专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-243九年级上·上海·单元测试）下列四个函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是 (其中x、t为自变量). 3．（22-23九年级·上海·假期作业）判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）若 是二次函数，则 m 的值为（    ） A．1 B． C．1 或 D．0 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 2．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，正方形的边长为2，与负半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数 为二次函数，求m的值． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】（23-24九年级·重庆·阶段练习）函数y＝（m﹣5）x2+x是二次函数的条件为（　　） A．m为常数，且m≠0 B．m为常数，且m≠5 C．m为常数，且m＝0 D．m可以为任何数 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）函数是二次函数的条件是（ ） A．、为常数，且m≠0 B．、为常数，且 C．、为常数，且n≠0 D．、可以为任何数 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 3．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 1．（24-25九年级上·江苏苏州·开学考试）二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，、是反比例函数在第一象限图象上的两点，动点从坐标原点出发，沿图中箭头所指方向匀速运动，即点先在线段上运动，然后在双曲线上由到运动，最后在线段上运动，最终回到点过点作轴，垂足为点，设的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   1．（2023·山东青岛·二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ． 3．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）普洱茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌普洱茶，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元，经调查发现：其日销售量（千克）与售价（元千克）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)设日利润为元，求与之间的函数表达式，并说明日利润随售价的变化而变化的情况以及最大日利润． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 1．（23-24九年级上·河南商丘·模拟预测）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·模拟预测）用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 3．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】（23-24九年级上·河南郑州·单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 1．（23-24九年级上·山东青岛·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为_____． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】 （23-24九年级上·安徽安庆·单元测试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·江苏南京·单元测试）如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）二次函数的图象经过点(1，0)和(3，0)，则其函数解析式为 ． 3．（23-24九年级上·广东广州单元测试）已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 3．（2023·山东济南·模拟预测）如图，正方形的边长为，以正方形的顶点A、、、为圆心画四个全等的圆，若圆的半径为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 6．（2023九年级上·全国·专题练习）二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 7．（2024·江苏连云港·二模）已知点，是抛物线上的两点，则正数k的值为 ． 8．（23-24九年级上·天津河北·期末）已知二次函数的图象以为顶点，且过点，则该二次函数的表达式为 ． 9．（2024·山东青岛·二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则相框内的长和宽分别为 、 ，y与x之间的函数关系式为 ． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 13．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 14．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 0 －3 －4 －3 … （1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数图像关于x轴对称的图像所对应的函数表达式为 ． 15．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为 (1)S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)直接写出S与x之间的函数关系式； (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】（23-24九年级上·上海青浦·阶段练习）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成，，为常数，的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B．当时是一次函数，故不符合题意； C．是二次函数，故符合题意； D．是一次函数，故不符合题意 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如，，为常数，的函数叫做二次函数． 1．（23-243九年级上·上海·单元测试）下列四个函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的一般形式，即(，且a，b，c为常数)，即可一一判定． 【详解】解：A.中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数； B.在中，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意； C.，不是二次函数，故该选项不符合题意； D.，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是 (其中x、t为自变量). 【答案】①④ 【分析】一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可． 【详解】解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数； ②y＝2x，是一次函数； ③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数； ④m＝3－t－t2，是二次函数. 故填①④． 【点睛】本题考查二次函数的定义． 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2； (3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 (6)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数； （2），符合，故是二次函数； （3），不是整式，故不是二次函数； （4），符合，故是二次函数； （5），符合，故是二次函数； （6），没有二次项，故不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】（23-24九年级上·山东临沂·阶段练习）若 是二次函数，则 m 的值为（    ） A．1 B． C．1 或 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义以及直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：由于 是二次函数， 且， 且， ． 故选B． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得且，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 且， 解得：， 故选：B． 2．（23-24九年级上·福建莆田·期中）如图，正方形的边长为2，与负半轴的夹角为15°，点在抛物线的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接OB，过点B作BD⊥x轴于D，根据正方形的性质求得∠BOA=45°，OB=，根据三角函数和勾股定理可得点B的坐标为（,）,代入抛物线即可求解． 【详解】如图，连接OB，过点B作BD⊥x轴于D， ∵四边形OABC是边长为2的正方形， ∴∠BOA=45°，OB=， ∵AC与x轴负半轴的夹角为15°， ∴∠AOD=45°﹣15°=30°， ∴BD= OB= ，OD= = = , ∴点B的坐标为（,）, ∵点B在抛物线的图象上， 则：， 解得：， 故答案为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据坐标求解析式，涉及到正方形的性质、勾股定理、三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学知识求得点B的坐标． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知函数 为二次函数，求m的值． 【答案】m=﹣1 【分析】根据二次函数的定义，列出一个式子即可解决问题． 【详解】解：由题意：，解得， 时，函数为二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的定义，记住二次函数的定义是解题的关键，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】（23-24九年级·重庆·阶段练习）函数y＝（m﹣5）x2+x是二次函数的条件为（　　） A．m为常数，且m≠0 B．m为常数，且m≠5 C．m为常数，且m＝0 D．m可以为任何数 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案． 【详解】函数y＝（m﹣5）x2+x是二次函数的条件为：m为常数，且m≠5． 故选B． 【点睛】考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键． 1．（23-24九年级上·全国·课后作业）函数是二次函数的条件是（ ） A．、为常数，且m≠0 B．、为常数，且 C．、为常数，且n≠0 D．、可以为任何数 【答案】B 【详解】由题意得,所以、为常数，且,选B. 2．（23-24九年级上·云南昭通·期末）若函数（m是常数）是二次函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．利用二次函数定义可得：，且，再计算出的值即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案为： 3．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴． 解得：． （2）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：且． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】（23-24九年级上·全国·单元测试）关于函数y=（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（　　） A．y是x的二次函数 B．二次项系数是﹣10         C．一次项是100       D．常数项是20000 【答案】C 【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可. 【详解】∵y=（500﹣10x）（40+x） =-10x2+100x+20000， ∴y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000， ∴A、B、D正确，C错误. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可. 1．（24-25九年级上·江苏苏州·开学考试）二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（  ） A．3、、 5 B． C．3、 、 D．3、、 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，所以此题可根据二次函数的一般形式“形如”进行求解即可． 【详解】解∶ 二次函数中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、 、 ， 故选∶C． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数的二次项是 ，一次项系数是 ，常数项是 ． 【答案】 5 【分析】根据二次函数的定义判断即可。 【详解】解：二次函数的二次项是，一次项系数是，常数项是， 故答案为：①，② ，③ ， 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，要熟练掌握，一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 3．（22-23九年级·上海·假期作业）下列函数中（x，t为自变量），哪些是二次函数？如果是二次函数，请指出二次项、一次项系数及常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (2)不是； (3)是，二次项是、一次项系数是、常数项是； (4)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （2），不含二次项，故不是二次函数； （3）是二次函数，二次项是、一次项系数是、常数项是； （4）中不是整式，故不是二次函数． 【点睛】本题考查二次函数的概念，二次项系数、一次项系数、常数项的概念，解题的关键是掌握以上知识点．形如（）的函数叫做二次函数，其中叫做二次项、叫做一次项系数、是常数项． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，、是反比例函数在第一象限图象上的两点，动点从坐标原点出发，沿图中箭头所指方向匀速运动，即点先在线段上运动，然后在双曲线上由到运动，最后在线段上运动，最终回到点过点作轴，垂足为点，设的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】当点在上运动时，此时随的增大而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随的增大而减小，根据以上判断做出选择即可． 【详解】解：当点在上运动时，不变， 所以A、C选项错误； 当点在上运动时，此时随的增大而增大， 设与轴的夹角是，点运动速度为，则，是二次函数， 同理，当在上运动时，也是的二次函数，故B错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象． 1．（2023·山东青岛·二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象确定-b、b2-4ac、a-b+c的符号，由它的符号判定一次函数图象与反比例函数图象所经过的象限即可． 【详解】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向向下，则a＜0． 对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，所以b＞0，故﹣b＜0． 又因为抛物线与x轴有2个交点， 所以b2﹣4ac＞0， 所以直线y＝﹣bx+b2﹣4ac经过第一、二、四象限． 当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以双曲线y＝在经过第二、四象限． 综上所述，符合条件的图象是B选项． 故选A． 2．（23-24九年级上·浙江台州·期末）如图1，在中，，，动点D从点A出发，沿的方向运动，当点D到达点C时停止运动，将线段绕点A逆时针旋转到达点E，连接，，设点D的运动路程为x．的面积为y，图2表示的是y关于x的函数图象，已知点D在的运动过程中，y有最大值．