精品解析：浙江省杭州市萧山区萧山城区八校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

浙江省杭州市萧山区萧山城区八校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 … 下列各选项中，正确的是（　　） A. 这个函数的最小值为 B. 这个函数的图象开口向下 C. 这个函数的图象与x轴无交点 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 6. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 7. 如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数 （是常数） 的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于的二次函数，则的值是______． 12. 抛物线与x轴的其中一个交点坐标是，则的值为________． 13. 已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相同，且经过和，则这条抛物线的解析式为______． 14. 如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为___________． 15. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 16. 对于一个函数，当自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数． （1）若2是此函数的不动点，则的值为______． （2）若此函数有两个相异不动点与，且，则的取值范围是______． 三、解答题（本题共有8小题，共72分） 17. 已知二次函数； （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标． 18. 已知抛物线：． （1）若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； （2）若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 19. 已知抛物线中自变量和函数值的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 4 14 28 … （1）请直接写出该抛物线的顶点； （2）请求出该抛物线的解析式； （3）当时，求的取值范围． 20. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为. （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少? 21. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象与轴交于点，求的值； （2）若当时，的最小值为，求的值． 22. 随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率） 23. 在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． （1）若，求该二次函数的表达式． （2）若，求b的取值范围． （3）已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 24. 综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值． ②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市萧山区萧山城区八校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义依次判断． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查二次函数的定义：形如的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握配方法把二次函数解析式的一般式化成顶点式是解题关键． 配方将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴． 【详解】解：∵， ， ， ∴该抛物线的对称轴是直线． 故选：B． 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为， 故选：． 4. 已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：D． 5. 表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 1 3 … y … 6 … 下列各选项中，正确的是（　　） A. 这个函数的最小值为 B. 这个函数的图象开口向下 C. 这个函数的图象与x轴无交点 D. 当时，y的值随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】利用表中的数据，求得二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断． 【详解】解：设二次函数的解析式为， 依题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴这个函数的图象开口向上，故B选项错误，不符合题意； ∵， ∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故C选项不正确，不符合题意； ∵， ∴当时，这个函数有最小值，故A选项不正确，不符合题意； ∵这个函数的图象的顶点坐标为，开口向上， ∴当时，y的值随x值的增大而增大， ∴当时，y的值随x值的增大而增大， 故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题的关键． 6. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( ) A. k<4 B. k≤4 C. k<4且k≠3 D. k≤4且k≠3 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像与x轴交点的特点可知，的判别式Δ≥0，即可求解； 【详解】若此函数与x轴有交点，则，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0，解得：k≤4，当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立， 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数图像与x轴交点的特点，掌握相关知识是解题的关键． 7. 如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当铅球落地时，高度，代入，求值即可，本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是：函数取值与实际问题之间的关系． 【详解】当时，， 解得：（舍），， 该同学掷实心球的成绩是， 故选：． 8. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 9. 已知二次函数 （是常数） 的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，明确抛物线与轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 先将所给的二次函数整理，再根据图象与轴没有公共点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小，可得，从而得出答案轴． 【详解】解： ， 图象与轴没有公共点， ， ， 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，随的增大而减小， ， 实数的取值范围是， 故选C． 10. 已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若t为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ②③④ D. ②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线开口方向，与轴的交点位置分别得到，，再利用对称轴得到，即可判断①；根据抛物线与轴有两个交点，即可判断②；当时，，得到，再结合和，即可判断③；当时，有最小值即可判断④；当图象经过点时，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，进而得到，，即可判断⑤． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 抛物线对称轴为直线， ，即， ，故①错误； 由图象可知，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象可知，当时，， ， 又， ， ， ，故③正确； 由图象可知，当时，有最小值， （t为任意实数）， ，故④正确； 抛物线对称轴为直线，当图象经过点时， 由二次函数对称性得，图象也经过点， 的图象与直线的交点为和， 即方程的两根为和， 又方程的两根为， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论②③④． 故选：C． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 若是关于的二次函数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，，即， ， 故答案为：． 12. 抛物线与x轴的其中一个交点坐标是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据抛物线与轴的其中一个交点是，可以得到的值，从而可以得到的值，本题得以解决． 【详解】解：抛物线与轴的其中一个交点是， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相同，且经过和，则这条抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，利用两点式设出函数解析式，根据两条抛物线的形状、开口方向相同，得到，即可． 【详解】解：∵抛物线经过和， ∴设抛物线的解析式为：， ∵一条拋物线的形状、开口方向均与拋物线相可， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2时，测得拱桥内水面宽为12．当水面升高1后，拱桥内水面的宽度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点， 抛物线以轴为对称轴，且经过，两点， 可得：，，， 设顶点式，代入点坐标， 得：， 所以抛物线解析式为， 当水面升高1后，令， 则，解得：， 拱桥内水面的宽度为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 15. 如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 16. 对于一个函数，当自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数． （1）若2是此函数的不动点，则的值为______． （2）若此函数有两个相异不动点与，且，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的新定义，解题的关键是理解题意，并据此得出关于m的不等式． （1）将代入解析式求解即可； （2）由函数的不动点概念得出与是方程的两个不相等实根，则，令，则当时，，据此解之即可． 【详解】解：（1）若2是此函数的不动点，则抛物线经过， 将代入得， 解得：， 故答案为：； （2）由题意可知二次函数有两个相异不动点与， 则与是方程的两个不相等实根，且， 整理得， ， 解得， 令， ， 当时，， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本题共有8小题，共72分） 17. 已知二次函数； （1）求出该函数图象的顶点坐标； （2）求该函数的图象与坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）顶点 （2）与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点，与坐标轴交点． （1）将该二次函数表达式化为顶点式，即可解答； （2）求出当时的函数值，即可得出与y轴的交点坐标，求出当时，x的值，即可得出与x轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴该函数与y轴相交于， 当时，， 解得：， ∴该函数与x轴的交点坐标为． 18. 已知抛物线：． （1）若该拋物线经过平移后得到新拋物线，求平移的方向和距离； （2）若将该抛物线图象沿轴翻折，求得到新的抛物线的函数表达式． 【答案】（1）向左平移4个单位，向上平移6个单位 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及二次函数的平移和翻折． （1）将抛物线的函数表达式化为顶点式，根据平移的规律“左加右减，上加下减”即可得出答案； （2）根据翻折的性质，即可得到新的抛物线的函数表达式． 【小问1详解】 解：抛物线：， 平移后的新抛物线：， 把原抛物线向左平移4个单位，向上平移6个单位可得到新抛物线； 【小问2详解】 将抛物线图象沿轴翻折，得到新的抛物线的开口方向与原来相反，顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于x轴对称， 新的抛物线的函数表达式为：． 19. 已知抛物线中自变量和函数值的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 4 4 14 28 … （1）请直接写出该抛物线的顶点； （2）请求出该抛物线的解析式； （3）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质， （1）根据抛物线的对称性，观察自变量量和函数值的部分对应值即可确定抛物线的顶点坐标； （2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）求出当和 时，的对应值，结合抛物线的性质即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：根据抛物线的对称性，由自变量和函数值的对应值可以确定抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 由图表得，，；，；，， 代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 当时，；当时，， 又当时，得最小值为， 得取值范围为：． 20. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开（如图1所示）.已知计划中的材料可建墙体总长46米，设两间饲养室合计长（米），总占地面积为. （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）现需要设计这两间饲养室各开一扇门（如图2所示），每扇门宽1米，门不采用计划中的材料．求总占地面积最大为多少? 【答案】（1） （2）当时，由最大值192平方米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． （1）由题意得：，即：即可求解； （2）由题意得：，再求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， ， ， 故：，； 【小问2详解】 解：由题意得：， 故：当时，由最大值192平方米； 21. 已知二次函数． （1）若二次函数的图象与轴交于点，求的值； （2）若当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）的值为或1 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将点代入，即可求出的值； （2）分和两种情况讨论． 【小问1详解】 将点代入， 得， 解得； 【小问2详解】 顶点坐标为 当时，当时，函数最小值，解得， 当时，当时，函数最小值为，解得， 综上所述，的值为或1． 22. 随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； （2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率） 【答案】（1） （2）当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象及性质． （1）根据“总利润单件T恤的利润销售量”即可解答； （2）根据“销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于”可列出不等式，求出x的取值范围，在结合w与x之间的函数关系式的图象及性质，可求得利润w的最大值． 【小问1详解】 根据题意可得： ∴w与x之间的函数关系式为：； 【小问2详解】 由题意可得： ， 解得：， ∵在函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w由最大值，为：（元）， 答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元． 23. 在平面直角坐标系中，点和都在二次函数是常数）的图象上． （1）若，求该二次函数的表达式． （2）若，求b的取值范围． （3）已知点也都在该二次函数图象上，若且，试比较的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：把和代入得： ， ， ， 或， 由得， ， ∴无解， 即无解， 则 且， 把代入， 得：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）当时，用待定系数法可得二次函数的表达式为； （2）当时，可得，又，故，得； （3）由，可得，又，即可知且；求出，用作差的方法可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，把和代入得： ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 把和代入得：， ， ， 解得， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标的特征，解不等式组，作差法比较大小等，解题的关键是掌握二次函数图象上点坐标的特征和不等式的基本性质． 24. 综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式． （2）P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值． ②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①5；②存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）①利用待定系数法可得直线的解析式为，由题意得，运用二次函数的性质可求得答案； ②由于，不可能为直角，故分两种情况：当时，当时，分别求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线的顶点为 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为 由题意得，，其中， ∴，， ∵， ∴当时，S取得最大值为5； ②存在，理由如下： ∵， ∴，不可能为直角； 当时，则， ∴轴， ∴ 解得：， ∴点P的坐标为； 当时，过点P作轴于K，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴ 综上所述，当为直角三角形时，点P的坐标为或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，直角三角形性质，三角形面积公式，相似三角形的判定和性质等；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $