精品解析：浙江省温州市育英实验学校、温州第十四高级中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

温州第十四高级中学、育英中学第一次联考数学试卷 亲爱的高一新同学，你是否已经适应了高中的学习生活？高中数学的学习同初中没有大的区别，一是“运算”，二是“推理”，三是“图形”（即借助图形分析解决问题），同时要注意“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”之间的转换.愿你用上面的方法能轻松地完成这次考试，祝你考出好成绩！ 一、选择题：每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为6 D. 最小值为6 8. 一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ） A. 大于10g； B. 小于10g； C. 等于10g； D. 不能判断大小． 二、选择题：每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知集合，则下列结论成立是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 关于的方程恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 三、填空题：每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 12. 设集合，，则________. 13. 根据下述事实，写出一个含有量词的命题是________. ， ， ， …… 14. 已知集合，集合，若，则______． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3） 16. 已知集合或，或. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值. 18. 在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数a，b满足，求的最小值. 甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同解法，甲给出的解法是： ，， 所以的最小值为4. 乙给出的解法是：， 所以的最小值为. （1）请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因； （2）结合上面的材料，求解下面的问题： ①已知正实数a，b满足，求的最小值，并求出取得最小值时a，b的值； ②已知，试求最小值，并求出取得最小值时的值. 19. 迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题. 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的迪卡尔积”，并记集合的元素个数为. （1）若，，求与； （2）若，，为素数，且对任意素数恒成立，求实数的取值范围，并写出当取到最值时应满足的条件及一组符合条件的集合，. （提示：当，且时，式子在处取得最小值.） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 温州第十四高级中学、育英中学第一次联考数学试卷 亲爱的高一新同学，你是否已经适应了高中的学习生活？高中数学的学习同初中没有大的区别，一是“运算”，二是“推理”，三是“图形”（即借助图形分析解决问题），同时要注意“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”之间的转换.愿你用上面的方法能轻松地完成这次考试，祝你考出好成绩！ 一、选择题：每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，，所以， 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得： 命题“，”的否定是“，”. 故选：C. 3. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】选项A，通过取特殊值，即可判断选项A的正误；选项B，利用不等式的性质，即可求解；选项C和D，根据条件，通过作差，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】对于选项A，取，显然有，，但，所以选项A为假命题， 对于选项B，因为，，则，可得到，所以选项B为真命题， 对于选项C，因为，由，得到，所以选项C为真命题， 对于选项D，因为，由，得到，所以选项D为真命题， 故选：A. 4. 做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设底面的长和宽分别为，即可得到，再由长方体的表面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设底面的长和宽分别为， 因为体积为，高为， 所以底面积为，即， 所用材料的面积 ，当且仅当时取等号， 所以当底面的长和宽均为时，所用的材料表面积最少，其最小值为. 故选：D 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的必要不充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”是“”的既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可得A错误，D正确；由集合间的关系可得B错误；当时可得C错误； 【详解】对于A，若，则，但不成立，故A错误； 对于B，“”是“”的充要条件； 对于C，时，所以不能推出，故C错误； 对于D，当时满足，但不满足，充分性不成立； 当时，满足，但不满足，必要性不成立，故D正确. 故选：D. 6. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的结果，可得集合间的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由，则，可得. 故选：B. 7 若，则（ ） A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最大值为6 D. 最小值为6 【答案】A 【解析】 【分析】先用定义法证明函数在单调递增，在单调递减，从而即可求出函数最大值. 【详解】任取， 则， 因为，所以，，故， 所以即， 所以在单调递增；同理可证在单调递减， 所以. 故选：A. 8. 一家商店使用一架两臂不等长天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（ ） A. 大于10g； B. 小于10g； C. 等于10g； D. 不能判断大小． 【答案】A 【解析】 【分析】设出天平的左右臂及两次称得的黄金质量，利用杠杆原理和基本不等式的性质即可得出结论. 【详解】设天平左臂长为，右臂长为，，设第一次称得黄金为，第二次称得黄金为， 则，，即，，而， 因此， 当且仅当，即时等号成立，但，即等号不成立，则， 所以顾客购得的黄金大于. 故选：A. 二、选择题：每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 9. 已知集合，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用元素与集合，集合与集合间的关系，对各选项分原判断即可求解. 详解】由题知，所以，，，即选项A，B和D正确， 对于选项C，显然有，但， 以选项C错误， 故选：ABD. 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，通过取特殊值，即可判断；选项B，C和D，根据条件，通过作差比较，即可判断. 【详解】对于选项A，当时，由，得不到，所以选项A为假命题， 对于选项B，因为，由，得到，所以选项B为真命题， 对于选项C，因为，由，，得到，所以选项C为真命题， 对于选项D，因为，由，得到，所以选项D为真命题， 故选：BCD. 11. 关于的方程恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】求出恰有一个实数根的等价条件后可得正确的选项. 【详解】若，则原方程为，恰有一个实数根，符合； 若，则，故， 故关于的方程恰有一个实数根的等价条件为或， ABCD个选项中，只有BD对应的选项中的元素构成的集合为的真子集， 故选：BD. 三、填空题：每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应的位置上. 12. 设集合，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】首先化简集合、，再根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 13. 根据下述事实，写出一个含有量词的命题是________. ， ， ， …… 【答案】， 【解析】 【分析】根据条件，能过类比归纳，即可得出结果. 【详解】由题知，一个含有量词的命题是，， 故答案为：，. 14. 已知集合，集合，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据集合中元素的互异性和集合并集的运算可求的值. 【详解】因为，所以或. 若，则，此时，集合中的元素不满足互异性，故舍去. 若则或. 当时，，集合中的元素不满足互异性，故舍去； 当时，，，，故符合题意. 故答案为：2 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用集合交集的运算，即可求出结果； （2）先求出全集，利用集合并集的运算，得到，再利用集合补集的运算，即可求解； （3）用集合补集的运算得到，再利用集合交集的运算，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，又， 所以. 【小问3详解】 因为，， 所以，又，得到. 16. 已知集合或，或. （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围； （3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，得到，结合并集的概念，即可求解； （2）根据题意，转化为是的真子集，结合集合的包含关系，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为是的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，或，所以. 【小问2详解】 解：因为是的必要不充分条件，可得是的真子集， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 解：因为是的充分不充分条件，可得是的真子集， ①当时，即时，此时，符合题意； ②当时，即时，则满足，即，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 17. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值. 【答案】时，S最小且元. 【解析】 【分析】 先求出，再利用基本不等式求解. 【详解】解：由题意，有，又，有. 当且仅当，即时取“=”. ∴当时，S最小且元. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18. 在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数a，b满足，求的最小值. 甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同的解法，甲给出的解法是： ，， 所以的最小值为4. 乙给出的解法是：， 所以的最小值为. （1）请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因； （2）结合上面的材料，求解下面的问题： ①已知正实数a，b满足，求的最小值，并求出取得最小值时a，b的值； ②已知，试求的最小值，并求出取得最小值时的值. 【答案】（1）乙的解法正确，原因见解析 （2）①最小值为8，，；②最小值为， 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式“一正二定三相等”的原则，分析甲乙的解法即可得解； （2）①②利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【小问1详解】 乙的解法正确；甲的解法错误原因如下： 甲的解法中，成立的条件是， 而成立的条件是，即， 显然两次基本不等式的等号不能同时成立，所以甲的解法错误. 【小问2详解】 ①因为正实数a，b满足， 所以， 当，即，时，等号成立， 的最小值为8. ②，， ， 当，即时，等号成立， 的最小值为. 19. 迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题. 设，是任意两个非空集合，则称集合为“与的迪卡尔积”，并记集合的元素个数为. （1）若，，求与； （2）若，，为素数，且对任意素数恒成立，求实数的取值范围，并写出当取到最值时应满足的条件及一组符合条件的集合，. （提示：当，且时，式子在处取得最小值.） 【答案】（1）， （2），，，（，答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）首先分析可得，或，，分两种情况讨论，分别求出的最小值，即可求出的取值范围，与取最值时的值，以及列出符合题意的，. 【小问1详解】 因为，且， 所以， ； 【小问2详解】 ，，且为素数， ，或，， 当，时，， 当且仅当，即时取等号，所以等号不成立； 又为素数，，，， 当，时，， 当且仅当，即时取等号； 所以，当时，； 此时符合条件的一组集合可以是：，（答案不唯一）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$