则当点D停止运动时，函数图象中a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰直角三角形性质、勾股定理及二次函数的性质，根据点D在的运动过程中，y有最大值结合二次函数最值求出，根据勾股定理求出，表示出函数解析式求最值即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵当点D在的运动过程中，y有最大值， ∵绕点A逆时针旋转到达点E， ∴， 设， ∴， ∴当时y最大，即点D运动到中点时y最大， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， 当点D在上运动时，由函数图像得，点D到点C时最大如图， ， ∵绕点A逆时针旋转到达点E， ∴，，三点共线，，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）普洱茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌普洱茶，每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元，经调查发现：其日销售量（千克）与售价（元千克）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数表达式； (2)设日利润为元，求与之间的函数表达式，并说明日利润随售价的变化而变化的情况以及最大日利润． 【答案】(1) (2)，售价为元时获得最大利润，最大利润是元 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的应用； （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据“总利润每千克利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． 【详解】（1）解：设， 将、代入，得： ， 解得：， ∴． ∵每千克成本为元，规定每千克售价需超过成本，但不高于元， ∴； ∴ （2）解： ， ∵ ∴当时，最大值， 故函数表达式为，售价为元时获得最大利润，最大利润是元． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）一部售价为4000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以（每次降价的百分率），列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ． 【答案】 【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可. 【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元， 所以： 故答案为： 【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键. 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： 1．（23-24九年级上·河南商丘·模拟预测）如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系． 2．（23-24九年级上·湖北武汉·模拟预测）用长的篱笆围成矩形圈养小兔，求矩形的面积与矩形的长之间的函数关系式． 解决方案：在这个问题中，因为矩形的长为，所以宽为 ． 因为矩形的面积为， 所以与之间的函数关系式为 ，整理为 ． 【答案】 【分析】（1）由矩形的周长求解； （2）由矩形的面积公式求解． 【详解】解：宽， 面积，． 故答案为：，， 【点睛】本题考查矩形的性质，列函数解析式；由矩形的性质得到等量关系是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东青岛·单元测试）矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)； (3)的长为或2或． 【分析】（1）证明，即可求解； （2），，由勾股定理即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设交于点， 则， ，， ， ， ，， 则； （2）解：由题意得：则，， ，， ，， ， 则， 化简得：； （3）解：①当时， 过点作，则， 则， 连接，则， 在中，， 即：②， 联立①②并解得：， 故； ②当时， 则， 点与点重合， 即：； ③当时， 则， 即：是的角平分线， 故：， 则，而， 则； 故的长为或2或． 【点睛】本题为四边形综合应用题，涉及到矩形与折叠问题、勾股定理运用、二次函数基本知识等，其中（3），关键是按条件分类，正确画图、确立线段间的关系，进而求解，本题综合性强，难度较大． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】（23-24九年级上·河南郑州·单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元， ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 1．（23-24九年级上·山东青岛·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为，第二次降价后价格为，进而可得与之间的关系式． 【详解】解：每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二次函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 3．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元． (1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()； (2)() 【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可； （2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为 ． 时，， 时，， ， 解得， ， 根据部门规定，得． （2） 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】 （23-24九年级上·安徽安庆·单元测试）在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 1．（23-24九年级上·江苏南京·单元测试）如图，函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设，代入整理即可． 【详解】解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为和， 可设， ∵函数与y轴的交点坐标为， ∴， 解得：， ∴，整理可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（23-24九年级上·福建厦门·单元测试）二次函数的图象经过点(1，0)和(3，0)，则其函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把点(1，0)和(3，0)代入，求出的值即可． 【详解】解：把点(1，0)和(3，0)代入，得： ， 解得， ∴二次函数解析式为 故答案为： 3．（23-24九年级上·广东广州单元测试）已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将、代入解析式即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． 1．（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）如果函数是二次函数，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 2．（2023九年级上·浙江·专题练习）若函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0或 B．0或1 C． D．1 【答案】C 【分析】利用二次函数定义可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：或且， 故， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，我们把形如（其中a，b，c是常数，）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 3．（2023·山东济南·模拟预测）如图，正方形的边长为，以正方形的顶点A、、、为圆心画四个全等的圆，若圆的半径为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形得出阴影部分的面积等于一个半径为x的圆面积，从而得到y与x的函数关系式． 【详解】解：∵正六边形的内角和，四个阴影部分组成一个半径为x的圆， ∴， 当时，． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x之间的函数关系式是解题的关键． 4．（2024·安徽合肥·模拟预测）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 5．（2024九年级上·全国·专题练习）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x …           0 3 5 … y …           0           … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而减小 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】此题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质． 根据表格中所给数据，可求出抛物线的解析式，再对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为． 因为， 所以抛物线的开口向下．故A选项不符合题意． 因为， 所以当时，y随x的增大而减小．故B选项不符合题意． 令得，， 解得， 所以抛物线与x轴的交点坐标为和． 又因为抛物线的顶点坐标为， 所以抛物线经过第一、三、四象限．故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线．故D选项符合题意． 故选：D． 6．（2023九年级上·全国·专题练习）二次函数的二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 / 3 【分析】根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3， 故答案为：；3． 【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键． 7．（2024·江苏连云港·二模）已知点，是抛物线上的两点，则正数k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，方程组的解法等知识点，根据二次函数图象上点的坐标特征代入求出①，②，用加减消元法得到k的值即可，解出，②，是解答本题的关键． 【详解】∵，是抛物线上的两点， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∴①，②， ②−①得：， 故答案为：． 8．（23-24九年级上·天津河北·期末）已知二次函数的图象以为顶点，且过点，则该二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】设二次函数的解析式为，再把点B的坐标代入，即可求解． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 把点B的坐标代入，得 ，解得， 故， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，设出顶点式是解决本题的关键． 9．（2024·山东青岛·二模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二次函数，根据总利润单件利润销售量，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 故， 故答案为：． 10．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则相框内的长和宽分别为 、 ，y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列代数式，二次函数的实际应用及不等式组的实际应用，根据题意列出相框内的长和宽，根据矩形面积公式即可求出y与x之间的函数关系式． 【详解】解：相框长，宽，相框边的宽为， 相框内的长为，相框内的宽为， 根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为：，，． 11．（2024九年级上·全国·专题练习）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y＝3x—1； （2） ； （3）  ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（2）（4）是二次函数 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解∶（1）不是二次函数，因为自变量的最高次数是1． （2）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （3）不是二次函数，因为自变量的最高次数是3． （4）是二次函数，因为符合二次函数的概念． （5）不是二次函数，因为原式整理后为y=－x． （6）不是二次函数，因为x－2为分式，不是整式． 故（2）（4）是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（其中a、b、c均为常数，且）的函数关系称为二次函数是解题的关键． 12．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知是关于的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【分析】根据二次函数定义可得，解之可得m的值，从而可得函数解析式及各项系数、常数项。 【详解】解：根据题意可得 解之得：或， 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 当时，二次函数为，其二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【点睛】本题考查二次函数定义及相关基础问题，熟练掌握二次函数的定义并准确的找到二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项是解题的关键． 13．（23-24九年级上·四川泸州·期中）若函数是以x为自变量的二次函数． (1)求k的值； (2)当函数值时，求自变量x的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，求二次函数的自变量； （1）根据二次函数的定义得出，求出k的值即可； （2）把代入函数解析式中得出，再把代入得出，解关于x的方程即可． 解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，一般地,我们把形如 (其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）解：把代入函数解析式中得：， 当时，， 解得：，． 14．（23-24九年级上·江苏南京·期末）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … －2 －1 0 1 2 … y … 5 0 －3 －4 －3 … （1）求该二次函数的表达式； （2）该二次函数图像关于x轴对称的图像所对应的函数表达式为 ． 【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝－(x－1)2＋4. 【分析】（1）由（0，-3）、（2，-3）可知，二次函数图像的顶点坐标为（1，－4），于是可设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4，再选一组值代入即可求出a值，于是解析式可求； （2）先根据对称点求出新抛物线的顶点，再确定二次项系数的值即可. 【详解】解：（1）观察表格数据可知，二次函数图像的顶点坐标为（1，－4），设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4， 把（0，－3）代入y＝a(x－1)2－4得，-3＝a(0－1)2－4， ∴a＝1， ∴y＝(x－1)2－4， 即y＝x2－2x－3 ； （2）新抛物线的顶点是（1，－4）关于x轴的对称点（1， 4），开口方向与原抛物线相反，开口大小相同，故二次项系数与原抛物线二次项系数互为相反数为-1， ∴关于x轴对称的图像所对应的函数表达式为y＝－(x－1)2＋4. 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键. 15．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为 (1)S与x之间是_____函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)直接写出S与x之间的函数关系式； (3)当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)二次 (2) (3)当x为时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）设矩形小花园边的长为，面积为，则，再根据矩形的面积公式写出函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意得：S与x之间是二次函数关系； （2）解：设矩形小花园边的长为，面积为，则， 由题意得：， ∵， 解得：， ∴S与x之间的函数关系式为； （3）解：， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当x为时，小花园的面积最大，最大面积是． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$