精品解析：安徽省六安第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考（10月）数学试题

六安二中2025届高三第二次月考试题 数学 分值：150分 时间：120分钟 命题人：刘欢审题人：袁绪信 注意事项 1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上. 3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效. 4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷(选择题58分) 一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为，则经过一定时间，即t个月后的知识量T满足，h称为知识半衰期，其中是课堂知识量，若，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（ ）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04） A. 8个月 B. 9个月 C. 10个月 D. 11个月 7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 命题“”的否定是“” D. 函数的值域为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为____________ 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 14. 已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题P：“，”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. （1）求集合 （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 16. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 17. 函数. （1）求函数在处的切线方程; （2）求出方程的解的个数. 18. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间 （2）若有两个零点，求的取值范围 19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解. （1）设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)； （2）如图，设函数； (i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释? (ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中2025届高三第二次月考试题 数学 分值：150分 时间：120分钟 命题人：刘欢审题人：袁绪信 注意事项 1.考生务必将自己的姓名、班级写在答题卡上并粘好条形码. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它选项.不能答在试题卷上. 3.解答题按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域的答案无效. 4.保持答题卡卷面清洁，不折叠，不破损. 第Ⅰ卷(选择题58分) 一、单项选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项填涂在答题卡上. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解绝对值不等式和函数定义域解得集合，再求交集即可. 【详解】根据题意，可得， 故. 故选：. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，进而判断命题的充分必要性. 【详解】解不等式，可得， 解不等式，可得， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助特殊角的三角函数值、指数运算和对数函数性质，化简即可判断大小. 【详解】由题知，，， 又， 所以. 故选：A 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数定义域，判断函数奇偶性，即可判断B；当时，，利用导数判断此时函数的单调性，即可判断A，C，D，即得答案． 【详解】函数的定义域为， 设，则，故为偶函数， 其图象关于轴对称，则B中图象错误； 又当时，， 由，得，由，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故A、C错误，故选D. 5. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性作出函数的图象，可知函数为增函数，再利用奇偶性转化不等式为，再利用单调性求解不等式即可. 【详解】由题意，函数是定义域为的奇函数，则图象关于原点对称. 先作出当时的图象，再利用对称性可作出上的的图象. 函数的图象如图. 由图象可知，函数是上的增函数. 由，得， 由是奇函数，可得， 则有， 又是上增函数，则，解得. 故的取值范围为. 故选：D. 6. 科学技能的迅猛发展，使人们在学校里学到的专业知识，逐步陈旧过时，这就是所谓的“知识半衰期”.1950年以前，知识的半衰期为50年：21世纪，知识的半衰期平均为3.2年；IT业高级工程师1.8年.如果一个高三学生的初始知识量为，则经过一定时间，即t个月后的知识量T满足，h称为知识半衰期，其中是课堂知识量，若，某同学知识量从80降至75大约用时1个月，那么知识量从75降至45大约还需要（ ）（参考数据:lg2≈0.30，lg11≈1.04） A. 8个月 B. 9个月 C. 10个月 D. 11个月 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到方程，求出，两边取对数，计算出答案. 【详解】由题意得，即， ，所以，得， 两边取对数， ， 故选：C. 7. 已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 8. 对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由得，，同构函数由得：，再参变分离，转化为借助导数求函数的最值即可. 【详解】已知，由得，， 构造函数则是R上的增函数，则由得：， 即，令， ， 当则单调递减， 当，则单调递增， ∴，则又则. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 命题“”的否定是“” D. 函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A抽象函数的定义域只需要令变量属于原函数定义域，解出的范围即可；选项B分类讨论和，时借助二次函数开口方向和即可解决恒成立问题；选项C是命题的否定，注意“，结论边否定”；选项D讨论自变量的取值范围，从而得到指数函数的值域. 【详解】A：由题设，则，即的定义域为，正确； B：当时，不等式恒成立， 当时，恒成立， 当时，则需满足，则， 综上，的取值范围是，不正确， C：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，不正确； D：令，故，即的值域为，对. 故选：AD 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意得，且，结合基本不等式以及相关推理逐一验算即可得解. 【详解】则，且，故D正确； ，A正确； 又由可知，B正确；，故C错误． 故选：ABD． 11. 设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知条件可得导函数对称性，判断A；由已知推出导函数的对称轴即可判断B；结合导函数对称性推出函数周期，进而利用周期进行求值，判断C；根据导数求导法则即可判断D. 【详解】对于A，，， 即关于对称，故A错误； 对于B，为偶函数，故，即关于对称， 由关于对称，知，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为，所以， 则，故，则， 所以的周期为4，则，故C错误； 对于D，由，得， 即，令得，， 故，故D正确. 故选：BD. 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 第Ⅱ卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为____________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再令 ，然后利用复合函数的单调性求解.\ 【详解】函数的定义域为， 令 ，则 ， 因为是增函数， 在 上是减函数， 所以单调递减区间为 故答案为： 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 13. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 14. 已知函数若函数有唯一零点，则实数的取值范围是__________. 【答案】或 【解析】 【分析】换元后转化为，该方程存在唯一解，且，数形结合求解. 【详解】当时，单调递减，图象为以和轴为渐近线的双曲线的一支； 当时，有，可得在单调递减，在单调递增 且，，画出图象如下: 由题意，有唯一解，设， 则，（否则至少对应2个，不满足题意）， 原方程化为，即， 该方程存在唯一解，且. 转化为与有唯一公共点，且该点横坐标在，画图如下： 情形一：与相切，联立得， 由解得，此时满足题意： 情形二：与有唯一交点，其中一个边界为(与渐近线平行)， 此时交点坐标为，满足题意； 另一个边界为与相切，即过点的切线方程， 设切点为，则，解得， 所以求得，此时左侧的交点D横坐标为满足条件，右侧存在切点E，故该边界无法取到； 所以的范围为. 综上，的取值范围为或. 故答案为：或 【点睛】关键点点睛，解决本题的关键在于第一要换元，令，转化为方程存在唯一解，且，作出与的图象数形结合求解，第二关键点在于分类讨论后利用导数或联立方程组求切线的斜率，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题P：“，”为假命题，设实数a的所有取值构成的集合为A. （1）求集合 （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由：“，”为假命题时，可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得BA，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【小问1详解】 因为命题为假命题，所以关于的一元二次方程无解， 即，解得， 故集合，所以或； 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，则BA， 当时，，解得，此时满足BA， 当时， 则，且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知函数． （1）判断并证明的奇偶性； （2）若对任意，，不等式恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 由解析式易知，函数定义域为， 而，故为奇函数. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义证明判断即可； （2）根据对数复合函数单调性确定在上最小值，把问题化为在上恒成立，即可求结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上为减函数，而在定义域上为增函数， 所以在上为减函数，故， 要使任意，，不等式恒成立， 只需在上恒成立，即在上恒成立， 由开口向上，则， 综上，. 17. 函数. （1）求函数在处的切线方程; （2）求出方程的解的个数. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，得到切点处切线的斜率，得到切线方程； （2）作出函数图像，由函数图像与直线交点个数确定方程解的个数. 【小问1详解】 定义域为：， ∵ ∴ ∴切线方程为：. 【小问2详解】 方程解的个数等价于于的交点个数. 所以在上递减，在上递增， 且时,, 作出与的图象， 由图可知当时，方程的解为0个 当或时，方程的解为1个 当时，方程的解为2个 18. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间 （2）若有两个零点，求的取值范围 【答案】（1）在上单调递减；在上单调递增． （2） 【解析】 【分析】小问1：先对函数求导，令，解得，即可求解单调性； 小问2：当时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点；当时，由（1）可知：时，函数取得极小值，故，进而可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 时，． 令，，解得． 时，，函数在上单调递减； 时，，函数在上单调递增． 【小问2详解】 ． 时，，函数在上单调递减，此时函数最多有一个零点，不满足题意，舍去． 时，由（1）可知：时，函数取得极小值， 有两个零点，， 令，（1）． ，函数在上单调递增， ． 又； ． 满足函数有两个零点． 的取值范围为． 19. 从函数的观点看，方程的根就是函数的零点，设函数的零点为.牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.具体做法如下：先在轴找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线(轴，以下同)，切线与轴交于点.，再作在点处切线，一直重复，可得到一列数：.显然，它们会越来越逼近.于是，求近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为的近似解. （1）设，试用牛顿法求方程满足精度的近似解(取，且结果保留小数点后第二位)； （2）如图，设函数； (i)由以前所学知识，我们知道函数没有零点，你能否用上述材料中的牛顿法加以解释? (ii)若设初始点为，类比上述算法，求所得前个三角形的面积和. 【答案】（1） （2）(i)答案见解析；(ii) 【解析】 【分析】（1）根据题意分别计算出，取得近似值即为方程的近似值； （2）（i）设，则，由求得处的切线方程，得到即可； (ii)再根据得，从而，再结合等比数列的求和公式求解即可； 【小问1详解】 由函数，则，切线斜率，， 那么在点处的切线方程为， 所以，且， 那么在点处的切线方程为， 所以，且， 故用牛顿法求方程满足精度的近似解为； 【小问2详解】 (i)设，则， 因为，所以， 则处切线为， 切线与轴相交得，即为定值， 根据牛顿法，此函数没有零点； (ii)因为得， 所以，， 所以， . 故所得前个三角形的面积和为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于根据，再结合牛顿法得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $