精品解析：辽宁省大连市中山区嘉汇中学2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年度第一学期阶段性随堂练习 八年级 数学 注意事项 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 3. 如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（　　） A. A•A•S B. S•A•S C. A•S•A D. H•L 7. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 8. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，平分，则图中等腰三角形共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于轴的对称点的坐标是______． 12. 如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是______． 13. 如图，在中，，平分，于点，，，则的长_____． 14. 如图，甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ________． 15. 如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是________． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点关于轴的对称点的坐标______； （3）的面积为______； （4）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点（不与点重合）坐标． 18. 如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． （1）求证：； （2）若的面积为70，，，求的长． 19. 乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是乐乐设计的尺规作图过程． 作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（_______________）（填推理的依据） ______________________________． ， ， _______________． ． ．（_______________）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． （3）乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则（_______________）（填写理由）．使用尺规作图在图中补全作图痕迹． 20. 如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案.将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在下面的图中至少画出四个不同的方案，并画出对称轴． 21. 已知，如图，Rt△ABC中，． （1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①延长BC到点D，使； ②延长CA到点E，使； ③连接AD，BE． （2）猜想线段AD与BE的数量关系，并证明． 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于轴的直线可以记作直线．我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点． （1）点关于轴和直线的二次反射点的坐标是_________； （2）若点关于轴和直线的二次反射点的坐标是，那么_________； （3）若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是，求线段的长（用含的式子表示）； （4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为、、，如果点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与三角形的边没有公共点，直接写出的取值范围． 23. 如图，在中，，，点在射线上，连接，在上截取，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点在线段上时，若，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期阶段性随堂练习 八年级 数学 注意事项 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三大题，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形是解题的关键．根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：根据轴对称的定义， 是轴对称图形， 故选D． 2. 如图的两个三角形全等，则的度数为（ ） A. 50° B. 58° C. 60° D. 62° 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的对应角相等． 3. 如图，在等腰中，顶角，过点作的平行线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵顶角， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 4. 如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明，可知． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， ∴， 即． 5. 在中，为的中线，，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，得，而，根据三角形的三边关系得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长到点E，使，则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．解题的关键是倍长中线法构造全等三角形． 6. 如图，若AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，则判定△ABD和△CDB全等的依据是（　　） A. A•A•S B. S•A•S C. A•S•A D. H•L 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件进行推理证明，从而确定判定依据即可． 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD=∠CDB=90°， 即：△ABD和△CDB均为直角三角形， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)， ∴判定△ABD和△CDB全等的依据是HL，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，能够准确分析题干信息，掌握每一种判定定理的区别和应用场景是解题关键． 7. 等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键． 题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：分两种情况： 当腰为时，，所以不能构成三角形； 当腰为时，，所以能构成三角形，周长是：． 故选：B． 8. 如图，在中，，，垂足为 D，与关于直线对称，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质以及直角三角形的性质，准确利用相关性质求解是解题的关键． 根据轴对称的性质可知对应角相等，再结合直角三角形的两锐角互余的性质进行求解即可． 【详解】解：，， ， 与关于直线对称， ， ， ， ． 故选：． 9. 如图，在中，，，平分，则图中等腰三角形共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理等知识，求出各个角的度数是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理及角平分线的定义得到各角的度数，再根据等腰三角形的判定进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， 即共有3个等腰三角形． 故选：D． 10. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形判定，证得与全等，根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【详解】解：， ， ，， ，， ，， 又， ， ，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知三角形的性质与判定是解题关键． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点关于轴的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点的坐标特征是横坐标不变、纵坐标互为相反数即可得到答案．熟记关于轴对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于轴对称， 点关于轴的对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，，点分别在上，连接．要利用“”说明，则可添加的条件是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法进行求解是解决本题的关键． 根据全等三角形的判定方法，为公共角，，可根据的判定方法进行添加条件即可得出答案． 【详解】解：可添加的条件是， 在和中， ， ， 故答案为：．（答案不唯一）． 13. 如图，在中，，平分，于点，，，则的长_____． 【答案】 【解析】 【分析】由线段的和差关系可得的长，再根据角平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，于点， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14. 如图，甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ________． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据折叠前后对应角相等可得，，结合三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和为180度列式求出，即可出． 【详解】解：由折叠得，， 又， ， ， ， ， ， 故答案为：120． 15. 如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是________． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质； 分情况讨论：当是顶角时；当是底角，是顶角时；当、都是底角时；分别利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：当是顶角时，， ∴； 当是底角，是顶角时， ∴； 当、都是底角时， ∴； 综上，的度数可能是，或， 故答案为：，或． 三、解答题（本大题含8道小题，共75分） 16. 已知：如图，点在一条直线上，，且，．求证：． 【答案】 证明： 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，主要掌握全等三角形判定条件 “”，注意利用得到． 【详解】略 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出关于轴对称的； （2）写出点关于轴的对称点的坐标______； （3）的面积为______； （4）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点（不与点重合）坐标． 【答案】（1） 如图所示． （2） （3） （4），， 【解析】 【分析】（1）分别作三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据（1）中的图形结合轴对称的性质得出坐标即可； （3）直接利用三角形的面积公式计算即可； （4）利用勾股定理确定的位置，作出图形，再写出的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点关于轴的对称点的坐标； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：以为一边，使另外两边长为，，分别确定点，，，可知这两个三角形全等， 则，，． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，坐标与图形，求解网格三角形的面积，勾股定理的应用，全等三角形的判定等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键． 18. 如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F． （1）求证：； （2）若的面积为70，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质直接得出结论即可； （2）先算出的面积，得出的面积，从而算出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积求法，难度中等，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键． 19. 乐乐发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是乐乐设计的尺规作图过程． 作法：如图，①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据乐乐设计的尺规作图过程，解决下列问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（_______________）（填推理的依据） ______________________________． ， ， _______________． ． ．（_______________）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． （3）乐乐进一步探究：以点为圆心，适当长为半径画弧分别交，于，两点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，直线交于点，则（_______________）（填写理由）．使用尺规作图在图中补全作图痕迹． 【答案】（1） 如图，直线CD即为所求： （2）垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，DCB，B，B，等角对等边 （3）三线合一 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）利用等边对等角，等角对等边证明即可； （3）利用等腰三角形的性质证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上， ∴DC=DB（垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等）， ∴∠DCB=∠B， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD=90°-∠DCB，∠A=90°-∠B， ∴∠ACD=∠A， ∴DC=DA（等角对等边）， ∴△DCB和△DCA都是等腰三角形． 故答案为：垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等；DCB；B；B；等角对等边． 【小问3详解】 如图所示： 由作图可知DE平分∠ADC， ∵DA=DC， ∴AE=EC（三线合一）， 故答案为：三线合一． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，在4×4的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的图案.将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在下面的图中至少画出四个不同的方案，并画出对称轴． 【答案】 方案如图所示，对称轴如图所示． 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可． 【详解】略 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 已知，如图，Rt△ABC中，． （1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①延长BC到点D，使； ②延长CA到点E，使； ③连接AD，BE． （2）猜想线段AD与BE的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 解：AD=BE， 理由：延长AC到点F，使CF=AF，连接BF， 在和中 ∵ ∴ ∴AB是EF的垂直平分线， ∴ ∴AD=BE 【解析】 【分析】（1）根据基本作图：作一条线段等于已知线段的作图方法就可以作出图形； （2）延长AC到点F，使CF=AF，连接BF，证明得，进而得出AE=AF，就可以得出BE=BF从而得到AD=BE 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了基本作图的运用，全等三角形的判定和性质的运用，线段垂直平分线的判定与性质的运用，正确作出图形是解答本题的关键，证明三角形全等是难点 22. 如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于轴的直线可以记作直线．我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点． （1）点关于轴和直线的二次反射点的坐标是_________； （2）若点关于轴和直线的二次反射点的坐标是，那么_________； （3）若点的坐标是，其中，点关于轴和直线的二次反射点是，求线段的长（用含的式子表示）； （4）已知一个三角形的三个顶点坐标分别为、、，如果点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，且线段与三角形的边没有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）直接根据坐标系中对称点的性质求解即可； （2）根据二次反射点的定义得出，确定一元一次方程求解即可； （3）结合（1）（2）结论，由特定到一般即可得出点，确定线段的长； （4）先确定出，，得出，，，然后结合图象分三种情况讨论：①当在点C上方时；②当在点三角形内时；③当在点三角形下方时；分别列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：点关于轴的对称点为， 点关于的对称点为， 故答案为：； 【小问2详解】 点关于轴的对称点为， 点关于的对称点为， ∴， ∴， 故答案为：4； 【小问3详解】 ∵点的坐标是，其中， ∴点关于轴的对称点为， ∴点关于的对称点为， ∴； 【小问4详解】 ∵，， ∴P、Q关于x轴的反射点为，， ∴，关于的对称点为，， ∴，，， 三角形如图所示： ∵线段与三角形的边没有公共点， ∴分三种情况： ①当在点（2，2）上方时， 时，解得：； ②当在点三角形内时， ，解得：； ③当在点三角形下方时， 时，解得：； 综上可得：线段与三角形的边没有公共点时，或或． 【点睛】题目主要考查坐标与图形，轴对称的性质及不等式的应用，理解题意，掌握坐标系中轴对称的点的特点是解题关键． 23. 如图，在中，，，点在射线上，连接，在上截取，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点在线段上时，若，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：设， ∵，， ∴， ， 又， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，证明，可得，可得，从而可得结论； （2）设，而，可得，，同（1）得，设，可得，再利用角的和差可得答案； （3）延长交于点，取，证明，可得，在上截取，连接，设，，证明，设，，，可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，而， ∴，， 同（1）得， ， ，设， ， ， ； 【小问3详解】 解：延长交于点，取， ，，， ， ∴， ，， 在上截取，连接， ∴， 设，， ，，， ， ， ∴，而， ， ，， 设，，， ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，外角的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $