精品解析：江苏省盐城市五校联盟校2024-2025学年高二上学期第一次学情调研（10月）数学试题

2024/2025学年第一学期 联盟校第一次学情调研检测高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. 1或 B. C. D. 或 3. 已知圆：与圆：外切，则值为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 21 4. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 5. 已知直线方程：，若不经过第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与曲线的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知圆经过点，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段为坐标原点）长度的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 8. 实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 11. 已知圆和圆的交点为，，则下列结论中正确的是（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段中垂线方程为 D. 若为圆上的一个动点，则三角形周长的最大值为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 两条平行直线与之间的距离是_______． 13. 已知圆，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是______． 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，若动点P满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为1，则满足条件的一条直线的方程为__________. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 16 已知直线和点 （1）求点关于直线的对称点的坐标； （2）求直线关于点对称的直线方程. 17. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 18. 如图，已知圆，点. （1）求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 19. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、． （Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段长度最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024/2025学年第一学期 联盟校第一次学情调研检测高二年级数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分． 2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上． 3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 1. 直线 的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率，利用倾斜角的公式即可算出所求直线的倾斜角． 【详解】解：直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则， 结合，，可得 故选：B． 2. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. 1或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解得，所以实数的值为. 故选：C. 3. 已知圆：与圆：外切，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. 9 D. 21 【答案】A 【解析】 分析】根据圆心距等于半径和求解即可. 【详解】因为圆：与圆：外切， 所以，解得. 故选：A. 4. 方程的化简结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可. 【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且， 所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ， 根据 ，所以椭圆方程为. 故选：C. 5. 已知直线方程：，若不经过第四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线过定点，分和两种情况讨论即可得解. 【详解】根据直线方程可得， 故直线过点， 当时，若直线过原点可得， 当时，直线不过第四象限， 当时，直线过第四象限， 综上可得， 故选：B 6. 直线与曲线的交点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由曲线表示一条直线与一个圆，然后分别联立方程，即可得到交点个数. 【详解】因为曲线就是或，表示一条直线与一个圆， 联立，解得，即直线与直线有一个交点；此时，没有意义. 联立，解得或，所以直线与有两个交点. 所以直线与曲线的交点个数为2个. 故选：B 7. 已知圆经过点，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段为坐标原点）长度的最大值为（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心和半径，根据即可得答案. 【详解】解：线段中点的坐标为， 所以线段的中垂线的斜率为， 所以线段的中垂线的方程为， 又圆心在直线上， 由，解得， 所以圆心为． 所以. 故选：A． 8. 实数，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】判断出点的轨迹，根据斜率、直线与圆的位置关系等知识求得正确答案. 【分析】方程，即， 所以是以，半径为的圆上的点， 表示点与点连线的斜率， 设直线与圆相切， 到直线的距离， 解得或， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请在答题纸的指定位置填涂答案选项.） 9. 已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解. 【详解】由题意知直线在，轴上的截距存在且大于， 可设的方程为（，）， 由直线过点，得， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 即，所以， 故选：CD. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距互为相反数的直线方程为 B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为或 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】利用直线经过原点的情况即可判断A，求出直线斜率范围，结合倾斜角与斜率的关系即可判断B；利用三条直线不能构成三角形的条件求出值判断C，利用斜率的定义即可判定D. 【详解】对于A，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，因此A错误， 对于B，直线恒过定点，直线，的斜率分别为，， 结合图可得，或，即为或，B正确； 对于C，当直线，平行时，，当直线，平行时，，显然直线，交于点，当点在直线时，，所以三条直线，，不能构成三角形，实数的取值集合为,1,，C错误． 对于D，若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为，D正确， 故选：BD． 11. 已知圆和圆交点为，，则下列结论中正确的是（ ） A. 公共弦所在的直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段的中垂线方程为 D. 若为圆上的一个动点，则三角形周长的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一般式得到标准式，进而得两个圆的圆心和半径，即可根据方程相减求解A，根据点到直线距离公式，以及弦长公式即可求解B，由的方程即可求解C，求解特殊位置下的周长，即可判定D. 【详解】根据题意，圆，变形可得，可得圆心，半径； 圆，变形可得，可得圆心，半径； 由于，故两圆相交， 依次分析选项： 对于A，联立两个圆的方程，有，相减可得：， 因此公共弦所在的直线方程为，A正确； 对于B，由的结论，公共弦所在的直线方程为， 圆心到公共弦的距离为，于是公共弦长，B错误； 对于C，线段的中垂线即所在的直线， 又由，， 则所在的直线为，即， 故线段的中垂线方程为，C正确； 对于D，当时，即、以及的中点三点共线， 则有， 此时三角形周长， 故三角形周长的最大值一定不是，D错误． 故选：AC． 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 两条平行直线与之间距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】将直线的方程可化为，利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】直线的方程可化为，且直线的方程为， 所以，平行直线与之间的距离为. 故答案为：. 13. 已知圆，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆心和半径，根据垂径定理得到⊥，从而求出，得到弦所在直线方程. 【详解】圆变形为， 圆心为，半径为2， 因为圆的弦被点平分，所以⊥， 其中，故， 所以弦所在的直线方程是，即. 故答案为： 14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，若动点P满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为1，则满足条件的一条直线的方程为__________. 【答案】或（写出一条即可） 【解析】 【分析】结合定义应用直译法求得圆方程，结合点到直线的距离即可求解. 【详解】因为，点满足，设， 则，化简得， 因为圆上恰有三个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离为1. 若直线的斜率不存在， 直线的方程为; 若直线的斜率存在, 设直线的方程为， 即， ，解得, 直线的方程为:. 故答案为：或（写出一条即可） 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点，且与椭圆有相同的焦点． （2）经过两点，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解； （2）通过待定系数法即可求解. 【小问1详解】 因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 16. 已知直线和点 （1）求点关于直线的对称点的坐标； （2）求直线关于点对称的直线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【小问1详解】 设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 17. 已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上. （1）求圆的方程； （2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切,根据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可; （2）根据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可. 【小问1详解】 由已知可设圆心，则，解得或（舍）， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为，则， 即，解得， 又，所以，解得， 所以直线的方程为或 . 18. 如图，已知圆，点. （1）求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）通过求圆的圆心和半径来求得圆的方程. （2）首先判断出，求得到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【小问1详解】 由， 化为标准方程：. 所以圆的圆心坐标为， 又圆的圆心在直线上， 所以当两圆外切时，切点为，设圆的圆心坐标为， 则有， 解得， 所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以. 所以点到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为，直线即为轴， 所以此时直线的方程为. 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为， 即. 所以，解得. 所以此时直线的方程为， 即，故所求直线的方程为或. 【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在. 19. 已知圆：，点是直线：上的一动点，过点作圆M的切线、，切点为、． （Ⅰ）当切线PA的长度为时，求点的坐标； （Ⅱ）若的外接圆为圆，试问：当运动时，圆是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （Ⅲ）求线段长度的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）AB有最小值 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点是直线：上的一动点，得，由切线PA的长度为得，解得（Ⅱ）设P（2b,b），先确定圆的方程：因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径，其方程为：，再按b整理：由解得或，所以圆过定点（Ⅲ）先确定直线方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆方程为及 圆：，相减消去x,y平方项得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为：，相交弦长即： ，当时，AB有最小值 试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M的半径r＝2，设P（2b,b）， 因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°, 所以MP＝，解得 所以4分 （Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆以MP为直径， 其方程为： 即 由， 7分 解得或，所以圆过定点9分 （Ⅲ）因为圆方程为 即① 圆：，即② ②－①得圆方程与圆相交弦AB所在直线方程为： 11分 点M到直线AB的距离13分 相交弦长即： 当时，AB有最小值16分 考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$