精品解析：江西省赣州市南康区第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

南康三中2024—2025学年第一学期第一次大考 高二年级数学试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 出题人：刘巧 审题人：陈友尧 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线方向向量的定义和直线斜率与方向向量的关系直接求解即可. 【详解】由得，， 所以直线的一个方向向量为， 而，所以也是直线一个方向向量. 故选：B. 2. 下列关于复数（i为虚数单位）的说法错误的是（ ） A. z的共轭复数为 B. C. z的虚部为 D. 【答案】A 【解析】 【分析】A选项，根据复数的除法运算法则计算；B选项，根据复数乘方运算法则计算；C选项，根据虚部的定义判断；D选项，根据模的公式计算. 【详解】，故A错； ，故B正确； 的虚部为，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 3. 已知椭圆与各边平行于坐标轴的矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的对称性可知椭圆的长轴与短轴长，进而可得离心率. 【详解】由椭圆的对称性可知，，则，， 所以， 所以的离心率为， 故选：A. 4. 已知直线，直线，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件化简即可得解. 【详解】因为或， 所以是的充分不必要条件． 故选：A． 5. 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件求得，，，再根据椭圆的定义可求解. 【详解】由题意有，，，解得：，，，而根据椭圆上的点到焦点的距离和等于的性质，得到周长为. 故选：B 6. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角余弦值为（    ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【详解】由得， 所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， 由于， 所以， 由二倍角公式可得， 故选：B. 7. 已知两直线和的交点是，则过两点、的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 将点的坐标代入两直线的方程，可得出，可得出点、的坐标满足直线方程，再利用两点确定一条直线可得出直线的方程. 【详解】将点的坐标代入两直线的方程，得， 所以，点、的坐标满足直线方程， 由于两点确定一条直线，所以，直线的方程为. 故选：C. 【点睛】本题考查直线方程的求解，推导出点、的坐标满足直线方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 8. 已知曲线，则的最大值，最小值分别为（　　） A. ＋2，－2 B. ＋2， C. ，－2 D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可． 【详解】由，可知，， 且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示： 又因为表示半圆上的动点与点的距离， 又因为， 所以的最小值为， 当动点与图中点重合时，取最大值， 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l的一个法向量为 B. 若直线m：，则 C. 点到直线l的距离是2 D. 过与直线l平行的直线方程是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A：根据直线方向向量与斜率之间的关系分析判断；对于B：根据直线垂直分析判断；对于C：根据点到直线的距离公式运算求解；对于D：根据直线平行分析求解. 【详解】对于A，因为直线l：的斜率， 但，可知不为直线l的一个法向量，故A错误； 对于B，因为直线m：的斜率，且， 所以直线l与直线m不垂直，故B错误； 对于C，点到直线l的距离，故C正确； 对于D，过与直线l平行的直线方程是，即，故D正确． 故选：CD. 10. 关于复数，下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C D. 若是关于的方程：的根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据虚数单位乘方的周期性可判断A选项，设根据复数的四则运算及模长公式可判断BC选项，再根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根于系数关系，判断D选项. 【详解】A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误； 设， B选项：由，则，且， 则，， 又，所以当时取最小值为，B选项正确； C选项：，，， 所以，C选项错误； D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足， 且与互为共轭复数，由可知， 则，即，D选项正确； 故选：BD. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最小值是-7 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A,令，即，根据题意，由圆心到直线的距离求解判断；对于B，根据直线恒过定点，求得判断；对于C，由点是圆外一点，得到判断；对于D，由圆与圆相交求解判断. 【详解】对于A，令，即， 因为点在圆上， 则圆心到直线的距离，即， 解得或，所以无最小值，故A错误； 对于B，因为直线，则，解得， 则其恒过定点， 则， 因为以为端点的线段相交， 所以或，故B错误； 对于C，因为点是圆外一点，所以， 圆心到直线的，则与圆相交，故C正确； 对于D，圆，圆， 圆心距为， 因为圆上恰有两点到点的距离为1， 所以两圆相交，则， 解得，故D正确； 故选：CD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆在点处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到点在圆上，从而得到切线的斜率为，即可求出结果. 【详解】因为圆的圆心为，， 易知点在圆上，又，所以切线的斜率为， 故切线方程为，即. 故答案为：. 13. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆方程的特征得到不等式，求出实数k的取值范围. 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 故答案为： 14. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，作出点的轨迹，将问题转化为点到圆的距离问题，从而得解. 【详解】由题意得，圆，圆心，半径， 设点，则， 故点的轨迹为如下所示的正方形，其中，， 则，， 则，即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，本题解决的关键是将点的曼哈顿距离转化为图形，从而利用数形结合即可得解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线和点． （1）求经过点，且与直线平行的直线的方程； （2）求经过点，且与直线垂直的直线的方程； （3）求点关于直线对称的点的坐标； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设所求直线方程为，代入点可得结果； （2）根据直线垂直可得所求直线斜率，代入点即可求解； （3）设点关于直线对称的点的坐标，利用垂直和中点坐标关系解方程组可得结果. 【小问1详解】 可设所求直线方程为 将点代入得，解得 所以所求直线方程为； 【小问2详解】 可设所求直线方程为， 将点代入得，解得， 所以所求直线方程为； 【小问3详解】 设点关于直线对称的点的坐标为， 则有，解得， 即所求点的坐标为； 16. 已知过原点的动直线与圆． （1）求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围； （2）当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可； （2）设坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用坐标表示M坐标，消参化简即可. 【小问1详解】 圆，整理可得标准方程为， 圆的圆心坐标为，半径为2． 设直线的方程为，即， 直线与圆相交， 圆心到直线的距离， 解得， 即的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）知直线的方程为，． 设, 将直线与圆的方程联立，可得． 由根与系数的关系可得，所以． 线段的中点的轨迹的参数方程为， 其中，则，即 消去得， 线段的中点的轨迹的方程为，其中． 17. 如图，已知平面，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，所以，从而平面，再由中位线得到，得到平面，证明出面面平行，得到线面平行； （2）由平面，得到平面平面，由三线合一得到，从而得到线面垂直； （3）由（1）得，所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由线面垂直得到即为直线与平面所成角，结合勾股定理求出各边长，得到，求出，得到答案. 【小问1详解】 取中点，连接，，，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为点为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面平面， 所以平面， 【小问3详解】 由（1）得四边形为平行四边形，所以， 所以直线与平面所成角和直线与平面所成角相等， 因为平面，所以即为直线与平面所成角， 因为点为中点，， 所以， 所以，由，所以， 所以直线与平面所成角为． 18. 已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C标准方程； （2）设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程； （3）若Q是直线上的动点，过点Q作圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，探究：直线MN是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由. 【答案】（1） （2）或. （3）过定点 【解析】 【分析】（1）求圆的方程,需要三个独立条件,一般设标准式,代入三个条件,解方程组即可;本题也可设成圆的一般式 ,再将两个点坐标代入,解方程组可得. （2）涉及圆中弦长问题，一般利用垂径定理，即将弦长条件转化为圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，注意验证直线斜率不存在的情形. （3）根据题意求出以为圆心，为半径的圆的方程与圆的方程作差，即可得到直线的方程，从而得到定点坐标. 【小问1详解】 设圆的圆心坐标为， 依题意，有， 解得，所以， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 依题意，圆的圆心到直线的距离为， （1）若直线的斜率不存在，则，符合题意，此时直线的方程为. （2）若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则，解得. 此时直线的方程为 综上，直线的方程为或. 【小问3详解】 根据题意，设，又因为QM、QN是过圆做的两条切线，则 则是圆与以为圆心，为半径的圆的两圆的公共弦， 且以为圆心，为半径的圆的方程为① 且圆方程为② 所以①②可得即为直线的方程 令解得，则直线必过点 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程. （3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 【答案】（1） （2） （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）设，由列方程，化简后求得圆的方程. （2）根据直线和圆相切、圆与圆的位置关系等知识求得直线的方程. （3）根据三角换元以及三角函数值域的知识求得正确答案. 【小问1详解】 设，由得， 即， 整理得①. 【小问2详解】 ，所以以为直径的圆的方程为， 即②， ①-②并整理得直线的方程为. 【小问3详解】 依题意，满足， ， 设， 所以 ， 所以最大值为，最小值为. 【点睛】求解相交两圆的公共弦所在直线方程的方法，是将两个圆的方程作差，化简后即可求得公共弦所在直线方程.求解最值有关的问题，可以根据表达式的结构，选择二次函数的性质、基本不等式、换元法等知识来求得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南康三中2024—2025学年第一学期第一次大考 高二年级数学试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 出题人：刘巧 审题人：陈友尧 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于复数（i为虚数单位）的说法错误的是（ ） A. z的共轭复数为 B. C. z的虚部为 D. 3. 已知椭圆与各边平行于坐标轴的矩形的四条边都相切，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，直线，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 短轴长为，离心率的椭圆两焦点为，过作直线交椭圆于两点，则的周长为 A. B. C. D. 6. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（    ） A. B. C. D. 6 7. 已知两直线和的交点是，则过两点、的直线方程是 A. B. C. D. 8. 已知曲线，则最大值，最小值分别为（　　） A ＋2，－2 B. ＋2， C. ，－2 D. ， 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知直线l：，则下列结论正确的是（ ） A. 直线l的一个法向量为 B. 若直线m：，则 C. 点到直线l的距离是2 D. 过与直线l平行的直线方程是 10. 关于复数，下列说法正确是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. D. 若是关于的方程：的根，则 11. 下列结论正确的是（ ） A. 已知点在圆上，则的最小值是-7 B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 圆在点处的切线方程为__________. 13. 方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是__________. 14. “曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式，其定义如下：设，，则，两点间的曼哈顿距离已知，点在圆上运动，若点满足，则的最大值为_________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知直线和点． （1）求经过点，且与直线平行的直线的方程； （2）求经过点，且与直线垂直的直线的方程； （3）求点关于直线对称的点的坐标； 16. 已知过原点的动直线与圆． （1）求直线与圆相交时，它斜率的取值范围； （2）当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程． 17. 如图，已知平面，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角大小． 18. 已知圆C经过，两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）设直线l经过点，且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程； （3）若Q是直线上的动点，过点Q作圆C的两条切线QM、QN，切点分别为M、N，探究：直线MN是否恒过定点.若存在请写出坐标；若不存在请说明理由. 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. （1）求圆的方程； （2）过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程. （3）若点，当在上运动时，求的最大值和最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $