精品解析：重庆市荣昌中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

荣昌中学高2026届高二上期第一次教学检测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，且∥，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知经过两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3. 如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ） A. 与 B. 与 C 与 D. 与 4. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 已知顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A. B. C. D. 6. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角可能是 B. 平面平面 C. 三棱锥体积不是定值 D. 平面截正方体所得截面可能是直角三角形 7. 如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 10. 下面四个结论正确的是（    ） A. 空间向量，若，则 B. 若空间四个点，，则三点共线 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 任意向量满足 11. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 直线BC与平面所成角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为. D. 线段长度的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 13. 已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是_________ 14. 在正三棱锥中，，若，则三棱锥体积的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，． （1）证明：平面PAB⊥平面ABCD； （2）求二面角P－AD－B的余弦值． 17. 四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面． （1）求证：； （2）求直线EC与平面EFD所成角的正弦值． 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 . （1）在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； （2）若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． （1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； （2）设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点Q满足．记直线PQ与平面所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为，平面和平面的夹角为．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 荣昌中学高2026届高二上期第一次教学检测 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，且∥，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，又因为∥，则有，列出方程组求解即可. 【详解】解：，且∥， 则， 因为∥， ， 即， 解得. 故选：B. 2. 已知经过两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据过的直线的斜率与方向向量的斜率相等建立等式求解即可 【详解】依题意可知， 解得， 故选：C． 3. 如图，四棱锥中，底面为矩形且平面，连接与，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理及向量垂直的充要条件即可求解. 【详解】对于A,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面，平面,所以,即，所以，故A不正确； 对于B, 因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面， 平面,所以,即，所以，故B不正确； 对于C，因为底面为矩形，所以与不垂直，所以与不一定垂直，所以与不一定垂直，所以与的数量积不一定为0，故C正确． 对于D,因为平面，平面,所以,因为底面为矩形，所以,,平面,所以平面， 平面,所以,即，所以，故D不正确. 故选：C. 4. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】如图所示 由题意可知，， 因为为的中点，所以, 所以， 当时，取最小值，此时取最大值， 所以的最大值为4. 故选:A. 5. 已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的定义可知，；根据垂直时斜率乘积为可知，，利用两点连线斜率公式可构造出方程组求得结果. 【详解】为垂心 ， 又， 直线斜率存在且， 设，则，解得： 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据直线与直线垂直的位置关系求解参数的问题；关键是能够利用垂心的性质得到直线与直线的垂直关系. 6. 如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角可能是 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积不是定值 D. 平面截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】判断结论是否正确,需要每个选项都验证;对于A选项,在该空间几何体中建立空间直角坐标系,用向量法求出异面直线所成的角即可;B选项用面面垂直的判定证明平面平面;C选项用换底法;得出体积为定值;D选项则直接观测即可判断. 【详解】 对于A，以D为原点，DA为轴，DC为轴，DD1为轴，建立空间直角坐标系， D1(0,0,1),A(1,0,0), C(0,1,0),设, , , ，直线D1P与AC所成的角为 ，故A错误; 对于B，正方体ABCD-ABCD中， ， 平面 ， 平面，∴平面平面,故B正确; 对于C， ,P到平面的距离BC=1， ∴三棱锥的体积:为定值，故C错误; 对于D，为线段上的动点（不含端点），连接并延长， 若的延长线交于，如图，此时截面为四边形， 若的延长线交于，设交点为，此时截面为， 设，则，，故， 故不为直角三角形，故D错误. 故选：B. 7. 如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设第四个顶点为， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 当是对角线时，则有， 故选：A 8. 如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果. 【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，， 由得，即， 由于，所以，， 所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段， 由图知：， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 10. 下面四个结论正确的是（    ） A. 空间向量，若，则 B. 若空间四个点，，则三点共线 C. 已知向量，若，则为钝角 D. 任意向量满足 【答案】AB 【解析】 【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断ACD，由空间向量的基本定理与共线定理可判断B. 【详解】对于A：因为，，则，故A正确； 对于B：因为，则，即， 又与有公共点，所以三点共线，故B正确； 对于C：， 若为钝角：则，且与不共线， 由得， 当时，，即，由与不共线得， 于是得当且时，为钝角，故C错误； 对于D：是的共线向量，而是的共线向量， 当，不共线时，，故D错误， 故选：AB 11. 