精品解析：辽宁省鞍山市海城市西部集团2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

海城市西部集团2024-2025学年九年级10月月考数学试卷 (满分120分，时长120分钟) 一．选择题（共10小题 3分×10=30分） 1. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 6. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1 C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2 8. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 二．填空题（共5小题 3分×5=15分） 11. 方程的解是_____． 12. 已知函数，当____时，随的增大而减小． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 15. 对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为______． 三．解答题（共8小题 共75分 按要求写出步骤过程） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 18. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 21. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 22. 已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 23. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点” （1）若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则m= ． （2）求直线与抛物线的交点坐标，并判断这个交点是不是抛物线上的“梅岭点”； （3）若抛物线的“梅岭点”为A、B，顶点为C，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海城市西部集团2024-2025学年九年级10月月考数学试卷 (满分120分，时长120分钟) 一．选择题（共10小题 3分×10=30分） 1. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程找出对应的a、b、c，再代入到根的判别式中即可求出答案． 【详解】∵，，， ∴， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记根的判别式及相应结果是解题关键． 2. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义与根的判别式，根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到且，即，然后解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题意可知：且，即， 解得：且． 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 4. 要得到二次函数的图象，需将的图象（　　） A. 向左平移2个单位，再向下平移1个单位 B. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 C. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 根据函数图象平移的法则解答即可． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律： 二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位即可得到二次函数的图象． 故选：B． 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，则有，此方程无解；所以与x轴没有交点； 综上所述：说法正确的是C选项； 故选C． 6. 学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据在1个主干上的主干为1、枝干为x和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：主干为1，枝干为x，x枝干又长出个小分支， 根据题意有：， 故选：C． 7. 已知二次函数，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A. 有最大值﹣1，有最小值﹣2 B. 有最大值0，有最小值﹣1 C. 有最大值7，有最小值﹣1 D. 有最大值7，有最小值﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2， ∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值−2， 当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法准确判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与轴的交点坐标，根据函数图像即可求解． 【详解】解：由图像知，与轴无交点， 即关于的方程的方程没有实数根， 故选：C． 9. 设a，b是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，先根据一元二次方程的解的定义得到，代入得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a是方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. (为任意实数) 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D． 【详解】解：A、抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的与x轴的交点是：和 ∴对称轴为， ， ， ，故选项A错误． ∵， ∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）． ，， ∴，故选项C错误． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大为， 当时，， ， ，故选项D正确． 故选：D． 二．填空题（共5小题 3分×5=15分） 11. 方程的解是_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤； 移项后，运用因式分解法即可求得方程的解． 【详解】解： 移项，得 或 解得：，． 12. 已知函数，当____时，随的增大而减小． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可确定出其开口方向及对称轴，再利用函数的增减性可求得答案． 【详解】解：由抛物线的解析式可得抛物线开口向下，且对称轴为， 当时，随的增大而减小． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1． 14. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 15. 对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 三．解答题（共8小题 共75分 按要求写出步骤过程） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，用到的知识点是直接开平方法、公式法，关键是根据所给出的方程选用不同的方法是本题的关键． （1）先把25移到等号的右边，再进行开方即可； （2）先确定出，，的值，再代入求根公式即可得出答案； 【小问1详解】 解：， ， ， 或， 解得：，； 【小问2详解】 解：，，， ∴， ， ，． 17. 如图，已知二次函数图象经过点和． （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为； （2） 【解析】 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 当时，， ∴ 解得：，， 如图，当时， ∴． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 18. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？ 【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米. 【解析】 【详解】解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米． 根据题意得 （100﹣4x）x=400， 解得 x1=20，x2=5． 则100﹣4x=20或100﹣4x=80． ∵80＞25， ∴x2=5舍去． 即AB=20，BC=20． 故羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）二次函数的部分图象如图所示，求一元二次方程的解． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据△＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根求解m的取值范围即可； （2）根据二次函数图象与x轴的交点的横坐标就是当y=0时对应一元二次函数的解，故将x=1代入方程中求出m值，再代入一元二次方程中解方程即可求解． 【详解】解：（1）由题知， ∴． （2）由图知的一个根为1， ∴，∴， 即一元二次方程为， 解得，， ∴一元二次方程的解为，． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，会解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解答的关键． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 21. 关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得和互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：不存在实数k，使得和互为相反数，理由如下： ∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵和互为相反数， ∴， 解得， 又∵， ∴不存在实数k，使得和互为相反数． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，跟的判别式，解一元二次方程： （1）根据跟的判别式可得，解之即可得到答案； （2）根据根与系数的关系得到，，再由相反数的定义得到，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由． 【答案】(1) 2或3秒 (2) t=2 （3）设经过x秒以后△PBQ面积为8， ×（5﹣x）×2x=8 整理得：x2﹣5x+8=0 △=25﹣32=﹣7＜0 ∴△PQB的面积不能等于8cm2． 【解析】 【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解． （2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可； （3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2． 【详解】解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6 ×（5﹣x）×2x=6 整理得：x2﹣5x+6=0 解得：x=2或x=3 答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ; （2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2， ∴（5﹣t）2+（2t）2=52， 5t2﹣10t=0， t（5t﹣10）=0， t1=0（舍去），t2=2， ∴当t=2时，PQ的长度等于5cm． （3） 略 【点睛】考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键． 23. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点” （1）若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则m= ． （2）求直线与抛物线的交点坐标，并判断这个交点是不是抛物线上的“梅岭点”； （3）若抛物线的“梅岭点”为A、B，顶点为C，求的面积． 【答案】（1） （2）交点坐标为或，为抛物线的“梅岭点” （3） 【解析】 【分析】（1）将代入中求解即可； （2）联立，解得：或，得出交点或，由“梅岭点”定义即可判断； （3）根据求出，不妨令、，再求出，然后将三角形放到矩形中进行求解面积． 【小问1详解】 解：点是一次函数的图象上的梅岭点， ， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， 即交点坐标为或， 根据“梅岭点”的定义可知，或为抛物线的“梅岭点”； 【小问3详解】 解：， ， 解得：， 即、， 又因为顶点， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质、一次函数，解题的关键是理解应用新定义“梅岭点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $