精品解析：江苏省海安高级中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题

数学 一､单项选释题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，集合，集合，若，则值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 4 D. 4. 满足的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 设全集，，，则集合为（ ） A. B. C. D. 6. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 7. 已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 已知是实数，则“”成立的充分不必要条件是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “且”是“”的充分不必要条件 D. “”是的必要不充分条件 11. 关于的不等式成立的必要不充分条件是，则下列叙述正确的是（） A. 的最小值为6 B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集中整数解最少3个 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知集合，，且，则集合________． 13. 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值，则每次购买该种货物的吨数是______时，一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是______万元. 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a=________． 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值； （2）证明：若，，则．并写出等号成立的条件． 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）设全集，求集合； （2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 17 已知函数． （1）已知关于x不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； （2）解关于x不等式． 18. 实验室需要制作带盖的长方体铁皮容器，如图所示． （1）若要求长方体铁皮容器的容积为32000，高为20cm，求底面边长AB为何值时，用料最少？ （2）已经制作好的①、②、③、④四个长方体铁皮容器，其中①、②的底面积都是，高分别是③、④的底面积都是，高分别为（其中），现甲、乙两人做游戏，每人每一次都从四个容器中取两个，以所取容器盛水总和多者为胜，若甲先取，问甲有没有必胜的方案，若有的话是什么方案，并证明你的结论；若没有的话，说明理由． 19. 已知集合A为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 一､单项选释题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，集合，集合，若，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合元素的性质可求的值，故可得正确的选项. 【详解】因为，所以，，故， 故选：C 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式可得正确答案. 【详解】命题“，”的否定就是把任意改为存在且大于零改为小于等于零， 故其否定为：，， 故选：A. 3. 设，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：D. 4. 满足的集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件知必含元素，元素中，可含个、个、个、个，即可求解. 【详解】因，则集合必含元素，元素中，可含个、个、个、个，所以集合A的个数为， 故选：C. 5. 设全集，，，则集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用韦恩图可求集合. 【详解】由题设可得如下韦恩图： 而，故， 故， 故选：B. 6. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确． 考点：不等式的性质 7. 已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项. 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故， 故， 综上，， 故选：A. 8. 设集合，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的运算和一元二次不等式的求解即可得到答案； 【详解】若中恰含有3个整数且可得， 若，由集合可得，不符合题意； 若，由集合可得， 此时，因为，所以， 所以实数a的取值范围是， 故选：B. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，利用作差法，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】因为， 对于选项A，由，，得到，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到，所以选项B错误， 对于选项C，因为，又， 当时，，当时，，当，，所以选项C错误， 对于选项D，由，得到，所以选项D正确. 故选：AD. 10. 下列叙述正确的是（ ） A. 已知是实数，则“”成立的充分不必要条件是“” B. “”是“”的充分不必要条件 C. “且”是“”的充分不必要条件 D. “”是的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的判断方法，逐一对各个选项分析判断，即可求出结果. 【详解】对于选项A，当，时，推不出，即“”不是“”的充分条件，所以选项A错误， 对于选项B，当，则且，显然有，即可以推出， 当，则或，不一定有，即推不出，所以选项B正确， 对于选项C，当且，显然有，即且可以推出， 当，取，显然有，但不满足且，即推不出且，所以选项C正确， 对于选项D，由，得到或，所以推不出， 当时，显然有，即可以推出，即“”是的必要不充分条件，所以选项D正确， 故选：BCD. 11. 关于的不等式成立的必要不充分条件是，则下列叙述正确的是（） A. 的最小值为6 B. 关于的不等式的解集为 C. 关于的不等式的解集中整数解最少3个 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据条件关系可得,根据基本不等式可判断A的正误,利用配方法可判断B的正误;根据所求得的可判断CD的正误. 【详解】即为, 而关于的不等式成立的必要不充分条件是, 故, 所以,故. 对于A,因为, 当且仅当,即时等号成立; 故的最小值为6,故A正确; 对于B,因为,故,故的解集为,故B正确; 对于的解为, 因为,故不等式的解中至少有整数,故C错误; 对于D,因为,故,故,故D正确; 故选:ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，且，则集合________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 13. 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值等于每次的购买吨数数值，则每次购买该种货物的吨数是______时，一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是______万元. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设每次购买该种货物的吨数为吨，则一年的总运费与总存储费用为，利用基本不等式可求最小值及何时取最小值. 【详解】设每次购买该种货物的吨数为吨，则共买次，其中， 故一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和为， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 故每次购买该种货物的吨数为吨时， 一年的总运费与总存储费用（单位：万元）之和最小，最小值是（万元） 故答案为：. 14. 已知当时，不等式恒成立，则实数a=________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据因式符号可得且为方程的实数根，故可求的值. 【详解】若，则当时，， 故在上恒成立，但的图象为抛物线， 它的开口向上，故矛盾，舍； 故，故时，，故， 当时，，故， 考虑的解，因为，故此方程必有两个不同的解， 而，故此方程有且仅有一个正实根， 故为方程的正实根，故， 故， 故答案为： 四､解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的最大值； （2）证明：若，，则．并写出等号成立的条件． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求最大值； （2）利用基本不等式可证题设中的不等式成立，结合取等条件可得等号成立的条件. 【详解】（1）因为，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. （2）由基本不等式有，当且仅当时等号成立， 同理，当且仅当时等号成立， 故即，当且仅当时等号成立. 16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，集合. （1）设全集，求集合； （2）设集合，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先解不等式求出集合、，再根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，即可得到，解得即可. 【小问1详解】 由，即，解得， 又不等式的解集为，则. 由，等价于，解得， 又不等式的解集为，则， 所以，则； 【小问2详解】 因为“”是“”的必要条件，所以， 所以，解得， 即实数取值范围是. 17. 已知函数． （1）已知关于x的不等式的解集为，若存在，使关于x的不等式有解，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据不等式的解可求的值，从而可得关于的不等式，故可求的范围； （2）就分类讨论后可得不等式的解集. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以且两个根为， 所以，故， 因为不等式在上有解，故或， 故. 【小问2详解】 即为， 故， 若，则，此时不等式的解为； 若，则，此时不等式的解为； 若， 若，则或，此时不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则或，此时不等式解为； 综上：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 18. 实验室需要制作带盖的长方体铁皮容器，如图所示． （1）若要求长方体铁皮容器的容积为32000，高为20cm，求底面边长AB为何值时，用料最少？ （2）已经制作好的①、②、③、④四个长方体铁皮容器，其中①、②的底面积都是，高分别是③、④的底面积都是，高分别为（其中），现甲、乙两人做游戏，每人每一次都从四个容器中取两个，以所取容器盛水总和多者为胜，若甲先取，问甲有没有必胜的方案，若有的话是什么方案，并证明你的结论；若没有的话，说明理由． 【答案】（1）当时，用料最省. （2）甲有必胜的方案，方案见解析. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可求何时用料最省； （2）先求出各长方体的体积，根据的大小可得4个体积的大小，故可得甲必胜的方案. 【小问1详解】 设长方体的长和宽分别为，则， 而长方体的表面积为： ， 当且仅当时等号成立，故当时，用料最省. 【小问2详解】 由题设有①的体积为，②的体积为，③的体积为，④的体积为， 若甲先取，甲有必胜的的方案，方案如下： 若，则，此时甲先取①②，则所取容器盛水总和最多，故甲此时获胜； 若，则，此时甲先取③④，则所取容器盛水总和最多，故甲此时获胜； 19. 已知集合A为非空数集，定义：， （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】（1），. （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，其中，求出相应的，通过建立不等关系，进而求出相应的值． 【小问1详解】 由题设中的定义可得：，. 【小问2详解】 取，则，而， 且，故，又， 而均为中元素且非零，故即， 故. 【小问3详解】 设，其中， 不妨设， 则， 所以， 因为， 又因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为，， 所以， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为，于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$