稻田亩产量的中位数小于1050kg B. 100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80% C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间 D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间 【答案】C 【解析】 【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D. 【详解】对于 A, 根据频数分布表可知, , 所以亩产量的中位数不小于 , 故 A 错误； 对于B，亩产量不低于的频数为， 所以低于的稻田占比为，故B错误； 对于C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，故C正确； 对于D，由频数分布表可得，平均值为，故D错误. 故选；C. 5. 若 ， 且 ， 则 和 的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】设的夹角为， 由于，所以， 所以，由于，所以 故选：B 6. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则， B. 若与互斥，则， C. 若与相互独立，则， D. 若与相互独立，则， 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率的基本性质和乘法公式计算即可. 【详解】若，则，，故A错； 若与互斥，则，，故B错； 若与相互独立，则，，故C错，D正确. 故选：D. 7. 如图，三棱柱中，分别是的中点，平面将三棱柱分成体积为（左为，右为）两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由分别是的中点，可得（是三角形的面积，是三角形的面积），由棱台的体积公式可求得，再根据，求得，即可得答案. 【详解】解：设三角形的面积为，三角形与三角形的面积为，三棱柱的高为， 则有，，设三棱柱的体积为， 又因为①，②， 所以③， 由题意可知④， 由①②③④可得， 所以， 所以. 故选：A. 8. 在中，,BC=1,AC=5，则AB= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB. 详解：因为 所以，选A. 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“记下的点数为3”，事件“记下的点数为偶数”，事件“记下的点数小于3”，事件“记下的点数大于2”，则（ ） A. 事件与互斥 B. 事件与互斥 C. 事件与对立 D. 事件与对立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可. 【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为、、、、、共个基本事件， 则事件“记下的点数为偶数”包含、、共个基本事件， 事件“记下的点数小于3” 包含、共个基本事件， 事件“记下的点数大于2”包含、、、共个基本事件， 所以事件与互斥，故A正确； 事件与互斥，故B正确； 事件与不互斥也不对立，故C错误； 事件与互斥且对立，故D正确； 故选：ABD 10. 下列四个命题为真命题的是（ ） A. 复数的虚部是4i B. 若，则可作为平面向量的一组基底 C. ，若，则 D. ，则在方向上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】A项，由虚部为实数可得；B项，由两向量不共线可知；C项，由数量积为0可解；D项，利用公式求出投影向量即可得. 【详解】A项，复数的虚部为，故A错误； B项，， 假设，则存在，使得，则，方程组无解. 假设错误，故与不共线， 所以可作为平面向量的一组基底，故B正确； C项，，若，则， 解得，故C错误； D项，， 则在方向上的投影向量为 ，故D正确. 故选：BD. 11. 1990年9月，CraigF.Whitaker给《Parade》杂志“AskMarilyn'"专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2，3号门中打开一道后面是山羊的门，询问你是否改选为另一扇没有打开的门则以下说法正确的是（ ） A. 若保持原选择，你获得豪车的概率为 B. 若保持原选择，你获得豪车的概率为 C. 若你改选号码，则改选号码获得豪车的概率为 D. 若你改选号码，则改选号码和保持原选择获得豪车的概率相等 【答案】AC 【解析】 【分析】由分析知，获得豪车的概率仍然为可判断A，B；再求出改选号码获得豪车的概率可判断C，D. 【详解】如题意所述，游戏参与者初次选择了1号门， 因为在做选择的时候不知道豪车在哪个门里，故不影响豪车在三个门中的概率分配， 所以获得豪车的概率仍然为，即A正确，B错误； 在选择了1号门的前提下，有以下几种可能的情况： 豪车在1号门里，主持人打开2，3号门的其中一扇门，此时更改号码，则没有获得豪车； 豪车在2号门里，主持人只能打开3号门，此时更改号码，则获得豪车； 豪车在3号门里，主持人只能打开2号门，此时更改号码，则获得豪车； 综上所述，若选择更改号码，则获得豪车的概率为；即C正确，D错误； 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据7，8，8，10，11，12，14，16，则这组数据的75%分位数是_________. 【答案】13 【解析】 【分析】根据百分位数公式，即可求解. 【详解】共8个数据，，则第分位数是第6个和第7个数据的平均数， 即. 故答案为：13 13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为3：4：7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中的A型号产品有15件，那么样本容量n为________． 【答案】70 【解析】 【分析】利用分层抽样的定义得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：70 14. 若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设元件正常工作的概率为，当系统正常工作时，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】设元件正常工作概率为，系统正常工作，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作， 由题意可得，系统正常工作的概率为，解得. 故答案为：. 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某校有5名同学准备去某敬老院参加献爱心活动，其中来自甲班的3名同学用A，B，C表示，来自乙班的2名同学用D，E表示，现从这5名同学中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （1）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； （2）设M为事件“抽取的2名同学来自同一班”，求事件M发生的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列举即可； （2）利用古典概型公式计算即可. 【小问1详解】 从这5名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：，，，，，，，，，，共10种； 【小问2详解】 抽取的2名同学来自同一班的所有可能结果为：，，，，共4种， ∴． 16. 某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可得； （2）利用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式计算即可得. 【小问1详解】 记“甲家庭回答正确这道题”为事件A，“乙家庭回答正确这道题”为事件B， “丙家庭回答正确这道题”为事件C， 则，，， 即，， 所以，， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，； 【小问2详解】 有3个家庭回答正确的概率为， 有2个家庭回答正确的概率为： ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 17. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解之可得； 【小问2详解】 根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 18. 如图，四棱锥的侧面是边长为2的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点. （1）求四棱锥的体积； （2）证明：； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先由面面垂直证明为棱锥的高，再根据棱锥的体积公式计算即可； （2）由线面垂直判定定理证明平面即可； （3）设，连接，找到为直线与平面所成的角，由等面积法求出，再有勾股定理求出，最后计算正弦值即可； 【小问1详解】 因为侧面是边长为2的正三角形，为的中点， 所以，， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，即为棱锥的高， 因为底面为正方形， 所以四棱锥的体积为， 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 在正方形中，易知与全等， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 【小问3详解】 设，连接， 因为平面， 所以为直线与平面所成的角（或补角）， 在中，，又， 即，所以， 又在中，， 所以. 19. 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． （1）求角C的大小； （2）若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； （3）若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）若选条件①，根据正弦定理边化角，再化简得，可解角C；若选条件②．根据正弦定理边化角，再利用三角函数恒等变形化简得可解角C；若选条件③，直接由，结合三角函数恒等变形化简得可解角C； （2）在中，根据余弦定理，解得，又，得，从而得解； （3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则， 所以； 若选条件②， 由正弦定理得， 所以 ， 即， 即，整理得，即． 因为，所以， 所以． 若选条件③， 在中，因为，， 所以， 即， 化简得． 又，则，故． 因为，所以． 【小问2详解】 在中，根据余弦定理， 有， 即，解得或（舍去）， 依题意，， ， 即，则， 所以． 【小问3详解】 依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且， 则，所以． 又，则，所以． 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$