精品解析：四川省宜宾市筠连县民主初级中学2023-2024学年九年级下学期第一次检测数学试题

民主中学2024春期九年级数学第一次月考 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2. “厚德开泰，奋发图兴”是130万泰兴人的不懈追求，130万用科学记数表示为( ) A. 13×105 B. 1.3×106 C. 1.3×107 D. 1.3×109 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】将130万用科学记数法表示为1.3×106． 故选B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．解题关键在于掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 如图，则化简 的结果为（　　） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴、化简绝对值和化简二次根式，先从数轴判断出a的取值范围，在依次化简绝对值和二次根式即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴， 故选：D． 4. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了函数自变量的取值计算，正确掌握二次根式被开方数的要求及分式分母的特点是解题的关键．根据二次根式的被开方数的取值大于等于零，以及分式的分母不等于零列式计算可得． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， x的取值范围为且． 故答案为：B． 5. 不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再求出两解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得． 不等式组的解集为， 故选：B． 6. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数定义，形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、化简后，不含二次项，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 7. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据图象的平移规律“左减右加，上加下减”解答即可． 【详解】解：∵抛物线先向左平移2个单位， ∴， ∵抛物线向下平移3个单位， ∴， 故选：A． 8. 二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质，直接利用二次函数图形得出、、的符号，进而得出答案．熟练掌握两种函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由二次函数图象可知，，，，则， 则的函数图象经过第一、三象限， 的函数图象经过第一、二、四象限， 即两个函数图象都要经过第一象限，而B选项只有一个经过，则B选项不可能是两个函数的图象， 故选：B． 10. 已知二次函数，当时，函数y的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，确定函数的对称轴和开口方向是解题关键． 【详解】解：由题意得：二次函数的对称轴为直线， ∵，函数图象开口向上， 又 ∴当时，函数有最大值，此时， 故选：D 11. 已知抛物线过，，且它与x轴只有一个公共点，则c的值是（　　） A. 4 B. C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线过，，可得抛物线的对称轴是直线，结合它与x轴只有一个公共点，可得，即可求解. 【详解】解：∵抛物线过，， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴只有一个公共点， ∴，解得； 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数的相关知识，正确理解题意、明确解答的方法是关键. 12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点坐标得到对称轴表达式，根据二次函数的对称性，得到x=-2和x=4时y的值关于对称轴对称，即可判断①； 结合①中结论，根据函数图像即可判断②； 首先根据对称轴得到a和b的关系，然后根据顶点坐标得到a和c的关系，求出当x=4时，y的值即可判断③； 根据二次函数与一元二次方程的关系，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1为函数y=a(x+1)(x﹣3)和直线y=-1的交点，即将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时，新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判断④． 【详解】①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为 ∴函数的对称轴为x＝ ∴根据二次函数的对称性，当x=-2和x=4时，y的值相等 ∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0 于是①的结论正确； ②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为 ∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2， 于是②错误； ③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3a＝5a， ∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a， 于③错误； ④∵方程有两个实数根x1和x2，且x1＜x2， ∴抛物线与直线y＝﹣1交点的坐标和 ∵抛物线时，x＝﹣1或3， 即抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0）， ∴﹣1＜x1＜x2＜3， 于是④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，二次函数和一元二次方程，二次函数和不等式，题目综合性较强，熟练掌握二次函数的基本知识并灵活运用是本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 为了解某品牌的1000台电视机的质量，把这1000台电视机全部编上序号，然后用抽签的方式抽取50台进行检验，这样抽样的方法是________________，这种方法________（填“具有”或“不具有”）代表性． 【答案】 ①. 简单随机抽样 ②. 具有 【解析】 【分析】本题考查简单随机抽样，为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查，具有随机性和广泛性． 【详解】解：把这1000台电视机全部编上序号，然后用抽签的方式抽取50台进行检验，这样抽样的方法是简单随机抽样，用抽签的方式抽取样本，每个个体抽到的机会相等，这样抽样的方法具有代表性． 故答案为：简单随机抽样，具有． 14. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的除法，单项式除以单项式的法则．单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式． 根据单项式除以单项式的法则计算． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 15. 分解因式________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式，即可进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握完全平方公式． 16. 若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案：四． 17. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为_____m． 【答案】. 【解析】 【分析】先建立适当的平面直角坐标系，然后根据题意确定函数解析式，最后求解即可. 【详解】解：如图： 以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系， 根据题意，得A（5，0），C（0，5）， 设抛物线解析式为：y＝ax2+5， 把A（5，0）代入，得a＝﹣ ， 所以抛物线解析式为：y＝﹣x2+5， 当x＝3时，y＝， 所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为m． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，建立适当的平面直角坐标系是解决本题的关键. 18. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，若与相似，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形：当时，，此时，当时，，此时，分别求解即可． 【详解】解：对于抛物线，令，得，则， 令，可得，解得或， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵， 当时，，此时， 把代入，得， 解得：，（舍去）, ∴， 把代入，得， ∴， 当时，，此时， 过点作轴于． 设， ，， ， ， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， 综上所述，满足条件的点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的知识，二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 三、解答题 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算，解一元二次方程，熟知零指数幂及负整数指数幂、二次根式的性质及化简； （1）根据零指数幂及负整数指数幂的计算法则、二次根式的性质及化简； （2）利用配方法求出的值即可． 【详解】解：（1） ； （2） 两边开方得， 即，． 20. 已知关于的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，求出此方程的判别式得：，即可得到答案， （2）利用公式法求得方程的两个根，利用“方程的两个根分别为，，其中，若”，得到关于的一元一次方程，解之即可 本题考查了根与系数的关系和根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程． 【小问1详解】 证明：根据题意得： ， 此方程有两个不等的实数根， 【小问2详解】 解：方程的两个根分别为，，其中，若， 由（1）知，， ， ，， ， 解得：， 即的值为． 21. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数； （4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 【答案】（1）600；（2）见解析；（3）3200；（4） 【解析】 详解】（1）60÷10%=600（人）． 答：本次参加抽样调查的居民有600人． （2）如图， （3）8000×40%=3200（人）． 答：该居民区有8000人，估计爱吃D粽的人有3200人． （4）如图； 共有12种等可能的情况，其中他第二个吃到的恰好是C粽的有3种， ∴P（C粽）==． 答：他第二个吃到的恰好是C粽的概率是． 22. 某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元，今年二月份型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元，在卖出相同数量的型汽车的前提下，二月份的销售额为320万元． （1）求今年二月份每辆型汽车的售价． （2）经过一段时间后，该销售公司发现，型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元，销售量会减少2辆，已知型汽车的进价不变，每辆12万元，那么如何确定售价才可以获得最大利润？ 【答案】（1）今年二月份每辆型汽车的售价为16万元； （2）当每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的应用、分式方程的应用． （1）设今年二月份每辆型汽车的售价为万元．根据卖出相同数量的A型汽车列方程，解方程并检验即可得到答案； （2）设每辆型车的售价为元，利润为元．列出w关于a的二次函数，根据二次函数的性质求出答案即可； 【小问1详解】 解：设今年二月份每辆型汽车的售价为万元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是分式方程的解且符合题意． 答：今年二月份每辆型汽车的售价为16万元； 【小问2详解】 解：设每辆型车的售价为元，利润为元． 根据题意，得， ， ∴当每辆型车的售价为19万元时，可以获得最大利润，且最大利润为98万元． 23 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式． （1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标； （2）求出、B关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案． 【小问1详解】 把和代入得： ， 解得， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 如图： 点关于对称轴直线的对称点，点关于对称轴直线的对称点， 由图像可得，当时，的范围是或 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B，与y轴交于点C．直线经过点B与x轴交于点D，连结． （1）求直线的关系式； （2）求的面积； （3）连接、，判定四边形形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）平行四边形，见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键， （1）利用反比例函数求出点和点，代入计算即可； （2）利用三点的坐标和面积公式计算即可； （3）求出点坐标，可得到，即可判定四边形形状． 【小问1详解】 解：设点， 将，代入， 得：， ∴，， 将点和点，代入中得： ∴． 【小问2详解】 解：由题可得：， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵ ∴当时， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴四边形平行四边形． 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）； （2）存在，最大值为； （3）解：不存在．理由如下： ∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为， ∴， 解得或， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 点的坐标为，点的坐标为， 此时，，， ，则不是以为腰的等腰直角三角形， ∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：对于直线， 令，则， ∴， 设，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴时，的值随的增大而增大， ∴当，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民主中学2024春期九年级数学第一次月考 一、单选题（每小题4分，共48分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. “厚德开泰，奋发图兴”是130万泰兴人的不懈追求，130万用科学记数表示为( ) A. 13×105 B. 1.3×106 C. 1.3×107 D. 1.3×109 3. 如图，则化简 的结果为（　　） A. B. 1 C. D. 4. 函数中，自变量的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 5. 不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，是二次函数的是（　　） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数，当时，函数y的最大值为（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 19 11. 已知抛物线过，，且它与x轴只有一个公共点，则c的值是（　　） A. 4 B. C. 6 D. 9 12. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 为了解某品牌的1000台电视机的质量，把这1000台电视机全部编上序号，然后用抽签的方式抽取50台进行检验，这样抽样的方法是________________，这种方法________（填“具有”或“不具有”）代表性． 14. 计算：___________． 15. 分解因式________． 16. 若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第______象限． 17. 如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为_____m． 18. 如图，二次函数的图像与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图像于点，交轴于点，若与相似，则点的坐标为______． 三、解答题 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 已知关于的方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的两个根分别为，，其中，且，求的值． 21. “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗．我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）． 请根据以上信息回答： （1）本次参加抽样调查的居民有多少人？ （2）将两幅不完整的图补充完整； （3）若居民区有8000人，请估计爱吃D粽的人数； （4）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小王吃了两个．用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率． 22. 某新能源汽车销售公司去年二月份的销售额为300万元，今年二月份型汽车的售价比去年同期每辆涨价1万元，在卖出相同数量的型汽车的前提下，二月份的销售额为320万元． （1）求今年二月份每辆型汽车的售价． （2）经过一段时间后，该销售公司发现，型汽车的售价在二月份的基础上每涨1万元，销售量会减少2辆，已知型汽车的进价不变，每辆12万元，那么如何确定售价才可以获得最大利润？ 23. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点B，与y轴交于点C．直线经过点B与x轴交于点D，连结． （1）求直线的关系式； （2）求的面积； （3）连接、，判定四边形形状，并说明理由． 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； （3）点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $