精品解析：辽宁省锦州市太和区2024届九年级上学期期中考试数学试卷

2023~2024学年度九年级（上）期中质量检测 数学试卷 （考试时间为90分钟 试卷总分100分） 一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程）依次进行判断即可求解． 【详解】、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 、是一元二次方程，故此选项合题意； 、一元一次方程，故此选项不符合题意； 、含有分式，不一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤． 3. 一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于，由此可估计袋子中白球的个数约为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：根据题意得：（个）， 答：估计袋子中红球的个数约为4个； 故选：A． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 4. 某校为了增强学生对“垃圾分类”重要性的认识，举办了一场“垃圾分类”知识竞赛．八（1）班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖，班主任老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保标兵”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法即可求解． 【详解】解：可能的情况有：，，， 则恰好是一名男生、一名女生的概率为：， 故选A． 【点睛】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握其方法是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、四条边相等的四边形是菱形，故原说法错误，故此选项不符合题意； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故原说法错误，故此选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，故此选项不符合题意； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故原说法正确，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质，熟练掌握它们的判定方法是解此题的关键． 6. 已知：如图，菱形的两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求菱形的周长． 【详解】解：∵菱形的两条对角线相交于O，，， ∴，， ∴， 故菱形的周长为， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算的长是解题的关键． 7. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，以及三角形外角的性质：三角形外角度数等于不相邻两个内角度数之和，即可求解． 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 8. 如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质得，从而得出，所以，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵边长为6的正方形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，求出是解题的关键． 9. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得： 故选：A 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．熟记相关结论即可． 10. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设根据题意得：． 故选：C． 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 方程的解是____________． 【答案】， 【解析】 【分析】将方程右边看作一个整体，移项到左边，提取公因式化为积形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程一因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 12. 若是一元二次方程一个根，则的值为______． 【答案】2027 【解析】 【分析】由是一元二次方程的一个根，可得，然后用整体代入求值即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴ ， 故答案为：2027． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 13. 一元二次方程配方后得， 则n的值是 ______________ 【答案】3 【解析】 【分析】先把方程的常数项移到方程右边，再方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法是解题的关键． 14. 某随机事件在试验过程中发生的频率如下表：试估算这个事件发生的概率是____精确到． 试验次数 事件发生概率 【答案】 【解析】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可． 【详解】解：由表格中的数据可知，在大量反复试验下该事件的频率在附近波动，故可以估算这个事件发生的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用频率估计概率，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 15. 如图，在菱形中，连接，若，则____． 【答案】##35度 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质求出的度数，可进而求出的度数． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对边互相平行，对角线平分一组对角． 16. 如图，矩形纸片中，，把矩形纸片沿直线折叠，点B落在点E处，交于点F，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形性质和翻折性质可得，设，则，在中，由勾股定理即可求出． 【详解】解：由翻折可知，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换的知识，其中利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②全等三角形的判定和性质，勾股定理求解． 17. 如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质得、结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵为直角三角形斜边中线， ∴ ∴． 故答案为：4． 18. 如图，已知正方形的边长为3，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的周长为6；④的最小值为．其中正确结论的序号为________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】由正方形的对角线平分一组对角可得，，可得和都是等腰直角三角形，于是，，便可得结论①③；只有当为90°，67.5°，45°时，才是等腰三角形，即可判断结论②；连接，四边形中由矩形的判定和性质可得，和中由全等三角形的判定和性质可得，由垂线段的性质可知时最小，当时在等腰直角三角形中求得即可判断结论④； 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，， 又∵于点F， ∴是等腰直角三角形， ∴，即①正确； 中， 当时（此时点B、P重合），是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， 当时，是等腰三角形， ∵点P从点B移动到点D的过程中，逐渐从90°变化到0°，而只有当为90°，67.5°，45°时，才是等腰三角形， ∴不一定是等腰三角形，即②错误； ∵，于点E， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形的周长， 故③正确， 如下图连接， ∵， ∴四边形是矩形， 由矩形的对角线相等可得， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由垂线段的性质可知当时，最小， 此时是等腰直角三角形，， ∴的最小值为， 故④错误； 综上所述①③正确， 故答案为：①③； 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质；掌握相关性质和判定方法是解题关键． 三、计算题：（第19题中每小题4分，共16分） 19. 解方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）；（因式分解法） （4）．（选择适当的方法） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）根据配方法计算即可； （1）根据公式法计算即可； （3）根据因式分解法计算即可； （4）根据公式法计算即可． 【小问1详解】 解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， 则，； 【小问2详解】 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 ∴ 即 ∴或 解得，； 【小问4详解】 解： ， 解得：，． 四、解答题：（本题共8分） 20. 中秋节前，学校举行“传经典·乐中秋”系列活动，共有四项活动：并分别制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． A品月饼 B讲故事 C诵诗词 D创美文 （1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为______； （2）小丽从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，求小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）． 【答案】（1） （2），过程见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数和符合条件的结果数，根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如图． 由树状图可知共有12种等可能结果，其中小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的共有6种． 所以P（小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”）． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 五．解答题：（第21、22题各8分，共16分） 21. 如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？ 【答案】1米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设道路应修宽，根据花田面积为，建立方程，解方程结合题意取舍的值，即可求解． 【详解】解：设道路应修宽，根据题意得： ， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：道路应修宽． 22. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件． （1）若每件服装降3元，则每天能卖出__________件，每件服装的利润是__________元． （2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每件服装应降价元，每天能盈利800元 【解析】 【分析】（1）根据“每件降价1元，则每天可多售5件”即可求解； （2）设每件服装应降价元，每天能盈利800元．根据题意建立一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵每件降价1元，则每天可多售5件， ∴每件服装降3元，则每天可多售件，即每天能卖出件， 每件服装的利润是为：元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设每件服装应降价元，每天能盈利800元， 则：， 解得：， ∵要尽快减少库存， ∴， 故：每件服装应降价元，每天能盈利800元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题．正确理解题意是解题关键． 六、解答题：（第23、24题各8分，共16分） 23. 如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论； （2）过F作于点H，得到四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 小问1详解】 ∵在矩形中，，, ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 过F作于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 24. 如图，为菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定，正确掌握菱形的性质及矩形的判定定理是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，证得．证明．得到，进而推出．再根据三个直角的三角形是矩形，得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，．由勾股定理求出．设，则，．在中，由勾股定理，得．列得．求出． 【小问1详解】 证明：∵是菱形， ∴，． ∴． ∵，， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：∵， ∴，． ∵，在中，由勾股定理，得． ∴． ∴． 设，则，． 在中，由勾股定理，得． 即．解得． ∴． 七、解答题：（本题共8分） 25. 如图1，已知正方形，点，分别在，上，且． （1）求证：． （2）如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 【答案】（1）见解析 （2）①，②见解析 【解析】 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）①延长至，使，连接，可得，进而可得为等腰直角三角形，由此可得； ②由，可得，结合为等腰直角三角形，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①解：如图3，延长至，使，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 又，， ， ，， ，， ， ②，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度九年级（上）期中质量检测 数学试卷 （考试时间为90分钟 试卷总分100分） 一、选择题：（下列各题的备选答案中，只有一个正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题2分，共20分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于，由此可估计袋子中白球的个数约为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 9 4. 某校为了增强学生对“垃圾分类”重要性的认识，举办了一场“垃圾分类”知识竞赛．八（1）班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖，班主任老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保标兵”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（ ） A B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是正方形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 6. 已知：如图，菱形两条对角线相交于O，若，，则菱形的周长是（ ） A 20 B. 16 C. 12 D. 10 7. 如图，矩形的对角线，相交于点O，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为6的正方形中，是对角线上一点，作于点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 2.5 9. 如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共16分） 11. 方程的解是____________． 12. 若是一元二次方程一个根，则的值为______． 13. 一元二次方程配方后得， 则n的值是 ______________ 14. 某随机事件在试验过程中发生的频率如下表：试估算这个事件发生的概率是____精确到． 试验次数 事件发生概率 15. 如图，在菱形中，连接，若，则____． 16. 如图，矩形纸片中，，把矩形纸片沿直线折叠，点B落在点E处，交于点F，则的长为_____． 17. 如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为 _____． 18. 如图，已知正方形的边长为3，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，．给出下列结论：①；②一定是等腰三角形；③四边形的周长为6；④的最小值为．其中正确结论的序号为________． 三、计算题：（第19题中每小题4分，共16分） 19. 解方程： （1）；（配方法） （2）；（公式法） （3）；（因式分解法） （4）．（选择适当方法） 四、解答题：（本题共8分） 20. 中秋节前，学校举行“传经典·乐中秋”系列活动，共有四项活动：并分别制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上． A品月饼 B讲故事 C诵诗词 D创美文 （1）小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为______； （2）小丽从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明再从余下的3张卡片中随机抽取1张，求小丽、小明两人中恰好有一人“诵诗词”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）． 五．解答题：（第21、22题各8分，共16分） 21. 如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？ 22. 某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件． （1）若每件服装降3元，则每天能卖出__________件，每件服装的利润是__________元． （2）如果每天要盈利800元，每件服装应降价多少元？ 六、解答题：（第23、24题各8分，共16分） 23. 如图，矩形中，，，点E、F分别在、上，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）求线段的长． 24. 如图，为菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 七、解答题：（本题共8分） 25. 如图1，已知正方形，点，分别在，上，且． （1）求证：． （2）如图2，点在的延长线上，且． ①求的度数； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$