精品解析：湖北省沙市中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

2024—2025学年度上学期2024级 10月月考数学试卷 命题人：肖小权 审题人：吕跃 考试时间：2024年10月10日 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 3. 由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（ ）个元素 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 4. 命题：使的否定为（ ） A. 不等式恒成立 B. 不等式成立 C 恒成立或 D. 不等式恒成立 5. 设， 则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在，使，则的取值集合是（ ） A B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知集合，，若，则取值可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，且恒成立，又存在实数，使，则的取值可能为（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则_____ 13. 已知关于的不等式恰有一个实数解，则的取值集合为_____ 14. 已知，则的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，. （1）求的取值范围； （2）求的最大值. 16. 根据气象部门的预报，在距离某码头处南偏东方向公里处的热带暴雨中心正以公里每小时的速度向正北方向移动，若距暴雨中心公里以内的地区都将受到影响，根据以上预报，从现在起多长时间后，该码头将会受到热带暴雨的影响？且影响的时间大约有多长？（精确到） 17. 已知集合,,，且,求的取值范围. 18. 已知函数的定义域为， 若存在常数，，都有，则称为上的“利普希茨”函数. （1）请写出一个“利普希茨”函数，并给出它的定义域和值 （2）若为“利普希茨”函数，试求常数的取值范围 19. 已知 （1）当时，不等式的解为，试求 （2）若，当时，有恒成立，试求的最小值 （3）设，当时，恒成立，试求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期2024级 10月月考数学试卷 命题人：肖小权 审题人：吕跃 考试时间：2024年10月10日 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用Venn图数形结合求解集合. 【详解】由，如下图示， 且， 则. 故选：C. 2. 不等式的解集为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分和两种情况讨论，当时不等式显然成立，当时转化为，根据分式不等式的求解方法求解，最终得到结果. 【详解】由，当时，不等式显然成立； 当时，，， 解得：且. 综上，不等式的解集为. 故选：D. 3. 由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有（ ）个元素 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据取出的数字个数进行分类，每一类中一一列举出来计数即可. 【详解】只取一个元素组成的没有重复数字的自然数：共3个； 只取两个元素组成的没有重复数字的自然数：有12，21，13，31，23，32共6个； 取三个元素组成的没有重复数字的自然数：有123，132，213，231，312，321共6个； 共有种方法，即由1，2，3抽出一部分或全部数字所组成的没有重复数字的自然数集合有15个元素， 故选：A. 4. 命题：使的否定为（ ） A. 不等式恒成立 B. 不等式成立 C. 恒成立或 D. 不等式恒成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论. 【详解】命题：使的否定为 恒成立或. 故选：C. 5. 设， 则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由推出关系即可判断充分不必要条件. 【详解】若，则，， 则，所以成立. 即； 若， 当时，， 也满足，但并不相等. 故推不出. 则是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，求，代入可得结论. 【详解】令，可得，所以，故， 将，代入，得，即. 故选：C. 7. 记不等式､解集分别为、，中有且只有两个正整数解，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，由分析知，求出集合，进而得出中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解. 【详解】由可得：或，所以或， 因为中有且只有两个正整数解，所以， 对于方程，判别式， 所以方程的两根分别为：，， 所以， 若中有且只有两个正整数解， 则即，可得， 所以， 当时，解得，此时，不符合题意， 综上所述：a的取值范围为， 故选：B. 8. 若存在，使，则的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由可得，结合条件列方程求，结合元素互异性检验所得结果. 【详解】因为， 所以，又，， 所以或， 解得或或， 当时，，，满足要求， 当时，，，满足要求， 当时，，与元素互异性矛盾， 故选：BC. 10. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，解集为， ∴，则， ∴，，则A、D正确； 原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误. 11. 已知，且恒成立，又存在实数，使，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二次函数的性质、一元二次方程的判别式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】解：∵，不等式对于一切实数恒成立， ∴，即，；① 又存在，使成立，则，即，得，② 由①②得，即； ∵，∴，∴， ∴， 当且仅当，即时取等号． ∴的最小值为，结合选项可知AC正确， 故选:AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合 ，，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，，结合交集运算法则求结论. 【详解】由有意义可得， 所以， 当时，， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知关于的不等式恰有一个实数解，则的取值集合为_____ 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数图象可知与直线有且仅有一个交点，利用方程判别式等于0可求. 【详解】设，则的图象开口向上， 如图，要使关于的不等式恰有一个实数解， 则函数与直线相切， 即方程即有两个相等实数根， 则，解得. 则的取值集合为. 故答案为：. 14. 已知，则的最小值为_______ 【答案】10 【解析】 【分析】通过，，的几何意义（代表直角三角形斜边），即可求解. 【详解】可以理解为以为直角三角形斜边，可以理解为以为直角三角形的斜边，可以理解为以为直角三角形的斜边， 如图所示,当三斜边与对角线重合时，取到最小值. 又,所以. 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知，. （1）求的取值范围； （2）求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式得到“和”与“积”的不等关系，求解关于“积”的不等式可得； （2）凑积为定值的形式，将看成整体表示所求式，再利用基本不等式求最值可得； 【小问1详解】 因为， 所以， 当且仅当即时等号成立. 令，则， 解得（舍去）或. 所以，则. 故的取值范围是. 【小问2详解】 由，得， 所以，即，其中， 则 . 当且仅当，即时等号成立. 所以的最大值为. 16. 根据气象部门的预报，在距离某码头处南偏东方向公里处的热带暴雨中心正以公里每小时的速度向正北方向移动，若距暴雨中心公里以内的地区都将受到影响，根据以上预报，从现在起多长时间后，该码头将会受到热带暴雨的影响？且影响的时间大约有多长？（精确到） 【答案】h，h 【解析】 【分析】设小时后热带暴雨中心移动到点,在中，利用余弦定理得到的不等式，解不等式得到结果. 【详解】如图，设小时后热带暴雨中心移动到点, 则在中，，，， 根据余弦定理，得， 整理得， 解得：， 且，. 答：从现在起h后，该码头将会受到热带暴雨的影响.影响h. 17. 已知集合,,，且,求的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】先分类讨论A是否是空集，再当A不是空集时，分-2≤a＜0，0≤a≤2，a＞2三种情况分析a的取值范围，综合讨论结果，即可得到a的取值范围 【详解】若A=∅，则a＜-2，故B=C=∅，满足CB； 若A∅，即a-2， 由在上是增函数，得，即 ①当时，函数在上单调递减，则，即，要使,必须且只需，解得，这与矛盾； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，要使,必须且只需，解得； 综上所述，的取值范围是. 【点睛】本题考查了通过集合之间的关系求参数问题，考查了分类讨论的数学思想，要明确集合中的元素，对集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． 18. 已知函数的定义域为， 若存在常数，，都有，则称为上的“利普希茨”函数. （1）请写出一个“利普希茨”函数，并给出它的定义域和值 （2）若为“利普希茨”函数，试求常数的取值范围 【答案】（1），定义域，等（答案不唯一） （2） 【解析】 【分析】（1）根据“利普希兹条件函数”的定义求解； （2）根据“利普希兹条件函数”的定义，设，将问题转化为恒成立求解； 【小问1详解】 ，定义域，等（答案不唯一） 【小问2详解】 若函数是“利普希兹条件函数”， 则对于定义域内的任意，都有成立， 不妨设，则恒成立， 因， 所以， 所以， 所以的取值范围是； 19. 已知 （1）当时，不等式的解为，试求 （2）若，当时，有恒成立，试求的最小值 （3）设，当时，恒成立，试求的取值范围 【答案】（1） （2）时，无最小值；时，最小值为2， （3） 【解析】 【分析】（1）由题设的解集为，列方程组求参数即可； （2）讨论与零的大小，结合不等式恒成立，分别得到、在上恒成立、在上恒成立，进而分别求出在对应情况下的最小值； （3）讨论与零的大小，问题转化为一元二次不等式恒成立，再分别求出对应的参数范围即可； 【小问1详解】 当时，解集为， 所以，解得， 【小问2详解】 由时，有恒成立，且， 当，则恒成立，满足题意，此时，无最小值； 当，即时，恒成立，即恒成立， 又在上递减，则，故， 所以，只需，当且仅当时等号成立， 此时的最小值为2； 当，即时，恒成立，即恒成立， 又在上递减，则，故， 所以，只需，同上分析可知，，故无最小值， 综上，时，无最小值；时，最小值为2. 【小问3详解】 由题设，， 当时，，对任意，恒成立； 当时，对任意，，即恒成立， 所以，解得，故； 当时， 若，则，，则，即， 因为在上单调递减，所以，又，所以； 若，则，，则，即， 因为在上单调递减，所以，又，所以； 若，则时，，即时，即，无解； 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$