如图，正方体的棱长为2，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（ ） A. 直线BC与平面所成的角等于 B. 点到平面的距离为 C. 异面直线和所成的角为. D. 线段长度的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线和平面所成的夹角，点到平面的距离，异面直线所成的角以及异面直线距离的计算方法进行逐项判断. 详解】解：由题意得： 正方体的棱长为2 对于选项A：连接，设交于O点 平面 即为直线BC与平面所成的角，且，故A正确； 对于选项B：连接，设交于O点 平面 点到平面的距离为,故B正确； 对于选项C：连接、，由正方体性质可知∥ 故异面直线和所成的角即为和所成的角 又 为等边三角形 故C错误； 对于选项D：过作，过作，连接PQ 为异面直线之间的距离，这时距离最小； 设，为等腰直角三角形，则， 也为等腰直角三角形，则 为直角三角形 故 当时，取最小值，故，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为________________. 【答案】0或5 【解析】 【分析】分类讨论直线斜率不存在与存在两种情况，结合直线垂直的性质即可得解. 【详解】因为直线经过点，且，所以的斜率存在， 而经过点，则其斜率可能不存在， 当的斜率不存在时，，即，此时的斜率为0，则，满足题意； 当的斜率存在时，，即，此时直线的斜率均存在， 由得，即，解得； 综上，a的值为0或5. 故答案为：0或5. 13. 已知直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】知道斜率，由倾斜角的取值范围，直接得出倾斜角的范围. 【详解】 ∵ ∴ 故答案为： 14. 在正三棱锥中，，若，则三棱锥体积的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】设底面的边长为，侧棱长为，，根据题意计算可得，，由，可求三棱锥体积的取值范围. 【详解】设底面边长为，侧棱长为， 由正三棱锥，可知是等边三角形，又， 所以点是的中心，由，所以， 设，则，, 由题意可得， 在中，， 在中，， 两式相加可得，解得，由可得， 所以，又，所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【小问1详解】 ， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. 【小问2详解】 由题意得， 故， 故 . 16. 如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，． （1）证明：平面PAB⊥平面ABCD； （2）求二面角P－AD－B的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作图，取AB的中点E，连接PE，DE，分析图中的几何关系，即可证明； （2）根据第1问的结果，过点E作，垂足为F，则∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角. 【小问1详解】 取AB的中点E，连接PE，DE，则， 由已知可得，∴， 平面ABCD， 平面ABCD，∵∴PE⊥平面ABCD， ∵PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD； 【小问2详解】 过点E作，垂足为F，连接PF，则AD⊥平面PEF， ∴ ，∴∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角， 在 中，EF是AD边上的高，运用等面积法得：， ，∴， ∴二面角P－AD－B的余弦值为； 综上，二面角P－AD－B余弦值为. 17. 四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，平面平面． （1）求证：； （2）求直线EC与平面EFD所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可得到，由面面垂直的性质得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得； 【小问1详解】 证明：因为，，， 由余弦定理， 所以，则，所以，即， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面，又平面，所以； 【小问2详解】 解：如图建立空间直角坐标系，则、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，令，则， 设直线与平面所成角为，则， 故直线与平面所成角的正弦值为； 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 . （1）在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； （2）若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 【答案】（1）存在，在平面可以找到一点，使得直线平面 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，即，故，从而找到点M的位置； （2）先求出是二面角的平面角，大小为，得到，设，则，建立空间直角坐标系，求出方向上的单位向量，求出P到直线的距离. 【小问1详解】 延长交直线于点， 点为的中点， ， ， ∴， ，即， 四边形为平行四边形，即. ， ∴，故， 平面平面， 平面， 平面， 平面， 故在平面内可以找到一点，使得直线平面； 小问2详解】 如图所示，，即， 且异面直线与所成的角为，即， 又平面， 平面. 平面， 又平面， 平面， 平面， ， 因此是二面角的平面角，大小为. . 不妨设，则. 以A为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， ， ，方向上的单位向量坐标为， 则在上的投影的绝对值为， 所以到直线的距离为. 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． （1）记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； （2）设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点Q满足．记直线PQ与平面所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为，平面和平面的夹角为．求证：． 【答案】（1）直线平面，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理证明. （2）法1：分别确定直线PQ与平面所成的角θ，异面直线PQ与EF所成的角，平面和平面的夹角，结合三角函数的定义，表示出它们的正弦，验证可得结论. 法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量表示线线角、线面角、二面角的正弦值，验证可得结果. 【小问1详解】 直线平面，证明如下： 连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以， 又平面，且平面，所以平面． 而平面，且平面平面，所以． 因为平面，平面，所以直线平面． 【小问2详解】 （综合法）如图1，连接BD， 由（1）可知交线l即为直线BD，且． 因为AB是⊙O的直径， 所以，于是． 已知平面，而平面， 所以．而， 所以平面． 连接BE，BF，因为平面， 所以．故为平面和平面的夹角，即． 由，作，且． 连接PQ，DF，因为F是CP的中点，， 所以， 从而四边形是平行四边形，．连接CD，因为平面， 所以CD是FD在平面内的射影， 故就是直线PQ与平面所成的角， 即．又平面，有，知， 又，所以为与所成的角. 于是在，，中， 分别可得，，. 从而．即. （向量法）如图2， 由，作，且． 连接，由（1）可知交线l即为直线BD． 以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设，，，则有 ，，，，，，. 于是，，. ∴ 从而， 又取平面的一个法向量为， 可得， 设平面的一个法向量为， 所以由可得，令，则． 于是，从而． 故， 即. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是弄清楚空间角的概念及做法.根据空间角的概念，构造、判断线线角，线面角，二面角的平面角，再表示出它们的正弦值，验证结论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$