精品解析：山东省聊城市东阿县第三中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题

2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图所示，，在下列结论中，不正确的是（ ） A. B. C. CA平分∠BCF D. 3. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 4. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 两角及夹边 B. 两边及夹角 C. 两角及一角的对边 D. 两边及一边的对角 7. 已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，在中，平分，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 不能确定 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是___________ 12. 如图，于点A，于点B，且．点P从点B开始以的速度向点A运动；点从点B开始以的速度向点D运动．P、Q两点同时出发，要使，则运动的时间为_____s． 13. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 ___． 14. 如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是__________． 15. 如图，在中，平分，，，且的面积为，则的面积为________． 16. 如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为______． 17. 如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为____°． 18. 如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是_____（填正确结论的序号）． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，，，垂足分别为，，．求证． 20. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹） 21. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）________； （2）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （3）在上画出点Q，使的周长最小． 22. 如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB=BC+AD，判断BE与AF的位置关系，并说明理由． 23. 如图，平分，为的中点，且，过点作于点，于点． （1）求证：； （2）如果，，求，的长． 24. 如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 （1）若，求的周长； （2）试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，求的度数． 25. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． （1）当点运动秒时的长度为_____（用含的代数式表示）； （2）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图所示，，在下列结论中，不正确的是（ ） A. B. C. CA平分∠BCF D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形和等腰三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴∠BAC=∠EAF，故D选项错误，符合题意； ∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAF-∠EAC， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴∠ACB=∠F，AC=AF， ∴∠ACF=∠F， ∴∠ACF=∠ACB，即CA平分∠BCF，故C选项正确，不符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了全等三角形和等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质是解题的关键． 3. 某同学把一块三角形的玻璃打碎了块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②③去 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，做题时要根据已知条件进行选择运用．根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【解答】解：第一块只保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法： 第二块仅保留了原三角形的一部分边，不符合任何判断方法； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：C． 4. 如图，已知．能直接判断的方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理解答. 【详解】在△ABC和△DCB中， , ∴(SAS), 故选：A. 【点睛】此题考查全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，根据已知条件找到全等所需的对应相等的边或角是解题的关键. 5. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意； B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意； D、添加，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 6. 如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（ ） A. 两角及夹边 B. 两边及夹角 C. 两角及一角的对边 D. 两边及一边的对角 【答案】B 【解析】 【分析】观察图像可知已知线段AB，AC，∠A，由此即可判断． 【详解】解：根据作图痕迹可以知道，∠A为已知角，AB和AC是已知的边， 符合“两边及夹角”， 故选：B． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型． 7. 已知：如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和定理得到，然后利用垂直平分线的性质得到，，进而得到，然后求解即可． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明，根据的周长，即可求出答案． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 9. 如图，在中，平分，交于点，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，利用三角形面积求出的长，再根据角平分线性质得出即可得出结果． 【详解】解：， ， ， 在中，平分，， ， 故选：A． 10. 如图，是的平分线，于P，连接，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，延迟交于D，证明得到，即可推出，进而得到． 【详解】解：如图所示，延迟交于D， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是___________ 【答案】（或或或） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， ①添加条件为：， 在和中， ， ∴； ②添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 12. 如图，于点A，于点B，且．点P从点B开始以的速度向点A运动；点从点B开始以的速度向点D运动．P、Q两点同时出发，要使，则运动的时间为_____s． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据两三角形全等需满足，则，根据路程除以速度即可得到答案． 【详解】解：∵欲使 则需 ∴点A的运动时间是，点Q的运动时间是， 则当时，，又 ∴ 故答案为：4 13. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 ___． 【答案】7 【解析】 【分析】根据将军饮马问题直接求解即可，由题意可知点关于直线的对称点为点，当点和点重合时，此时的周长最小． 【详解】解：如图所示，连接，由题意可知点关于直线的对称点为点，当点和点重合时，此时的周长最小． ∵垂直平分 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了将军饮马问题，熟练掌握将军饮马问题是解答此题的关键． 14. 如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是__________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作于E，于F，连接，根据角平分线的性质分别求出，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于E，于F，连接， ∵，分别平分和，， ∴， 同理：， ∴的面积 ． 故答案为：30． 15. 如图，在中，平分，，，且的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，过作于，于，由面积可求得，根据角平分线的性质可求得，可求得的面积，进而求的面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】如图，过作于，于， ∵， ∴，解得， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质．由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴的周长为； 故答案为：16． 17. 如图，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为____°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，，证明△ABD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC，即可求解． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴，， 在△ABD和△BCE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠1＝∠CBE， ∵∠2＝∠1+∠ABE， ∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 18. 如图，已知在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点下面个结论：；；平分；若，则垂直平分；若，则其中一定正确的结论是_____（填正确结论的序号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到得到，证明可以判断①正确；过点A分别作，，垂足分别是M，N，利用三角形全等，得到三角形的面积相等，得到可证③；根据得到，结合继而得到，可以判断②错误；在上截取，证明是等边三角形即可判断⑤正确；若，即，得到，根据得到，根据角的和差即可得到，证得，但无法证明平分，即可判断结论④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； 过点A分别作，，垂足分别是G，H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故②正确； 在上截取， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故⑤正确． 若，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 但无法证明平分， 故结论④错误． 综上所述，正确的结论是①②③⑤． 故答案为：①②③⑤ 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的判定，等边三角形的判定及性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，，，垂足分别为，，．求证． 【答案】 证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 首先证明和是直角三角形，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】略 20. 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）． 医疗站必须满足下列条件：（1）使其到两公路距离相等，（2）到张、李两村的距离也相等，请你通过作图确定P点的位置．（不写作法，要保留作图痕迹） 【答案】 如图，点P即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线和垂线的尺规作图，熟练掌握尺规作图是解题关键．先作两公路夹角的角平分线，再过张村和李村线段的垂直平分线，与角平分线的交点即为点P． 【详解】略 21. 如图，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹） （1）________； （2）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； （3）在上画出点Q，使的周长最小． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3）如图， 【解析】 【分析】本题考查的是求解网格三角形的面积，画轴对称图形，轴对称的性质； （1）利用割补法求解三角形的面积即可； （2）分别确定关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）由关于直线对称，连接交于，则即为所求； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于，则即为所求； 理由：， 此时周长最短； 22. 如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB=BC+AD，判断BE与AF的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 结论：CF=AD． 理由：∵ADBC， ∴∠ADC=∠ECF， ∵E是CD的中点， ∴DE=EC， ∵在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE(ASA)， ∴FC=AD； （2） 结论：BE⊥AF． 理由：由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF， ∵AB=BC+AD， ∴AB=BC+CF， 即AB=BF， ∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF， ∴BE⊥AE； 【解析】 【分析】（1）结论：CF=AD．只要证明△ADE≌△FCE(ASA)即可； （2）想办法证明BA=BF，利用等腰三角形的性质即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，平分，为的中点，且，过点作于点，于点． （1）求证：； （2）如果，，求，的长． 【答案】 （1）证明：连接AM、MC， ∵为的中点，且， ∴AM=MC， ∵平分，，， ∴MF=ME，∠BFM=∠BEM=90°， ∴Rt△AFM≌Rt△CEM（HL）， ∴AF=CE； （2），． 【解析】 【分析】（1）连接AM、MC，根据垂直平分线的性质可得AM=MC，根据角平分线的性质可得FM=EM，根据HL定理证明Rt△AFM≌Rt△CEM即可得出结论； （2）根据HL定理证明Rt△BFM≌Rt△BEM，可得BF=BE，再利用线段的和差即可求得AF和BE． 【详解】解：（1）略 （2）在Rt△BFM和Rt△BEM中 ∵MF=ME，BM=BM， ∴Rt△BFM≌Rt△BEM（HL）， ∴BF=BE, ∴， ∵，， ∴， ∵AF=CE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，HL定理．熟练掌握HL定理，并能依此证明三角形全等是解题关键． 24. 如图，在△中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点 （1）若，求的周长； （2）试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； （3）若，求的度数． 【答案】（1）； （2） 点在的垂直平分线上，理由如下： 连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据线段垂直平分线的性质可得，，继而可得的周长； （）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【小问1详解】 ∵，的垂直平分线分别交于点，， ∴，， ∴的周长； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米/秒的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为． （1）当点运动秒时的长度为_____（用含的代数式表示）； （2）若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1）； （2） 解：与全等，理由如下： 当时，厘米， ∴厘米， ∵厘米，点为的中点， ∴厘米， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）厘米秒． 【解析】 【分析】（）先表示出，再根据可得出答案； （）根据时间和速度分别求出两个三角形中的边的长，再根据判定两个三角形全等即可； （）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间，先求得点运动的时间，进而求得点的运动速度； 本题考查了列代数式表示式，全等三角形的判定和性质的应用，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵与全等，， ∴厘米，厘米， ∴点的运动时间秒， ∴点的运动速度厘米秒． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $