专题06 二次函数71道压轴题型专训（13大题型）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题06 二次函数71道压轴题型专训（13大题型） 压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题 压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题 压轴题型三 根据二次函数的对称性求值 压轴题型四 二次函数的平移压轴题 压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题 压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题） 压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题） 压轴题型八 二次函数中的存在性问题 压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题 压轴题型十 二次函数的翻折问题 压轴题型十一 二次函数最值问题 压轴题型十二 二次函数的综合 压轴题型十三 二次函数的新定义问题 【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】 1．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ． 3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知A、B是抛物线上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为，C为线段的中点，轴，交抛物线于点D，且. (1)抛物线的顶点坐标是______； (2)请求出t的值． 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 5．（2023·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． (1)当时，求的长； (2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； (3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 6．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】 1．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是 ． 3．（23-24九年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)若； ①当，，求该抛物线与轴交点坐标； ②点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的取值范围． (2)若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，求实数的最小值； 5．（23-24九年级上·浙江·期末）已知二次函数的图象经过点和． （1）若图象还经过点，求该二次函数的表达式． （2）若图象的对称轴在y轴的右侧，设，求S的取值范围． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点D坐标为（2，﹣1），且过点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连结OD、CD、CB，CD交x轴于点E，求S△CEB：S△ODE．    【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】 1．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．对于任意实数，都有 2．（23-24九年级上·河南南阳·周测）如图所示，分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为 ． 3．（24-25九年级上·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线上有不重合的两点，，它们的坐标分别为，． (1)若该抛物线与轴交于点，求该抛物线的解析式． (2)当时，求的值． 4．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 5．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 3 5 … y … 1 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值； (3)已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值． 6．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点H，当的值最小时，点H坐标为______； (3)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P，连接、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标和四边形面积的最大值； (4)探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】 1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线的顶点坐标是 ． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值． 4．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)点的坐标为：______； (3)图中阴影部分图形的面积为______． 5．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． 例如：函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点” 由题意得：，即， 解得：， ∴“朴实点”为， 当时，即， 解得：， ∴“沉毅点”为：； (1)函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式． 6．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标； (2)平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标． 【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】 1．（2024·湖南常德·一模）将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．    （1）点B的坐标为 ； （2）点P为L上在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，与x轴交于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线L运动到点B，则点M经过的路程为 ． 3．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 4．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数，其中，为实数． (1)若该函数的对称轴是直线，则______； (2)若该函数的图像经过点，请判断该函数的图像与轴的交点个数； (3)该函数的图像经过点，，，．若时，求的取值范围． 【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．    3．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 5．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长x（单位：）在5~50之间，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价p（单位：元）和浮动价q（单位：元）两部分组成，其中基础价p与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据： 薄板的边长（） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 (1)求一张薄板的出厂价（单位：元）与边长x（单位：）之间满足的函数关系式； (2)已知出厂一张边长为的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价一成本价）． ①求一张薄板的利润（单位：元）与其边长x（单位：）之间满足的函数关系式； ②求当边长x（单位：）多少时，出厂一张湾板获得的利润（单位：元）最大，是多少． 6．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ．    3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶离水面．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降时，求此时水面的宽度是多少米？ 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． (1)请写出y与x之间函数关系式并画出图像； (2)当时，求运动时间． 5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 0 2 4 6 8 10 12 14 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】 1．（2023九年级·全国·专题练习）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数为关联函数，这两个点称为函数的一对关联点．若函数与一次函数（为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，则的取值范围是 ． 3．（2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点． (1)求拋物线的函数表达式及点的坐标． (2)求的值和点的坐标． (3)是第四象限内拋物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点． ①当是线段的三等分点时，求点的坐标； ②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”． (1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______． (2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为． ①求二次函数的解析式； ②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点的坐标为，于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移一定距离后得到抛物线，已知抛物线的顶点为，且抛物线与轴无交点，点为平面直角坐标系中一点，请问是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】 1．（2023·四川巴中·模拟预测）将二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 3．（2024·云南昆明·二模）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于，我们就说直线一定经过定点．设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． (1)抛物线经过的定点的坐标是______； (2)是否存在实数，使顶点在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短．求的取值范围． 4．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点． (1)求一次函数与二次函数的表达式； (2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【压轴题型十 二次函数的翻折问题】 1．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    3．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象在轴上方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值随的增大而增大，结合函数图象，求的取值范围． 4．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围． 【压轴题型十一 二次函数最值问题】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，D是边上一动点，以为边作正，则最大 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 4．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 5．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？ 【压轴题型十二 二次函数的综合】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，若抛物线的图象与第三象限中的线段AB有公共点，且点A为，点B为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是 ．    3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于点两点，过点作轴的平行线交抛物线于两点． (1)求的长； (2)结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上．    (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； (2)连接，，求； (3)若点C在抛物线上，且，求点C的坐标． 5．（2023·安徽合肥·二模）如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C． (1)如图1，当时，直接写出A、B、C三点坐标； (2)在（1）的条件下，连接．若D是抛物线上第四象限上一点，且，求点D的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接，分别交y轴于P、Q两点，求的值． 【压轴题型十三 二次函数的新定义问题】 1．（2024·湖南岳阳·二模）对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D．n ≥ 2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·河南洛阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．    (1)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ； (2)如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由： (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是 ． 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 (1)在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） (2)若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； (3)若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数71道压轴题型专训（13大题型） 压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题 压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题 压轴题型三 根据二次函数的对称性求值 压轴题型四 二次函数的平移压轴题 压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题 压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题） 压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题） 压轴题型八 二次函数中的存在性问题 压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题 压轴题型十 二次函数的翻折问题 压轴题型十一 二次函数最值问题 压轴题型十二 二次函数的综合 压轴题型十三 二次函数的新定义问题 【压轴题型一 二次函数的图象与性质压轴题】 1．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象与性质，逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点、， 抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 即，故①正确； 对称轴为， 整理得，故②正确； 由图象可知，当时，即图象在轴上方时， 或，故③错误， 由图象可知，当时，，时，， 即， ，故④不正确． 正确的有①②，共个， 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线的图象如图①所示，先将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图②，当直线与图象②恰有两个公共点时，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线恰有两个公共点的条件是解题的关键． 求出翻折部分的解析式，利用数形结合找出临界位置：当直线经过点时，当直线经过点时，当直线与二次函数的图象只有一个交点时，所对应的的值，结合图象即可求解 【详解】解：令，即，解得：， 故，两点的坐标分别为，． 如图，当直线经过点时，，可得， 当直线经过点时，，可得， 所以的取值范围为：； 翻折后的二次函数解析式为二次函数． 当直线与二次函数的图象只有一个交点时，， 整理得：，， 解得：， 所以的取值范围为：． 由图可知，符合题意的的取值范围为：或． 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）已知A、B是抛物线上的两点，点A的横坐标为t，点B的横坐标为，C为线段的中点，轴，交抛物线于点D，且. (1)抛物线的顶点坐标是______； (2)请求出t的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． （1）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标； （2）由题意写出A、B的坐标，再根据中点坐标得出C点坐标，再由轴得出D点坐标，由可求出t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：， （2）解：依据题意可知，点A的坐标为，点B的坐标为，即为， ∵C为线段的中点， ∴C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∴． 解得，或 4．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图是二次函数的图象，根据图象回答下列问题： (1)二次函数的图象与的图象有什么相同和不同（各写出两条）； (2)若有一个二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数的表达式． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质． （1）根据二次函数的图象与二次函数的图象进行解答即可； （2）根据二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出答案即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象与二次函数的图象： 相同点是：①开口向上，②对称轴都是y轴， 不同点：①二次函数的图象的顶点是，二次函数的图象的顶点是，②开口大小不同，二次函数的图象的开口大于二次函数的图象的开口； （2）解：二次函数的图象与的图象形状相同，且不经过第三、四象限， 则即可满足题意． 5．（2023·江苏泰州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，该抛物线的顶点为，且与轴的交点为，连接过点作轴的平行线与抛物线交于另一点，过点作的垂线． (1)当时，求的长； (2)如图，延长交于点，请用含的代数式表示的面积； (3)如图，点在抛物线第一象限的图象上且位于点的左侧，连接并延长交于点，过点作垂直于，垂足为点，连接求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数的解析式，熟练掌握两条直线的值相等，则两直线平行是解题的关键． （1）根据顶点式解析式求出点坐标，令，求出值可得点坐标，利用两点间距离公式求出的长即可； （2）分别用表示出、、的坐标，可表示出的长，再用待定系数法求直线的解析式，表示出点坐标，从而求出的长，即可求的面积； （3）设，用待定系数法先求直线的解析式，从而求出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，从而判断直线与是平行的即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵该抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴， ． （2）∵， ∴， 当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴． （3）设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 当时， ∴， ∵， ∴同理可求直线的解析式为， ∵直线的解析式为， ∴． 6．（2024·安徽六安·模拟预测）如图1，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点． (1)求的值及点的坐标； (2)如图2，点为直线下方抛物线上的两点，点的横坐标比点的横坐标大1，过点作轴，交于点，过点作轴交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在抛物线的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点为顶点的四边形是矩形，且为矩形的一边，求出此时所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，； (2)4，； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则进而得到，再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在轴的下方，过D作轴，当为矩形一边时，且点D在轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 【详解】（1）解：把和代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，则，解得： ∴点的坐标为； （2）解：设直线的解析式为：． 把代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则 ， ， ∴当时，有最大值4，此时， 点的坐标为． （3）解：由题意，得， 抛物线的对称轴为直线， ， 当为矩形的一边，且点在轴的下方时，过点作轴，如图所示： 点在抛物线的对称轴直线上， ， ， ，即， 点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点， 则点向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度可得到点； 当为矩形的一边，且点在轴的上方时，如图所示： 设抛物线的对称轴直线与轴交于点， 点在抛物线的对称轴直线上， ， ，即， 点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 则点向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度可得到点， 综上所述，点的坐标为或． 【压轴题型二 二次函数与各项系数符号压轴题】 1．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，开口方向判断①，对称轴判断②，与轴的交点个数判断③，对称性，特殊点判断④和⑤，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴；故②正确； ∵图象与轴有两个交点， ∴，即：；故③错误； ∵当时，，故④正确； 由对称性可知：和的函数值相同，由图象可知：的函数值为负数， ∴当时，， ∵， ∴；故⑤错误； 故选B． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②一元二次方程的解为，；③；④．其中，正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：由抛物线开口方向得到，然后利用抛物线与轴的交点得到，由对称轴在右侧得对称轴为直线，则，再结合图象与轴交于和，可判断②，可得对称轴为直线，则，根据当时，当时，求得的值即可判断③④． 【详解】解：∵函数图象开口向上，交轴负半轴，且对称轴在右侧， ∴，，对称轴为直线，则， ∴，故①正确； 由函数图象可知，图象与轴交于和，则对称轴为直线， ∴方程的解为，， 即一元二次方程的解为，，故②正确； 由图象可知，当时，， 即：，故③不正确； ∵对称轴为直线， ∴， 当时，， 即，故④正确； 故答案为：①②④． 3．（23-24九年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴． (2)若抛物线是由抛物线经过平移得到的，求抛物线的解析式． (3)在（2）的条件下，已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数对称轴，二次函数的平移规律，二次函数与坐标轴的交点情况，二次函数的图像与性质，解题的关键在于掌握二次函数的图像与性质． （1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）根据题干和函数的平移规律，得到、的值，即可求得抛物线的解析式； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴得到“离对称轴越远，函数值越小，”，根据点的横坐标判断其与对称轴的距离，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为； （2）解：直线与轴交于点， ， 抛物线经过点， ， 抛物线是由抛物线经过平移得到的， ， 抛物线的解析式为； （3）解：，对称轴为， 离对称轴越远，函数值越小， 点，，在抛物线上， 又，，，且， ． 4．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线与轴交于点． (1)若； ①当，，求该抛物线与轴交点坐标； ②点在二次函数抛物线的图象上，且，试求的取值范围． (2)若抛物线恒在轴下方，且符合条件的整数只有三个，求实数的最小值； 【答案】(1)①，；②或 (2)的最小值为 【分析】（1）①由，可求得抛物线解析式，将代入解析式即可求解； ②根据抛物线解析式可得抛物线对称轴和开口方向，得到抛物线的增减性，将代入得：，根据抛物线的对称性可求得抛物线与直线的交点坐标，结合抛物线的增减性即可求解； （2）由抛物线恒在轴下方可知抛物线开口向下，且抛物线与轴没有交点，即可求得，根据符合条件的整数只有三个，可求得的取值范围，进而求解． 【详解】（1）解：①当，时，抛物线解析式为； 将代入，得：， 解得，， ∴抛物线与轴交点坐标为，． ②对于抛物线， 则抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 故时，随增大而减小，时随增大而增大； 将代入得：， ∴抛物线经过， 由抛物线对称性可得抛物线经过点， 即抛物线与直线的交点坐标为，， ∵， ∴， 即点在直线的上方； 又∵点在抛物线的图象上， 故的取值范围为或． （2）解：∵抛物线在轴下方， ∴抛物线开口向下，且抛物线与轴没有交点， 即， 解得：， ∵符合条件的整数有三个， 即的值为，，； ∴， 解得：， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系，通过分类讨论求解． 5．（23-24九年级上·浙江·期末）已知二次函数的图象经过点和． （1）若图象还经过点，求该二次函数的表达式． （2）若图象的对称轴在y轴的右侧，设，求S的取值范围． 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）9＜S＜15 【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把（0，3）代入求出a得到抛物线解析式； （2）把点（-1，0）和（0，3）代入y=ax2+bx+c得到b=a+3，c=3，则S=-2a+9，再利用图象的对称轴在y轴的右侧得到b＞0，即a+3＞0，所以-3＜a＜0，然后利用一次函数性质确定S的范围． 【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）， 把（0，3）代入得3=a×1×（-3），解得a=-1， ∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3）， 即y=-x2+2x+3； （2）把点（-1，0）和（0，3）代入y=ax2+bx+c得 ， ∴b=a+3，c=3， ∴S=-4a+2（a+3）+3=-2a+9， ∵图象的对称轴在y轴的右侧， ∴a、b异号， ∴b＞0，即a+3＞0， ∴a＞-3， ∴-3＜a＜0， ∴9＜S＜15． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．也考查了待定系数法求二次函数解析式． 6．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点D坐标为（2，﹣1），且过点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连结OD、CD、CB，CD交x轴于点E，求S△CEB：S△ODE．    【答案】（1）y＝x2﹣4x+3，点C（0，3）；（2）3：1． 【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，将点B的坐标代入上式并解得：a＝1，即可求解； （2）直线CD的表达式为：y＝﹣2x+3，则点E（，0），S△CEB＝×EB×OC＝，S△ODE＝×OE×|yD|＝，即可求解． 【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣2）2﹣1， 将点B的坐标代入上式并解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3， 则点C（0，3）； （2）将点C、D的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： 直线CD的表达式为：y＝﹣2x+3， 则点E（，0）， S△CEB＝×EB×OC＝， S△ODE＝×OE×|yD|＝， 故S△CEB：S△ODE＝3：1． 【点睛】此题考查二次函数图象及其性质，解题关键在在于利用待定系数法求二次函数. 【压轴题型三 根据二次函数的对称性求值】 1．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图是抛物线的图象，其对称轴为，且该图象与的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D．对于任意实数，都有 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的图象可得，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，从而可得当时，，结合即可判断②正确；根据二次函数的对称性可得时的函数值与的函数值相等，即为，再根据二次函数的增减性即可判断③正确；根据当时，即可判断④错误． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ， ，选项A正确； ∵抛物线的开口向下，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∵抛物线的图象与的一个交点在点和之间， 当时，， 由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等， ∴当时，，即， ，选项B正确； 由二次函数的对称性可知，时的函数值与的函数值相等，即为， ∵该抛物线的图象经过点与点，且， ∴由二次函数的增减性可知，，选项C正确； 当时，，则选项D错误； 故选：D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·周测）如图所示，分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，能够熟练运用对称轴求点的横坐标是解题关键．求出对称轴后根据对称性求点B横坐标，再代入解析式即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点B横坐标为， 将代入得， ∴点B的纵坐标为1． 故答案为：1 3．（24-25九年级上·江西·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线上有不重合的两点，，它们的坐标分别为，． (1)若该抛物线与轴交于点，求该抛物线的解析式． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，点和点关于对称轴对称，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：由题意得当时，则， 解得． 4．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 5．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）小明在研究某二次函数时，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x … 2 3 5 … y … 1 0 … (1)求该二次函数的表达式； (2)当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求p的值； (3)已知点C是该二次函数图象与y轴的交点，把点C向下平移个单位得到点M．若点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，求m，n的值． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)； (3)， 【分析】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的轴对称的性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律等知识，利用二次函数的轴对称性质是解本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得抛物线的对称轴和顶点坐标，知当时，该二次函数的最大值为1，根据题意列得方程，据此求解即可； （3）先求得点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性，列式计算求得；求得点C的坐标为，得到点P的坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：设该二次函数的表达式为， 由题意得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵，∴抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，∵，∴当时，二次函数的值随的增大而增大；当时，该二次函数的最大值为1，∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，∴，解得，∴（舍去），∴； （3）解：∵点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合， ∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同， ∴，解得， 当时，， ∴点C的坐标为， ∵点C向下平移个单位得到点M， ∴点M的坐标为， ∴点P的坐标为， 将代入，得， ∴， 答：，． 6．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴相交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点H，当的值最小时，点H坐标为______； (3)点D在线段上运动，过点D作x轴的垂线，与交于点Q，与抛物线交于点P，连接、，当四边形的面积最大时，求点P的坐标和四边形面积的最大值； (4)探究在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，四边形的面积最大为16 (4)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式； （2）根据抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线，，则与对称轴的交点即为点H，用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解； （3）连接，易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答； （4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得∶ ， 解得：， ∴该二次函数的解析式． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∵点A和点B关于直线对称， ∴与对称轴的交点即为点H， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得， ∴． （3）解：如图：连接， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为16， 此时； （4）解：设， ∵，， ∴，，， 当，则斜边为或， 当斜边为时，， 即，整理得：， 无解； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 当，则斜边为或， 当斜边为时，， 即，整理得：， 无解； 当斜边为时，， 即， 解得：； ∴ 综上：或． 【压轴题型四 二次函数的平移压轴题】 1．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象其中点，平移后的对应点分别为点、．若曲线段扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．曲线段扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线段扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移3个单位，则， 故选：D． 2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是8，则抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，设平移后所得新抛物线的对称轴和两抛物线相交于点A和点B，连接， 则由抛物线平移及二次函数图像的对称的性质可知，， ， ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，点O到AB的距离：， ∴ 解得：． ∴点A的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象，掌握待定系数法和平移的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先计算出，然后根据面积，得到，然后计算出和时的自变量x的值，然后计算平移距离即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和， ，解得： ， ∴抛物线的表达式为 ； （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，，解得：或， ∴平移距离为； 当时，，或， 平移距离为；， 故平移距离为或． 4．（24-25九年级上·吉林·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，按如图所示建立平面直角坐标系，抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． (1)抛物线的顶点坐标为______； (2)点的坐标为：______； (3)图中阴影部分图形的面积为______． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】此题考查了二次函数的平移、二次函数的图象和性质， （1）根据平移规律得到函数解析式，再化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）根据平移规律写出坐标即可； （3）根据平移和二次函数的图象可知图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，据此求出面积即可. 【详解】（1）解：∵抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式是， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为： （2）∵点在抛物线上，平移后点的对应点在抛物线上． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为： （3）根据平移规律和二次函数的图象可知， 图中阴影部分图形是一个边长为2的正方形和一个底为2高为1的平行四边形，故阴影部分图形的面积为：. 故答案为： 5．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． 例如：函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点” 由题意得：，即， 解得：， ∴“朴实点”为， 当时，即， 解得：， ∴“沉毅点”为：； (1)函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”； (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)“朴实点”为，“沉毅点”为： (2)或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据平移前后，抛物线的开口大小和方向不变，两个函数的值相同，再根据新定义，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可． 【详解】（1）解：∵函数是一个“朴实沉毅函数”， 由题意得：，即， 解得：， ∴“朴实点”为， 当时，即， 解得：， ∴“沉毅点”为：； （2）∵二次函数图象可以由二次函数平移得到， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵顶点是一个“朴实点”， ∴， ∴， ∵该函数图象还经过一个“沉毅点”， ∴，代入，得：， 解得：或， ∴或． 6．（24-25九年级上·陕西延安·阶段练习）已知抛物线与y轴交于点C，与x轴交于两点． (1)求抛物线的函数解析式及点C的坐标； (2)平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C，且与x轴交于两点，连接，．点P是抛物线上的点，连接，若，请求出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与角度问题，二次函数的平移； （1）把代入计算即可； （2）先求出抛物线的解析式和所在直线的函数解析式，再根据①当点P在上方时，②当点P在下方时两种情况分别画出图形后计算即可． 【详解】（1）解：把代入中，得 解得 解得， 抛物线的解析式为． 令，则 ． （2）解：∵平移抛物线得到抛物线，抛物线经过点C， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， ∴抛物线的解析式为． 设所在直线的函数解析式为， 将代入得，解得 ∴所在直线的函数解析式为， ①当点P在上方时，将沿x轴向右平移2个单位，此时点B与点N重合，得到线段，则所在直线的函数解析式为， 设所在直线与抛物线的另一交点为， 由平移的性质可得，， ∴， 令，解得（舍），， ． ②当点P在下方时．取的中点E，连接，交于点F，连接并延长交抛物线于点， ，， ∴是等腰直角三角形，所在直线的函数解析式为， 是的垂直平分线， ∴， ∴， 令，解得， ， 设所在直线的函数解析式为， 将代入得，解得， ∴所在直线的函数解析式为． 令，解得（舍），． ． 综上，点P的坐标为或． 【压轴题型五 二次函数与坐标轴交点压轴题】 1．（2024·湖南常德·一模）将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变，得到的新图像与直线有个交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，即可得解．掌握抛物线与轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变换． 【详解】解：对抛物线， 当时，得：， 解得：或， ∴抛物线与轴的交点为、， ∵将抛物线中轴上方的部分沿轴翻折到轴下方，图像的其余部分不变， ∴新图像中当时，解析式为，即，如图， 当直线经过点时，此时直线与新函数图像有个交点， 把代入直线，解得：， 将直线向下平移时，有个交点， 当与直线有一个交点时，此时直线与新函数图像有个交点， 整理得：， ∴， 解得：， 综上所述，新图像与直线有个交点时，的取值范围是． 故选：C． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，已知抛物线：与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．    （1）点B的坐标为 ； （2）点P为L上在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，与x轴交于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线L运动到点B，则点M经过的路程为 ． 【答案】 【分析】（1）二次函数中，令，得，从而即可得解； （2）根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：（1）∵二次函数， ∴当时， 点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：； （2）当时，， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ， 即直线的函数解析式为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴设点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令且， 解得， 此时直线的解析式为，当时， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 3．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上， (1)这个抛物线的对称轴为直线_________； (2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键． （1）直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程； （2）有两种情况满足题意，①当抛物线与x轴有一个交点或者没有交点时，②函数图像与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时，分类讨论求解即可； 【详解】（1）解：对称轴为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴抛物线的图象开口朝上， 无论取任何实数，点，，中都至少有两个点在轴的上方， 有两种情况满足题意， ①当抛物线与x轴有两个相同的交点或者没有交点时，满足题意， 即， ∴， 化简得， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②函数图象与x轴有交点，且两个交点的距离小于1时满足题意， 此时三点中，水平距离最近的A和B不能同时在x 轴下方， 临界情况A、B两点分别是这两个交点， ∵对称轴为， ∴， 得，则有：，， 此时代入，解得， ∵在二次函数中，二次项的系数绝对值越大，则抛物线的开口越小， ∴此时； 综上所述，． 4．（2024·上海黄浦·三模）已知在直角坐标平面内，抛物线与轴交于点，顶点为点，点的坐标为，直线与轴交于点． (1)求点的坐标； (2)当抛物线与坐标轴共有两个不同的交点时，求的面积； (3)如果，求抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）本题考查了二次函数的性质，根据顶点式求得，令得到，求得直线的解析式为，进而即可求解； （2）根据题意，分两种情况讨论，①与轴只有1个交点；②过原点，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解； （3）根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，进而得出是等腰直角三角形，结合的坐标，建立方程，解方程，得出，进而求得抛物线解析式． 【详解】（1）解：令，则，则， ∵ ∴ 又， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； （2）①当抛物线与轴只有一个交点与轴有一个交点时， 当时， 即 ∵抛物线与坐标轴共有两个不同的交点 ∴ 解得 ∵， ∴ ∴ ②当抛物线过原点时，且与轴有2个交点时， 将代入解析式 ∴ 即 ∴ ∴此情况不存在， 综上所述， （3）解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴ 解得：（舍去）或 ∴． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知二次函数，其中，为实数． (1)若该函数的对称轴是直线，则______； (2)若该函数的图像经过点，请判断该函数的图像与轴的交点个数； (3)该函数的图像经过点，，，．若时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)函数的图像与轴有一个交点； (3)． 【分析】（1）令，即可求解； （2）将、代入，得，即可求解； （3）方法一：利用一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质求解即可； 方法二：根据函数图像水平平移不改变对应点的纵坐标特征，进而求解． 【详解】（1）解：若该函数的对称轴是直线， 得， 解得． （2）解：当时， ， 函数的图像经过点， 将、代入， 得，即， 即， 有两个相等的实数根， 则函数的图像与轴有一个交点． （3）解：函数的图像经过点， 是的根， ，， ， ，即， 将，代入， 得，， ， ， ； 方法二：根据函数图像水平平移不改变对应点的纵坐标特征 由可得函数图像与轴两交点距离为1，将函数水平移到以轴为对称轴， ∴ 由方法一可得:，解得： ∴新图像解析式为：，点，平移后为，， 代入， 得， 则． 【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【压轴题型六 二次函数的应用（销售、增长率等问题）】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）某公司推出一种高效环保洗涤用品，年初上市后公司经历了亏损到盈利的过程如图的二次函数图象部分刻画了该公司年初以来累积利润万元与销售时间月之间的关系即前个月的利润总和与之间的关系根据图象提供的信息，可求出该公司第个月的利润是 万元．    【答案】5.5 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键． 设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为，把和代入求得函数的解析式，再代入7和8作差即可得到结论． 【详解】解：设累积利润（万元）与销售时间（月）之间的关系为， 把和代入得，， 解得， ， 当时，， 当时，， 万元， 答：该公司第8个月的利润是万元， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期末）某商城在2024年元旦节期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个14元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老客户”活动，对于老客户，商城连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元的价格售出，求商城每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当每个售价20元时，平均每天能够售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个，在保证每个商品的售价不低于进价的前提下，商城要想获得最大利润，每个商品的定价应为多少元？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)19元；250元 【分析】（1）设商城每次降价的百分率为x，根据题意，得，解方程即可． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元，利用每天销售获得的总利润＝每件的销售利润×每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，结合每个商品的售价不低于进价，解之即可得出x的值即可求得． 本题考查了一元二次方程的应用-平均增长率问题，二次函数的应用，找准等量关系，正确构造二次函数是解题的关键． 【详解】（1）设商城每次降价的百分率为x， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：商城每次降价的百分率为为． （2）设降价x元，则每个盈利元，每天可售出个，每天的总利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，利润最大，250(元), 答：定价为19元，最大利润为250元． 4．（22-23九年级上·浙江杭州·期中）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 5．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长x（单位：）在5~50之间，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价p（单位：元）和浮动价q（单位：元）两部分组成，其中基础价p与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，在营销过程中得到了如下表格中的数据： 薄板的边长（） 20 30 出厂价（元/张） 50 70 (1)求一张薄板的出厂价（单位：元）与边长x（单位：）之间满足的函数关系式； (2)已知出厂一张边长为的薄板，获得的利润是26元（利润=出厂价一成本价）． ①求一张薄板的利润（单位：元）与其边长x（单位：）之间满足的函数关系式； ②求当边长x（单位：）多少时，出厂一张湾板获得的利润（单位：元）最大，是多少． 【答案】(1)； (2)①；②当边长为时，利润最大，为35元． 【分析】（1）根据题意，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例，设，结合，代入转化为方程组解答即可． （2）①根据每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，不妨设，由此每张的利润为，根据时，元，代入解答即可． ②根据题意，得，利用二次函数的最值解答即可． 本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法，二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，浮动价q与薄板的边长x（单位：）成正比例，不妨设， ∵， ∴， 把，分别代入解析式，得， 解得， 故． （2）解：①∵每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，不妨设， ∴每张的利润为， ∵时，元， ∴， 解得， 故 代入解答即可． ②解：根据题意，得， ∵， ∴函数有最大值，且当时，由最大值35， 故当边长为时，利润最大，最大利润为为35元． 6．（2024·四川南充·模拟预测）某工厂接到一批产品生产任务，按要求在20天内完成，已知这批产品的出厂价为每件8元．为按时完成任务，该工厂招收了新工人，设新工人小强第x天生产的产品数量为y件，y与x满足关系式为：． (1)小强第几天生产的产品数量为200件？ (2)设第天每件产品的成本价为元，（元）与（天）之间的函数关系图象如图所示，求与之间的函数关系式； (3)设小强第天创造的利润为元． ①求第几天时小强创造的利润最大？最大利润是多少元？ ②若第①题中第天利润达到最大值，若要使第天的利润比第天的利润至少多124元，则第天每件产品至少应提价几元？ 【答案】(1)小强第10天生产的产品数量为200件 (2)与之间的函数关系式为： (3)①第14天时，利润最大，最大值为576元；②第15天每件产品至少应提价0.5元 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式． （1）把代入，解方程即可求得； （2）根据图象求得成本与x之间的关系即可； （3）①然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到w与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；②根据①得出，根据利润等于订购价减去成本价得出提价a与利润w的关系式，再根据题意列出不等式求解即可 【详解】（1）由题意可知，生产的产品数量为200件时，， 故：，解得： 答：小强第10天生产的产品数量为200件． （2）由图象得，①当时，． ②当时，设， 由题意可得， 解得：， ． 综上可得，与之间的函数关系式为：； （3）①当时，， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值为：（元）； 当时，， ， 随的增大而增大， 故当时，有最大值为（元）． 当时， ． 当时，有最大值，最大值为576（元） 综上可知，第14天时，利润最大，最大值为576元． ②由①可知，， 设第15天提价元，则第15天的利润为：， 由题意得：， 解得：， 答：第15天每件产品至少应提价0.5元． 【压轴题型七 二次函数的应用（图形运动、拱桥、投球等问题）】 1．（23-24九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在中，，，，动点从点开始沿向点以的速度移动，动点从点开始沿向点以的速度移动，若，两点分别从，两点同时出发，点到达点运动停止，则的面积随出发时间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象和性质．根据题意表示出的面积与的函数关系式，结合抛物线的图象和性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 则的面积， 故的面积随出发时间的函数图象是开口向下的抛物线． 故选：C． 2．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，以点为原点建立平面直角坐标系，羽毛球的飞行高度之间满足解析式，球网离点的水平距离为米，甲运动员发球过网后，乙运动员在球场上处接球，乙原地起跳可接球的高度为2.4米，若乙因接球高度不够而失球，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】将代入即可求得的最大值，再结合球网离点的水平距离为米可知，从而可得的取值范围． 【详解】解：由题意，得 ， 解得（舍去）， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽时，拱顶离水面．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降时，求此时水面的宽度是多少米？ 【答案】此时水面的宽度增加了 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先设解析式，然后构建函数图象，求出解析式，再代入数值进行计算即可得到答，根据已知给出的直角坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系． 设抛物线的解析式为：， 水面宽时，拱顶离水面， 点在此抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为， 当水面下降时，即时，， ， 此时水面的宽度为， 即此时水面的宽度增加了． 4．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在四边形中，，，点P以的速度由运动，到达点D停止；同时点Q以的速度由运动，到达点C停止．设的面积为y，运动时间为xs． (1)请写出y与x之间函数关系式并画出图像； (2)当时，求运动时间． 【答案】(1)，图见解析 (2)2秒 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）分点Q到达点B之前和到达点B之后，两种情况进行讨论，即可得到答案． （2）根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： 作交于点M ∵ ∴点Q到达点B上的时间是，点P到达点D的时间是 当时， ∵ ∴在中， ∴． 当点Q到达终点C的时间是，故当时，如图，的底为，高为，为定值． ∴． 综上所述：． 列表如下： 0 2 4 5 8 0 2 8 8 8 画出函数图像如图： （2）同理，当时， ． 当时，P到达点D，三角形不存在． 当时，则：， 整理，得：， 解得：（舍去）或，即运动时间时． 5．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2． (1)求抛物线L的函数解析式； (2)求小球P在x轴上的落点坐标； (3)在x轴上的线段处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知，且每个回收箱的宽、高分别是、，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个数． 【答案】(1)抛物线L的函数解析式为； (2)小球P在x轴上的落点坐标为； (3)竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）对于，令，求解一元二次方程，据此计算即可求解； （3）由题意先求出，当和时，求得对应的值，再设竖直摆放的回收箱有个，根据题意得出关于的不等式组，求出的整数解即可． 【详解】（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线L对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线L对应的函数解析式为； （2）解：对于， 令，则， 解得，， ∴小球P在x轴上的落点坐标为； （3）解：∵，， ∴，对于， 当时，； 当时，； 设竖直摆放的回收箱有个， 则， 解得， ∵是正整数， ∴可以是3或4或5或6或7， 答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个． 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为，中间处球网的高度为．现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：）的相关数据，如下表所示： 0 2 4 6 8 10 12 14 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围） (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少？ 【答案】(1) (2)乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为； (3)发球口最多向右平移． 【分析】本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器出口的水平距离是解决本题的难点． （1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数为一次函数，设，把表格中的前两组数据代入可得和的值，观察表格中的数据可得一次函数自变量的取值在0和8之间； （2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取，求得相应的的值，取较大的值即为乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离； （3）取，代入抛物线解析式，求得对应的的值；易得球台长，那么球台的一半长，取球台的一半长减去较小的的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多平移的距离． 【详解】（1）解：球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线， 设． 经过点，． ． 球从发球器出口到第一次接触台面时关于的函数解析式为：； （2）解：当时，设抛物线的解析式为：． ． 解得：． ． 当时，． 整理得：． ． 解得：，（舍去）． 答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为； （3）解：． 球台的一半长． 当时， ． 整理得：． 解得：（舍去），． ． ，， 发球口最多向右平移． 【压轴题型八 二次函数中的存在性问题】 1．（2023九年级·全国·专题练习）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得 把代入得，代入得 ∴ 解得； 把代入得，代入得 ∴，解得， 综上，c的取值范围为：． 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）若函数的图象上至少存在一个点，该点关于轴的对称点落在函数的图象上，则称函数为关联函数，这两个点称为函数的一对关联点．若函数与一次函数（为常数）为关联函数，且只存在一对关联点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，二次函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 设和是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点， 设和是这对函数的关联点， ∴， 即关于的方程，有两个相等的实数根， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（2024·山西晋中·三模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，点的坐标为，直线与抛物线交于，两点． (1)求拋物线的函数表达式及点的坐标． (2)求的值和点的坐标． (3)是第四象限内拋物线上的动点，点的横坐标为，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作于点． ①当是线段的三等分点时，求点的坐标； ②连接，，，在点运动的过程中，是否存在？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)，点的坐标为 (3)①点的坐标为或；②存在，的长为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两个函数求交点，二次函数的性质，正方形的性质等，正确画出辅助线是解题的关键． （1）待定系数法求解即可； （2）联立解方程组即可； （3）①根据坐标求出线段长，利用三等分即可求解； ②作辅助线见解析，根据正方形的性质，列式求解即可． 【详解】（1）将点，点代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式为， 点的坐标为． （2）将点代入，解得， 联立，解得（舍去），， 点的坐标为． （3）①由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ． 是线段的三等分点， 或． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 当时，即，解得，（舍去）， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． ②存在，的长为． 如图，过点作轴，过点作轴，令直线与轴的交点为，点关于直线对称的点为， ，， ，， ， 四边形是正方形． ， ． 由正方形的对称性可知， ． 把代入，得， 点在抛物线上， 当点与点重合时，即满足， ． 4．（2024·湖南邵阳·模拟预测）如果二次函数的图象的顶点在二次函数为的图象上，同时二次函数的图象的顶点在二次函数的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”． (1)若二次函数与二次函数互为“顶点相容函数”，则_______． (2)如图，已知二次函数的图象的顶点为，点是轴正半轴上的一个动点，将二次函数的图象绕点旋转得到一个新的二次函数的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且的图象的顶点为． ①求二次函数的解析式； ②点为轴上一点，是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点的坐标为或 【分析】（）根据“顶点相容函数”的定义得到该函数的图象的顶点坐标为，再代入二次函数解析式得到即可解答； （）①根据旋转的性质可知，再根据全等三角形的性质及二次函数的性质即可解答；②根据直角三角形的性质分三种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数， ∴该函数的图象的顶点坐标为， ∴将代入，得， 解得． ∴二次函数的解析式为, ∴二次函数的顶点为， ∴将代入入得， ∴符合要求， 故答案为：； （2）解：①∵旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”， ∴的图象的顶点必在二次函数的图象上， ∵的图象是二次函数为的图象绕点旋转得到， ∴这两个函数图象的顶点关于点对称， 如图，分别过作轴，轴，垂足分别为， 在和中， ∴， ∴． 当时，， 解得（舍去）， ∴点的坐标为， 当点是的图象的顶点时，设， 把代入， 解得， ∴二次函数的解析式为为； ②设点的坐标为，则， ； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得， 综上所述，存在一点，使得为直角三角形，点的坐标或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，二次函数的性质与图象，直角三角形的性质，“顶点相容函数”的定义，理解“顶点相容函数”的定义是解题的关键． 5．（2024·陕西咸阳·三模）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点的坐标为，于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移一定距离后得到抛物线，已知抛物线的顶点为，且抛物线与轴无交点，点为平面直角坐标系中一点，请问是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，菱形的性质及两点间距离， （1）将点，代入抛物线，得到关于、的二元一次方程组，求解可得解析式，再令，解一元二次方程组，求解即可； （2）分两种情况，根据菱形的性质及两点间距离即可求解； 掌握菱形的性质及两点间距离公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点和点在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，得：， 解得：，， ∴； （2）∵抛物线：， ∴抛物线的对称轴为∶直线， ∵将抛物线沿轴向下平移一定距离后得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为∶直线， 设点，使得以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①若，如图， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ②若，如图， ∵，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 综上所述，当点的坐标为或时，以为顶点的四边形是以为边的菱形． 【压轴题型九 二次函数与一次函数压轴题】 1．（2023·四川巴中·模拟预测）将二次函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组一元二次方程的问题解决．先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则，则可求出的取值． 【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：， 则， 消去得到， 整理得， ， ， 故选：C 2．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将顶点C坐标代入抛物线表达式中求解即可； （2）先求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意，将代入中，得， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， 设，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 3．（2024·云南昆明·二模）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），由于，当即时，无论为何值，一定等于，我们就说直线一定经过定点．设抛物线（是常数，）经过的定点为点，顶点为点． (1)抛物线经过的定点的坐标是______； (2)是否存在实数，使顶点在轴上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)当时，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短．求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图像探究函数图像经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键． （）将抛物线的解析式进行整理得，可得“定点”的坐标为； （）根据判断即可； （）先求出，再根据的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短，得点、、三点共线，从而根据当过点和过点，即可求解的取值范围为． ． 【详解】（1）解：， 当，即时，， ∴无论为何值一定等于， ∴抛物线一定过定点． ∴． 故答案为：． （2）解：不存在，理由如下： ∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴不存在实数，使顶点在轴上， （3）解：∵当时，， ∴， ∵，在的图像上存在点，使得这个点到点、点的距离的和最短， ∴点、、三点共线， ∵在直线上， ∴当过点时得， ， 解得， 当过点时得， ， 解得， ∴的取值范围为． 4．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)为任意实数． 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴该二次函数的解析式为， ∵， ∴图象顶点的坐标为； （2）解：∵一次函数的图象经过点A， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∵， ∴点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上． ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴恒成立， ∴为任意实数． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点． (1)求一次函数与二次函数的表达式； (2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为，，， 【分析】（1）由待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）求出点坐标，根据平行四边形性质，设，，由列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵过点， ∴，解得， ∴一次函数表达式为：； ∵点在上， ∴，即， ∵点在上， ∴，解得， ∴二次函数表达式为：； （2）解：∵点在轴上，且在上， ∴，即， 如图所示： ∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设，，则有， 或，解得或， 是直线上的点， ∴点坐标为，，，． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、直线与坐标轴交点坐标、抛物线与坐标轴交点、平行四边形性质、二次函数与平行四边形综合等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 【压轴题型十 二次函数的翻折问题】 1．（2024·山东济南·二模）抛物线，将其图象在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形是上的任意一点，当时，的最大值记为，则取得最小值时，的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据题意，结合所给选项画出正确的图形是解决本题的关键．根据二次函数的图象的开口向上，图象过原点，结合的取值范围和所给选项，画出相关图形，得到时，的最大值，比较后得到取得最小值时，的值为多少． 【详解】解：①当时，对称轴在轴的左侧或者轴．所给选项无，所以以对称轴在轴左侧为例，画出图形． 由图象可得：当时， ∴当取的最小值时，最小，即 ②当时，对称轴在轴的右侧． 当时，． 当时， 图象的最高点为顶点． ． 或不合题意，舍去． 取得最小值时，的值为． 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南信阳·期中）如图函数图象是由函数的图像轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是 ． ； 将图像向上平移个单位后与直线有个交点．    【答案】①③④ 【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与y轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图象有3个交点，故④正确． 【详解】图象经过，， 抛物线的对称轴为直线， ， ，即， 故正确； ， 抛物线与轴交点在轴下方， 故错误； ， ， ， 故正确； ∵将点和代入， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为：， ∵当时，， ∴图象上当时，函数顶点的坐标为， ∴将图象向上平移1个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：    综上：正确的有①③④， 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键． 3．（2024·山东德州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象在轴上方的部分沿轴翻折，其他部分保持不变，得到一个新的函数图象，若当时，这个新函数的函数值随的增大而增大，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)的取值范围是或． 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题的关键． （1）①先根据二次函数为，得到对称轴为直线，把代入解析式求得或，根据题意点在对称轴右侧，即，则，即可求得抛物线的解析式；②根据开口方向和对称轴顶点，当时，函数取得最大值3，当时，函数取得最小值，在范围内，解得； （2）令，得，解得，与，根据题意得到①，②且，即可求得的取值范围是或． 【详解】（1）解：①二次函数为 对称轴为直线， 令，有，解得或 为该二次函数图象与轴靠右侧的交点， 点在对称轴右侧． ，故． 二次函数解析式为 ②由于二次函数开口向下，且对称轴为直线， 时，函数值随的增大而减小； 当时，函数取得最大值3； 当时，函数取得最小值 在范围内，解得； （2）解：令，得，解得 将函数图象在轴上方的部分向下翻折后，新的函数图象增减性情况为： 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小． 因此，若当时，随的增大而增大，结合图象有： ①，即时符合题意； ②且，即时符合题意． 综上，的取值范围是或． 4．（2023·浙江金华·二模）定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点是函数的图象的“倍值点”． (1)分别判断函数，的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由； (2)设函数，的图象的“倍值点”分别为点，，过点作轴，垂足为．当的面积为2时，求的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)不存在“倍值点”，理由见解析；的图象上存在两个“倍值点”或； (2)的值为或6； (3)当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或． 【分析】（1）根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案； （2）先根据“倍值点”的定义求出函数的图象上有两个“倍值点”，同理求出，根据的面积为3可得，求解即可； （3）先求出函数的图象上有两个“倍值点”或，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令，得不成立， 函数的图象上不存在“倍值点”； 在中，令， 解得：，， 函数的图象上有两个“倍值点”或； （2）解：在函数中，令， 解得：， ， 在函数中，令， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为2， ， （舍去），， 的面积为2， ， ， ，（舍去）， 综上所述，的值为或6； （3）解：令， 解得：，， 函数的图象上有两个“倍值点”或， ①当时，，两部分组成的图象上必有2个“倍值点”或， ， ， 令， 整理得：， 的图象上不存在“倍值点”， △， ， ， ②当时，有3个“倍值点”， ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”， ④当时，，两部分组成的图象上恰有1个“倍值点”， ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“倍值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“倍值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． 【压轴题型十一 二次函数最值问题】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）在中，边的长与边上的高的和为8，当面积最大时，则其周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则高为，设面积为S，则，找到面积最大时的值，过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小，计算可以解题． 【详解】设，则高为，设面积为S ， 的面积最大， ， 即， 过A作直线l，作B关于l的对称点E，连接交l于点G，连接CE交l于点F，则A在F处时，的周长最小， ， ， ， 的周长最小值为：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题，轴对称的应用，是一道二次函数的综合题，正确运用轴对称是解题的关键． 2．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，D是边上一动点，以为边作正，则最大 ． 【答案】 【分析】过点E作交于点F，在取点G，使，连接，设，则，证明，可得，从而得到，然后三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作交于点F，在上取点G，使，连接， 设，则， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，根据题意得到是解题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．点P为该抛物线上的任意一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，构造矩形，垂足分别为M、N．设点P的横坐标为m． (1)分别求点A，点B的坐标； (2)当点P在x轴上方时，此时矩形的周长L是否存在最值？若存在，请求出最值；若不存在，请说明理由； (3)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2)存在，最大值为12 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合思想的运用是解答本题的关键. （1）利用解方程求出函数与坐标轴的交点坐标； （2）由题意可知设P，点P在x轴上方，得到的取值范围，然后分，，三种情况表示矩形的周长，求出最值即可； （3）分和两种情况讨论函数图象的增减性即可解题． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， ∴，     ∴； （2）∵P点横坐标为m， ∴P， ∵当点P在x轴上方， ∴，， ①当时，此时构造产生的图形为一条线段，不存在矩形，舍去 ②当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴不在范围内， 在内，L随m的增大而增大， ∴当时，； ③当时， ∴，， ∴四边形的周长； ∵开口向下，对称轴在范围内， ∴当时，此时； ∵， ∴当时，此时； ∴当时，； 综上所述，矩形的周长 当m＝时，此时矩形的周长L有最大值为12； （3）∵抛物线的对称轴为直线， 当时，时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 当时，由（1）知抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 当时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大； 综上所述：或时，抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大． 4．（2024·辽宁盘锦·二模）若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数G是在上的“最值差函数”． (1)函数①；②；③，其中函数 是在上的“最值差函数”；（填序号） (2)已知函数． ①当时，函数G是在上的“最值差函数”，求t的值； ②函数G是在（m为整数）上的“最值差函数”，且存在整数k，使得，求k的值． 【答案】(1)②； (2)①或；② 【分析】（1）根据概念分别将①；②；③的最大值，最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案； （2）①分别求出、、时的y值，再分、、、进行讨论，即可得出t的值；②由，可得出，即可知，此时x在抛物线的对称轴右侧，y随x的增大而增大，即可得出的表达式，再根据k为整数，求解即可． 【详解】（1）对于①， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 对于②， 当时，， 当时，， ∴，符合题意； 对于③， 当时，， 当时，， ∴，不符合题意； 故答案为：②； （2）①解：当时，二次函数 为，对称轴为直线． 当时，， 当时，， 当时，． 若，则， ∴ 解得（舍去）； 若，则， ∴， 解得（舍去），； 若，则， ∴ 解得，（舍去）； 若，则， ∴ 解得（舍去）． 综上所述，或． ②∵， ∴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大 ∴当时取得最大值，时取得最小值， ∴， ∴m，k为整数，且， ∴m的值为3， ∴． 【点睛】此题考查了二次函数综合应用，新定义问题，同时也涉及一次函数和反比例函数，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题,分析再一定范围内的最值问题，属于中考压轴题． 5．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴正半轴交于点A，与轴负半轴交于点，且，与直线交于两点． (1)求点的坐标； (2)当时，求的面积； (3)取何值时的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1)点的坐标为 (2)10 (3)时，的面积最小，最小面积是8 【分析】（1）由题意得点的坐标为，根据，得出点A的坐标为，把点A的坐标代入抛物线的解析式即可得出答案； （2）当时，直线的函数表达式为，设直线与轴交于点，求出点的坐标为，得出，令，解得，根据三角形面积公式求出结果即可； （3）令，解得，得出，表示出与之间的函数关系式为：，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意得点的坐标为， ， ∴点A的坐标为， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为． （2）解：抛物线的函数表达式为， 当时，直线的函数表达式为， 设直线与轴交于点，把代入得：， ∴点的坐标为， ， 由，得， ． （3）解：同（2）可得，当时， 即， 解得， ， 与之间的函数关系式为：． 当时，有最小值为8． 故时，的面积最小，最小面积是8． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的面积问题，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质． 【压轴题型十二 二次函数的综合】 1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，若抛物线的图象与第三象限中的线段AB有公共点，且点A为，点B为，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当抛物线的对称轴左侧过点B时，b取最大值；当抛物线的对称轴的右侧经过点A时，b取最小值，计算解答即可． 本题考查了抛物线与线段的交点，熟练掌握图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 当抛物线经过点B时，得， 解得或， 当抛物线经过点A时，得， 解得或， 故b的取值范围是， 故选B． 2．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当时，；④；其中正确结论是 ．    【答案】①④ 【分析】根据与的图象在轴上方即可得出的取值范围；把代入抛物线即可得出的值；由抛物线与轴的交点求出的值；根据两函数的解析式直接得出与的关系即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，顶点坐标在轴的上方， ∴无论取何值，的值总是正数，故本结论正确； ②把代入，抛物线得，，解得，故本结论错误； ③由两函数图象可知，抛物线解析式为，当时，，故，故本结论错误； ④∵抛物线与交于点， ∴的对称轴为的对称轴为， ∴ ∴， ∴，故本结论正确． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解答此题的关键，同时要熟悉二次函数图象上点的坐标特征． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知抛物线与轴交于点两点，过点作轴的平行线交抛物线于两点． (1)求的长； (2)结合图像，直接写出当时，的取值范围是 ． 【答案】(1)3 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数图像上点的特征、二次函数与不等式等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）根据题意可知，对于抛物线，令，并解得的值，即可确定点的坐标，然后计算的长； （2）结合函数图像以及点的坐标，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵轴，且经过点， ∴， 对于抛物线，令， 可得，解得，， ∴，， ∴； （2）由（1）可知，，， ∴结合图像可知，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上．    (1)求此抛物线的解析式，并求出顶点B的坐标； (2)连接，，求； (3)若点C在抛物线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1)，顶点B的坐标为 (2)1 (3)C点坐标为或 【分析】（1）把原点坐标代入中求出c的值，从而得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到B点坐标； （2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求解； （3）设C点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到C点坐标． 【详解】（1）解：把代入得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点B的坐标为； （2）解：当时，， 解得：，， ∴， ∴； （3）解：设C点坐标为， ∵， ∴， 即或， 解方程得： ，， ∴C点坐标为或， 方程无实数解， 综上所述，C点坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 5．