吉林省东北师范大学附属中学2015-2016学年高二理科选修2-2【教案】13 导数在研究函数中的应用

高二数学【教案】 课题：函数的单调性与导数(2) 例3：如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解： 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭”； 反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数在或内的图像“陡峭”， 在或内的图像“平缓”． 例4：求证：函数在区间内是减函数． 证明：因为 当即时，，所以函数在区间内是减函数． 说明：证明可导函数在内的单调性步骤： （1）求导函数； （2）判断在内的符号； （3） 做出结论：为增函数，为减函数． 例5：已知函数 在区间上是增函数，求实数的取值范围． 解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得： 所以实数的取值范围为． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数单调区间 （3）证明可导函数在内的单调性 六．布置作业 $$ 高二数学【教案】 课题：函数的极值与导数（1课时） 课时：10 课型：新授课 教学目标 1 知识与技能 〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 2 过程与方法 结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。 3 情感与价值 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 重点：利用导数求函数的极值 难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件 教学过程 〈一〉创设情景，导入新课 1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ （提问学生回答） 2．观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题 （1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数在t=a处的导数是多少呢？ （2）在点t=a附近的图象有什么特点？ （3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律？ 共同归纳: 函数h(t)在a点处h/(a)=0,在t=a的附近,当t＜a时,函数单调递增, ＞0;当t＞a时,函数单调递减, ＜0,即当t在a的附近从小到大经过a时, 先正后负,且连续变化,于是h/(a)=0. 3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢？ <二>探索研讨 1、观察1.3.9图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题： （1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? （2） 函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少? （3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢? 2、极值的定义: 我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； 点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。 极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值. 3、通过以上探索，你能归纳出可导函数在某点x0取得极值的充要条件吗？ 充要条件：f(x0)=0且点x0的左右附近的导数值符号要相反 4、引导学生观察图1.3.11，回答以下问题： （1）找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？ （2）极大值一定大于极小值吗？ 5、随堂练习: 1 如图是函数y=f(x)的函数,试找出函数y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.如果把函数图象改为导函数y=的图象? <三>讲解例题 例4 求函数的极值 教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点； ②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值. 学生动手做,教师引导 解:∵