（2023·安徽合肥·二模）如图，已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式： (2)若D为直线上方的抛物线上的一点，且的面积为3，求点D的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度，设平移后的抛物线中y随x增大而增大的部分记为图象G， 若图象G与直线只有一个交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质． （1）将，代入，求出a和b的值，即可得出解析式； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为，过点D作y轴的平行线，交于点E，设，则，得出，则，列出方程，求出t的值即可； （3）根据题意进行分类讨论：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时，得出平移后的抛物线的顶点坐标为，把代入得出，则；②当平移后的抛物线与直线相切时，得出平移后的解析式为，则方程方程有两个相同实根，根据一元二次方程根的判别式，即可解答． 【详解】（1）解：将，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 过点D作y轴的平行线，交于点E， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴或； （3）解：①当平移后的抛物线顶点在直线左侧时： ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线顶点坐标为， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∵图象G与直线只有一个交点， ∴； ②当平移后的抛物线与直线相切时： ∵抛物线解析式为， ∴平移后的解析式为， ∵图象G与直线只有一个交点， ∴方程方程有两个相同实根， 整理为， ∴， 解得：， 综上：或． 6．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C． (1)如图1，当时，直接写出A、B、C三点坐标； (2)在（1）的条件下，连接．若D是抛物线上第四象限上一点，且，求点D的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接，分别交y轴于P、Q两点，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)1 【分析】（1）把代入得，进而即可得到答案； （2）取点A关于y轴的对称点E，则，连接，，推出，进而即可求解； （3）先求出，再设，，用参数m和表示出的解析式为，的解析式，从而表示出，，进而即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 令，则，解得：， ∴， 令，则， ∴； （2）解：取点A关于y轴的对称点E，则，连接，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵点A关于y轴的对称点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入得：， ∴，即的解析式为：， 联立，得，即， 解得：（舍去）， 当时，， ∴点D的坐标为； （3）解：令代入，则， 解得：， ∴， 联立得：， 设，， ∴， ∴， 设的解析式为：，则，解得：， ∴的解析式为：， 同理：的解析式为：， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，用参数表示出一次函数解析式和点的坐标是关键． 【压轴题型十三 二次函数的新定义问题】 1．（2024·湖南岳阳·二模）对于平面直角坐标系 中的抛物线G 和抛物线G 外的点P ，给出如下定义：在抛物线G 上若存在两点M，N，使为等腰直角三角形且， 则称抛物线G为点P的T型线，点P为抛物线G的T型点．若 是抛物线的T型点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D．n ≥ 【答案】C 【分析】本题是新定义的阅读理解问题，考查二次函数图象上点的坐标特征及等腰直角三角形的性质，根据新定义可知与构成等腰直角三角形且的点一定在直线和上，然后求出解析式，利用函数的交点与一元二次方程的联系解题即可． 【详解】如图，∵ 是抛物线的T型点， ∴， ∴ ∴点坐标为， 设直线的解析式为：，代入得： ， 解得， ∴解析式为， ∴抛物线必与直线有交点， 故有实数根，即有实数根， ， 解得， 故选C 2．（2024·四川成都·三模）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想． 先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【详解】解：设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为，将代入， 得：， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数， 令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则， 则，解得， 则，而， ∴ ， ∴， 对于，化简为：， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 ∴ ∴， ∴且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上：且． 3．（2024·江苏苏州·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为，那么我们把经过点且平行于x轴的直线称为这条抛物线的极限分割线． 【特例感知】 （1）抛物线的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为 ． 【深入探究】 （2）经过点和的抛物线与y轴交于点C，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D，请用含m的代数式表示点D的坐标． 【拓展运用】 （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为P，直线垂直平分，垂足为E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当时，求点P的坐标． ②若直线与直线关于极限分割线对称，是否存在使点P到直线的距离与点B到直线的距离相等的m的值？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）和；（2）；（3）①或；②存在，0或或 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点， （1）由抛物线与y轴的交点可知其极限分割线，求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可得极限分割线与这条抛物线的另一个交点坐标； （2）由抛物线经过点，代入抛物线的解析式，可用m表示出n，将函数解析式中的n用m表示，再对解析式配方，则可得抛物线的对称轴，然后由抛物线的对称性可得点D的坐标； （3）①设与对称轴交于点G，若，则，由此可得关于m的绝对值方程，解得m的值，再求得相应的y值即可得出答案．②设与对称轴的交点为H，用含m的式子表示出点P的坐标，分别写出极限分割线、直线及直线的解析式，用含m的式子分别表示出点B到直线的距离和点P到直线的距离，根据点P到直线的距离与点B到直线的距离相等，得出关于m的绝对值方程，解方程即可； 明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图象与性质及绝对值方程是解题的关键． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线，极限分割线为， ∴， ∴，， ∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为， 故答案为：和； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵ ， ∴对称轴为直线， ∴， ∴，， ∴点D的坐标为； （3）①设与对称轴交于点G，若，则， ∴， ∴或． ∴当时， ，点P的坐标为； 当时， ，点P的坐标为， ∴点P的坐标为或； ②存在，m的值为0或或． 如图，设与对称轴的交点为H． 由（2）知，， ， ∴， ∴抛物线的极限分割线：， ∵直线垂直平分， ∴直线：， ∴点B到直线的距离为， ∵直线与直线关于极限分割线对称， ∴直线：， ∵， ∴点P到直线的距离为|， ∵点P到直线的距离与点B到直线的距离相等， ∴， ∴或或． 4．（2024·河南洛阳·二模）定义：在平面直角坐标系中，当点N在图形M上，且点N的纵坐标和横坐标相等时，则称这个点为图形M的“梦之点”．    (1)点是反比例函数图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是 ； (2)如图，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接，判断的形状，并说明理由： (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“梦之点”，则m的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，二次函数的性质等等： （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出时，自变量的值即可得到答案； （2）先求出时的自变量的值，进而求出点A和点B的坐标，再把解析式化为顶点式得到点C的坐标，最后利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明即可得到结论； （3）把解析式化为顶点式得到抛物线的顶点坐标为，分以下几种情况：当时，抛物线的图象上至少存在一个“梦之点”；当时，直线与抛物线在范围内不存在交点；当抛物线恰好经过原点时，则，解得或，当时，联立解得或，符合题意；当时，此时二次函数与在范围内不存在交点；当时，由于抛物线的顶点坐标在直线，则当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值是保持不变的，求出当时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为，由于抛物线的顶点坐标在直线，则当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为1，则当时，二次函数与的另一个交点的横坐标为，则，解得，据此结合图象可得答案． 【详解】（1）解：∵是反比例函数图象上的一个“梦之点”， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则，解得， ∴该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是； （2）解：是直角三角形，理由如下： 当时，解得， ∴不妨设； ∵， ∴顶点C的坐标为， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时，抛物线的图象上至少存在一个“梦之点”； ∵抛物线开口向上， ∴当时，直线与抛物线在范围内不存在交点； 当时，联立解得或 当时，由于抛物线的顶点坐标在直线， ∴当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值是保持不变的， 当时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为，即当抛物线沿着直线进行平移时，二次函数与直线的两个交点的横坐标的差值为1， ∴当时，二次函数与的另一个交点的横坐标为， ∴， 解得，    综上所述，． 5．（2024·湖南邵阳·模拟预测）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为m（m为正整数）的点，则称该点为这个函数图象的“m系关联点”.例如，点是函数的图象的“1系关联点”。 (1)在函数①.②.③的图象上存在“2系关联点”的函数是______；（填序号） (2)若函数的图象的“3系关联点”与函数的图象的“6系关联点”首尾顺次相连恰好构成等腰三角形，求b的值； (3)若函数的图象存在唯一的“m系关联点”，当时，函数的最小值为，求t的值. 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】本题考查了一次函、反比例函数，二次函数的性质，勾股定理； （1）根据新定义联立，解方程，即可求解； （2）根据新定义得出函数的图象的“3系关联点”为，，函数的图象的“6系关联点”为，勾股定理表示出两点距离，根据等腰三角形的定义，分类讨论，解方程，即可求解； （3）根据函数的图象存在唯一的“m系关联点”得出，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，“2系关联点”即 ∴“2系关联点”在上， ①无解， ②，解得，则②的图象上存在“2系关联点” ③消去得，， ， 则③的图象上存在“2系关联点” 故答案为：②③． （2）解： 解得：或 ∴函数的图象的“3系关联点”为，， 解得： ∴函数的图象的“6系关联点”为， 设 ∴，， 当是等腰三角形时， ①当时，，此方程无解 ②当时，，此方程无解 ③当时， 解得： （3）解： 消去得， 解得：（为正整数，舍去）或 所以抛物线为 ∵当时，函数的最小值为， 对称轴为直线， ①当时，即，随的增大而减小，则最小值为 解得：，此时最小值为， ②当时，，此方程无解， ③当时，最小值为，则（舍去） 综上所述， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$